林　炯，陳　軍，高偉康

（華南師范大學(xué) 物理與電信工程學(xué)院，廣東　廣州　510006）

自旋-1/2算符對(duì)易關(guān)系和中心庫(kù)侖場(chǎng)定態(tài)粒子概率密度的討論

林炯，陳軍，高偉康

（華南師范大學(xué) 物理與電信工程學(xué)院，廣東廣州510006）

從Stern-Gerlach實(shí)驗(yàn)及其兩個(gè)拓廣實(shí)驗(yàn)出發(fā)，結(jié)合量子力學(xué)假設(shè)，給出了自旋-1/2算符對(duì)易關(guān)系的一種導(dǎo)出方法。每個(gè)方向的自旋本征態(tài)均構(gòu)成Hilbert空間完備基，可用完全性關(guān)系將x、y、z三個(gè)方向自旋-1/2算符用相應(yīng)本征態(tài)表示出來(lái)。接著通過(guò)兩個(gè)拓廣實(shí)驗(yàn)可初步確定x、y方向自旋本征態(tài)與z方向自旋本征態(tài)的關(guān)系。進(jìn)一步各算符可表示成只含有z方向自旋本征態(tài)。通過(guò)Hilbert空間態(tài)矢間的運(yùn)算法則，最終可得到三個(gè)方向間自旋-1/2算符對(duì)易關(guān)系。另外一個(gè)問(wèn)題，對(duì)于中心庫(kù)侖場(chǎng)含時(shí)定態(tài)波函數(shù)對(duì)應(yīng)的概率密度出現(xiàn)空間不對(duì)稱情況，通過(guò)對(duì)比庫(kù)侖場(chǎng)經(jīng)典解，發(fā)現(xiàn)經(jīng)典系統(tǒng)粒子初速度已經(jīng)破壞了系統(tǒng)空間對(duì)稱性。對(duì)應(yīng)到量子系統(tǒng)，發(fā)現(xiàn)初態(tài)概率密度空間不對(duì)稱是其原因。

自旋-1/2；對(duì)易關(guān)系；中心庫(kù)侖場(chǎng)；概率密度；空間不對(duì)稱

0　引言

討論自旋-1/2時(shí)，一般將對(duì)易關(guān)系和實(shí)驗(yàn)結(jié)果作為出發(fā)點(diǎn)［4］。實(shí)驗(yàn)與對(duì)易關(guān)系的聯(lián)系很少被討論。從實(shí)驗(yàn)出發(fā)，結(jié)合量子力學(xué)假設(shè)，可給出自旋-1/2算符對(duì)易關(guān)系。另一方面，對(duì)于中心庫(kù)侖場(chǎng)定態(tài)波函數(shù)對(duì)應(yīng)概率密度出現(xiàn)空間不對(duì)稱，給出一種解釋。

1　自旋-1　/2　算符對(duì)易關(guān)系一種導(dǎo)出方法

1.1量子力學(xué)測(cè)量理論

1.2自旋-1/2算符對(duì)易關(guān)系的導(dǎo)出

1.2.1Stern-Gerlach實(shí)驗(yàn)［4］

從K極射出的s態(tài)氫原子進(jìn)入不均勻磁場(chǎng)，在照片上出現(xiàn)兩條強(qiáng)度相等的分立線。s態(tài)氫原子角量子數(shù)為0不可能引起線分立。為解釋此類(lèi)現(xiàn)象，引入自旋角動(dòng)量。

1.2.2對(duì)易關(guān)系的導(dǎo)出

δ1是任意相因子。對(duì)于，考慮到與應(yīng)正交，則：

δ2為任意相因子。

由（1）式，x、y方向自旋-1/2算符：

（4）由（2）（9）式，可得自旋-1/2算符對(duì)易關(guān)系：

2　中心庫(kù)侖場(chǎng)定態(tài)波函數(shù)解對(duì)應(yīng)概率密度的空間不對(duì)稱問(wèn)題

2.1中心庫(kù)侖場(chǎng)含時(shí)定態(tài)波函數(shù)解

單粒子處于中心庫(kù)侖場(chǎng)（場(chǎng)源電荷量）相應(yīng)定態(tài)Schr?dinger方程為：

則含時(shí)定態(tài)波函數(shù)為：

2.2定態(tài)概率密度角分布現(xiàn)象

t時(shí)刻定態(tài)粒子概率密度即時(shí)刻t測(cè)量到粒子出現(xiàn)在某空間點(diǎn)單位體積內(nèi)的概率為?？梢宰C明，當(dāng)粒子角量子數(shù)l≥1，，即定態(tài)粒子概率密度

出現(xiàn)角分布現(xiàn)象。

2.3空間對(duì)稱性

若對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行X操作，系統(tǒng)狀態(tài)不變，則系統(tǒng)在X操作下具有對(duì)稱性。中心庫(kù)侖場(chǎng)對(duì)繞過(guò)原點(diǎn)任意軸旋轉(zhuǎn)操作保持不變，則具有球?qū)ΨQ性，數(shù)學(xué)上由SO3群描述。

2.4概率密度角分布解釋

若系統(tǒng)是空間對(duì)稱的，粒子出現(xiàn)的可能概率應(yīng)空間對(duì)稱，不出現(xiàn)角分布。因此系統(tǒng)必存在不對(duì)稱條件。

考慮中心庫(kù)侖場(chǎng)的經(jīng)典力學(xué)解。由比耐軌道微分方程［5］：

其中e為常數(shù)。由（12）式可得軌道離心率為：

自旋角動(dòng)量，結(jié)果有：e＜0，軌道為橢圓；當(dāng)E=0時(shí)，e=0，軌道為拋物線。

經(jīng)典力學(xué)解的軌道對(duì)稱性沒(méi)有達(dá)到SO3。出現(xiàn)對(duì)稱性最高的為圓周運(yùn)動(dòng)，軸對(duì)稱可由SO2群描述。尋找經(jīng)典力學(xué)系統(tǒng)的不對(duì)稱性是比較直觀的。一旦體系粒子初速度被事先確定下來(lái)，空間對(duì)稱性便被破壞了。

3　結(jié)束語(yǔ)

結(jié)合Stern-Gerlach實(shí)驗(yàn)及其拓廣實(shí)驗(yàn)和量子力學(xué)假設(shè)導(dǎo)出自旋-1/2對(duì)易關(guān)系。但過(guò)程中引入的兩個(gè)相因子選取還有待進(jìn)一步討論。在討論量子力學(xué)問(wèn)題時(shí)，與經(jīng)典力學(xué)相比照是一種常用方法。對(duì)于中心庫(kù)侖場(chǎng)含時(shí)定態(tài)波函數(shù)對(duì)應(yīng)概率密度出現(xiàn)空間不對(duì)稱，通過(guò)對(duì)比經(jīng)典解指出初態(tài)空間不對(duì)稱是其原因。當(dāng)然本問(wèn)題還可以有其他分析方法。

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O413

A

10.3969/j.issn.1672-6375.2016.07.029

2016-4-8

林炯（1993-），男，漢族，廣東汕頭人，大學(xué)本科在讀，主要的研究方向：物理學(xué)。