劉叢志　王鈴燕　任冰禹　馬盧平　劉偉群　胡廣地

西南交通大學(xué),成都，610031

?

基于HELS方法的噪聲診斷技術(shù)研究

劉叢志王鈴燕任冰禹馬盧平劉偉群胡廣地

西南交通大學(xué),成都，610031

基于赫姆霍茲方程最小二乘法(HELS)的噪聲診斷技術(shù)，將赫姆霍茲方程應(yīng)用于噪聲診斷技術(shù)中，把聲場中聲壓轉(zhuǎn)化為一組線性無關(guān)的獨(dú)立函數(shù)的疊加，使用最小二乘法根據(jù)已知的較少噪聲信號(hào)準(zhǔn)確高效地重建聲源表面的聲壓。建立基于非線性優(yōu)化理論的新型HELS-PSO模型進(jìn)行噪聲源識(shí)別和聲場重建研究，在實(shí)驗(yàn)室中以音箱作為模擬噪聲源，通過實(shí)驗(yàn)進(jìn)行驗(yàn)證。實(shí)驗(yàn)結(jié)果驗(yàn)證了該算法的有效性和高效性，表明新算法的求解精度較高。

快速噪聲診斷；赫姆霍茲方程；非線性優(yōu)化模型；HELS-PSO算法

0　引言

汽車在運(yùn)行過程中是一個(gè)復(fù)雜的噪聲源系統(tǒng)，通過各種振動(dòng)結(jié)構(gòu)表面輻射出噪聲。正確判斷噪聲源的具體發(fā)聲零部件，可為采取有效的降噪措施提供依據(jù)。隨著我國汽車用戶對(duì)噪聲、振動(dòng)和舒適性等方面性能要求的提高，準(zhǔn)確識(shí)別出汽車的噪聲源、獲取噪聲的相關(guān)參數(shù)以提高汽車舒適性，就成了重要問題[1]。

在20世紀(jì)80年代中后期，一些學(xué)者開始通過近場全息和快速傅里葉變換組合的一種近場全息方法，重構(gòu)平面源表面聲場、柱表面源聲場、封閉聲源的幾何表面聲場以及任意規(guī)則外形的聲源。隨后，開始使用有限元法來求解聲輻射逆問題，由于需要對(duì)整個(gè)邊界進(jìn)行離散，計(jì)算量較大，因此這種方法僅運(yùn)用于低頻較小空腔聲源或可以測得微粒振速的聲源[2]。進(jìn)入20世紀(jì)90年代，邊界元法開始運(yùn)用在研究表面形狀不規(guī)則的聲源的聲輻射問題中，相繼出現(xiàn)了使用最小二乘法來近似重構(gòu)源表面聲場、運(yùn)用邊界元法來求解聲輻射逆問題等方法[3]。近場全息理論和邊界元法都需要較多的測量點(diǎn)，很多情況下受限于實(shí)踐要求而無法完成聲場重建，為了提高工作效率，赫姆霍茲方程最小二乘法(HELS)開始運(yùn)用于聲場重建，其需要的測量點(diǎn)數(shù)目遠(yuǎn)小于前幾種方法要求的數(shù)目[4]。

Wang等[5]提出使用HELS法把聲場中聲壓轉(zhuǎn)化為獨(dú)立的球諧函數(shù)的疊加，再使用最小二乘法根據(jù)已知的噪聲信號(hào)來重建聲源表面的聲壓。Wu等[6]聯(lián)立HELS法和邊界元法根據(jù)聲場中較少的測量點(diǎn)，重構(gòu)出了任意形狀聲源的聲場。由于HELS方法計(jì)算效率極高，因此在工程實(shí)際中得到較為廣泛的應(yīng)用。

1　赫姆霍茲方程

假設(shè)聲波介質(zhì)是理想的均勻連續(xù)流體，且流體是完全彈性的，介質(zhì)運(yùn)動(dòng)過程中沒有能量損耗。聲波要滿足三個(gè)基本物理定律：牛頓第二定律、質(zhì)量守恒定律、熱力學(xué)定律。

