康海芯

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思維訓(xùn)練營

一道課本習(xí)題的演變與拓展

康海芯

頻數(shù)分布直方圖是初中數(shù)學(xué)的重要知識點(diǎn)，也是各類考試命題的熱點(diǎn)之一，現(xiàn)以課本中一道習(xí)題的演變與拓展為例，與同學(xué)們一起走進(jìn)豐富多彩的數(shù)據(jù)世界，感受它的魅力.

【蘇科版八（上）課本第82頁第7章7.4習(xí)題1】為了調(diào)查某市噪聲污染情況，該市環(huán)保局抽樣調(diào)查了40個噪聲測量點(diǎn)的噪聲聲級（單位：dB），結(jié)果如下：

（1）在噪聲最高的測量點(diǎn)，其噪聲聲級在哪個范圍？

（2）噪聲聲級低于65 dB的測量點(diǎn)有多少個？

【解析】（1）因?yàn)轭l數(shù)分布直方圖中噪聲聲級橫軸從左到右依次增高，所以噪聲最高聲級在第5小組，其范圍為75～80 dB；

（2）觀察頻數(shù)分布直方圖可知噪聲低于65 dB的測量點(diǎn)有兩組，共14個.

變式一更換問題背景，側(cè)重考查依據(jù)頻數(shù)分布直方圖提取信息的能力

例1某次考試中，某班級的數(shù)學(xué)成績

統(tǒng)計圖如下.下列說法錯誤的是（）.

A.得分在70～80分之間的人數(shù)最多

B.該班的總?cè)藬?shù)為40

C.得分在90～100分之間的人數(shù)最少

D.及格（≥60分）人數(shù)是26

【分析】觀察所給的條形統(tǒng)計圖，可知圖中各個豎條表示的是不同分?jǐn)?shù)段的人數(shù)，從統(tǒng)計圖中可知得分在50～60分之間的有4人，得分在60～70分之間的有12人，得分在70～80分之間的有14人，得分在80～90分之間的有8人，得分在90～100分之間的有2 人.由此可知該班的總?cè)藬?shù)為4+12+14+8+ 2=40（人），及格（≥60分）的有40-4=36（人），故選項(xiàng)D不正確.

解：選項(xiàng)A、B、C是正確的，選項(xiàng)D是錯誤的，故應(yīng)選D.

【點(diǎn)評】從頻數(shù)分布直方圖中提取信息時，關(guān)鍵是要正確理解直方圖中橫軸與縱軸所表示的含義，以及小長方形的高與各小組頻數(shù)之間的關(guān)系.

變式二補(bǔ)充問題條件，側(cè)重考查頻數(shù)分布直方圖與頻數(shù)分布表之間相互轉(zhuǎn)換的能力

例2某區(qū)在實(shí)施居民用水額定管理前，對居民生活用水情況進(jìn)行了調(diào)查.下表是通過簡單隨機(jī)抽樣獲得的50個家庭去年月平均用水量（單位：噸），并將調(diào)查數(shù)據(jù)進(jìn)行如下整理：

頻數(shù)分布表

頻數(shù)分布直方圖

（1）把上面頻數(shù)分布表和頻數(shù)分布直方圖補(bǔ)充完整；

（2）從直方圖中你能得到什么信息？（寫出兩條即可）

（3）為了鼓勵節(jié)約用水，要確定月均用水量的標(biāo)準(zhǔn)，超出這個標(biāo)準(zhǔn)的部分按1.5倍價格收費(fèi)，若要使60%的家庭收費(fèi)不受影響，你覺得這個標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)該定為多少？為什么？

【分析】（1）根據(jù)調(diào)查數(shù)據(jù)可知5.0＜x≤6.5的頻數(shù)為13，所以6.5＜x≤8.0的頻數(shù)為5，據(jù)此可以將兩個圖表補(bǔ)充完整；（2）結(jié)合統(tǒng)計圖寫出有關(guān)的結(jié)論即可；（3）要使60%的家庭收費(fèi)不受影響，即不超過家庭月均用水量的應(yīng)有30戶，依據(jù)這個數(shù)據(jù)確定月均用水量.

解：（1）填表如下：

（2）答案不唯一：如從直方圖中可以看出：①居民月均用水量大部分在2.0至6.5之間；②居民月均用水量在3.5＜x≤5.0范圍內(nèi)最多，有19戶；③居民月均用水量在8.0＜x≤9.5范圍內(nèi)的最少，只有2戶，等等.（符合題意即可）

（3）頻數(shù)分布直方圖補(bǔ)充如下：

【點(diǎn)評】解答統(tǒng)計表與統(tǒng)計圖相結(jié)合的統(tǒng)計問題時，要善于將統(tǒng)計表與統(tǒng)計圖中的已有信息相互對照，進(jìn)行補(bǔ)充.

變式三改變設(shè)問方式，側(cè)重考查依據(jù)頻數(shù)分布直方圖進(jìn)行計算與推理的能力

例33月28日是全國中小學(xué)生安全教育日，某學(xué)校為增強(qiáng)學(xué)生的安全意識，組織了全校1500名學(xué)生參加安全知識競賽，從中抽取了部分學(xué)生的成績（得分取正整數(shù)，滿分為100分）進(jìn)行統(tǒng)計.請根據(jù)尚未完成的頻率分布表和頻數(shù)分布直方圖，解答下列問題：

頻率分布表

頻數(shù)分布直方圖

（1）這次抽取了_______名學(xué)生的競賽成績進(jìn)行統(tǒng)計，其中：m=_______，n=_______；

（2）補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖；

（3）若成績在70分以下（含70分）的學(xué)生為安全意識不強(qiáng)，有待進(jìn)一步加強(qiáng)安全教育，則該校安全意識不強(qiáng)的學(xué)生約有多少人？

（4）針對學(xué)生安全意識不強(qiáng)的現(xiàn)象，請你向?qū)W校提出一條合理化建議.

”計算n的值；

（2）依據(jù)m、n的值可以補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖；

（3）先求出樣本中70分以下（含70分）的學(xué)生的頻率，再用樣本中的頻率來估計全校安全意識不強(qiáng)的學(xué)生數(shù)；

（4）提出的建議要具體有操作性，符合題意即可.

解：（1）200，70，0.12；

（2）補(bǔ)全后的頻數(shù)分布直方圖如下圖：

（3）1500×（0.08+0.2）=420（人）；

（4）答案不唯一，如開設(shè)安全教育課，開展安全知識講座等.

【點(diǎn)評】借助“全國中小學(xué)生安全教育日”的背景考查頻數(shù)分布直方圖，將社會熱點(diǎn)問題與數(shù)學(xué)應(yīng)用有機(jī)地結(jié)合起來，同時又體現(xiàn)了用樣本估計總體的思想.

（作者單位：江西省贛縣江口中學(xué)）