(1)牛頓第二定律。包含在單元體積中動(dòng)量的時(shí)間變化率加上經(jīng)過體積x方向的凈動(dòng)量率必須等于作用在該體積x方向的力之和：

(1)

其中，p表示在位置x處t時(shí)刻的聲壓，ρ為介質(zhì)密度，ux為介質(zhì)流速。

(2)質(zhì)量守恒定律。介質(zhì)中因聲波擾動(dòng)，單位時(shí)間內(nèi)流入體積元的質(zhì)量與流出該體積元的質(zhì)量之差應(yīng)等于該體積內(nèi)質(zhì)量的增加或減少：

(2)

(3)熱力學(xué)定律。在聲波作用時(shí)，引起介質(zhì)團(tuán)壓縮和伸張過程很快，近似地認(rèn)為介質(zhì)團(tuán)與周圍介質(zhì)不發(fā)生熱交換，即介質(zhì)團(tuán)狀態(tài)的變化可視等熵絕熱過程。表達(dá)式為

p=c2ρ

(3)

其中，c為聲速。

聯(lián)立式(1)～式(3)并忽略二階以上的微量可得線性聲學(xué)波動(dòng)方程為[7]

(4)

對(duì)于單頻簡諧波，聲場內(nèi)任意位置(包括聲源表面)上的聲壓可表示為

(5)

將其代入聲學(xué)波動(dòng)方程并應(yīng)用傅里葉變換可得赫姆霍茲微分方程：

2p+k2p=0

k=ω/e

(6)

其中，p為聲場中某點(diǎn)的聲壓；R為波數(shù)，ω為角頻率；2表示拉普拉斯算子，在笛卡兒坐標(biāo)系下為

采用分離變量法可解得赫姆霍茲方程在各坐標(biāo)系下的解，即可對(duì)聲場進(jìn)行描述及研究聲場分布特性[8-10]。

在直角坐標(biāo)系(x,y,z)下，式(3)的解為

其中，A、B為常數(shù)，由邊界條件確定。

在柱坐標(biāo)系(r,θ,z)下，式(3)的形式為

利用分離變量法解得

p(r,θ,z)=Jm(krr)ej(mθ+kzz)

其中，Jm和Ym都是m次柱貝塞爾方程的特解，且是線性無關(guān)的；第一階柱漢克爾函數(shù)Hm(1)(x)和第二階柱漢克爾函數(shù)Hm(2)(x)都是柱諾依曼函數(shù)和柱貝塞爾函數(shù)的線性組合，分別表示一自中心軸向外發(fā)散的前進(jìn)波和一向中心軸匯聚的反射波。

在球坐標(biāo)系下，式(3)的形式為

其解為

2　HELS計(jì)算模型

2.1HELS方法原理

基于HELS方法的噪聲診斷技術(shù)[11]，就是將赫姆霍茲方程應(yīng)用于噪聲診斷技術(shù)中，把聲場中聲壓轉(zhuǎn)化為一系列線性無關(guān)的獨(dú)立函數(shù)的疊加，然后使用最小二乘法，根據(jù)已知的噪聲信號(hào)來重建聲場。該技術(shù)的實(shí)質(zhì)是尋找一個(gè)在整個(gè)聲場都通用的、較為簡單的聲壓函數(shù)，并要求此聲壓函數(shù)只與位置有關(guān)?；贖ELS方法的噪聲診斷技術(shù)僅需要測量聲場中較少點(diǎn)的聲壓，就可以較為準(zhǔn)確、高效地重構(gòu)出聲場中其他點(diǎn)的聲學(xué)信息，特別是聲源表面的聲振情況[12]。聲場中(包括聲源表面)任意一點(diǎn)x處的聲壓為[13-14]

(7)

其中，Ci為系數(shù)權(quán)重，ψi為赫姆霍茲方程式(3)相互獨(dú)立且線性無關(guān)的特解。測量點(diǎn)的數(shù)量M和獨(dú)立函數(shù)的項(xiàng)數(shù)N的大小直接影響著HELS模型的計(jì)算效率和精度，文獻(xiàn)[15]中給出了一種確定測量點(diǎn)數(shù)目M和獨(dú)立函數(shù)項(xiàng)數(shù)N的方法，即

N=ka,max+1

M≥1.4N

其中，ka,max為聲源輻射聲波的最大量綱一頻率。

先通過實(shí)驗(yàn)測得已知聲場中某些點(diǎn)的聲壓，然后求解系數(shù)權(quán)重Ci，從而利用式(7)達(dá)到重構(gòu)聲場的目的。設(shè)實(shí)驗(yàn)測得聲場中m個(gè)測量點(diǎn)的聲壓為

p(xi)=pii=1,2,…,m

其中，xi表示聲場中第i個(gè)測量點(diǎn)的位置。若選擇一組n(n≤m)個(gè)獨(dú)立函數(shù)，則

(8)

其中，ψmn為第n個(gè)獨(dú)立函數(shù)在第m個(gè)測量點(diǎn)的值。式(8)的解為

(9)

當(dāng)所取獨(dú)立函數(shù)ψi(x)線性無關(guān)時(shí)，Ci的值可以由式(9)唯一確定。進(jìn)而重建聲場，得到聲場中任意點(diǎn)(包括聲源表面)的聲壓為

(10)

聲源表面某點(diǎn)xs處的表面振速為

(11)

因此，利用HELS方法即可根據(jù)聲場中部分測量點(diǎn)的聲壓信息來確定聲源表面的聲壓。

2.2常用獨(dú)立函數(shù)選取

為使獨(dú)立函數(shù)更為合理地模擬聲場中的聲壓分布，要盡量根據(jù)聲源的形狀、理論聲壓模型選取合適的獨(dú)立函數(shù)，同時(shí)還應(yīng)該盡可能選取簡單的線性無關(guān)的獨(dú)立函數(shù)，以減少計(jì)算量。

(1)球諧函數(shù)。脈動(dòng)球的聲場聲壓的理論計(jì)算公式為

其中，r表示計(jì)算場點(diǎn)距脈動(dòng)球球心的距離，a表示脈動(dòng)球的半徑。

由于球漢克爾函數(shù)中的球諾依曼函數(shù)在r=0處沒有意義，故選取球貝塞爾函數(shù)作為最終選取的獨(dú)立函數(shù)：

波數(shù)k=0.5，選擇6個(gè)球諧函數(shù)作為一組線性無關(guān)的獨(dú)立函數(shù)，則HELS計(jì)算模型為

(12)

其中，線性獨(dú)立函數(shù)為

球貝塞爾函數(shù)為

勒讓德函數(shù)為

(2)柱波函數(shù)。圓柱聲源產(chǎn)生的聲場聲壓的理論計(jì)算公式為

式中，εm為諾依曼系數(shù)。

則所選取的獨(dú)立函數(shù)為

式中，m為非負(fù)整數(shù)。

波數(shù)k=0.5，選擇6個(gè)球諧函數(shù)作為一組線性無關(guān)的獨(dú)立函數(shù)，則HELS計(jì)算模型為

(13)

(3)點(diǎn)源函數(shù)。選取聲源內(nèi)部某點(diǎn)Q作為源點(diǎn)，根據(jù)赫姆霍茲微分方程的解和獨(dú)立函數(shù)的選取原則，選取的獨(dú)立函數(shù)為

其中，r為聲場中的任一點(diǎn)與源點(diǎn)Q之間的距離。

波數(shù)k=0.5，選擇6個(gè)球諧函數(shù)作為一組線性無關(guān)的獨(dú)立函數(shù)，則HELS計(jì)算模型為

(14)

其中，線性獨(dú)立函數(shù)為

3　非線性二次優(yōu)化模型

根據(jù)已知的部分聲場信息求解出系數(shù)矩陣C，即可達(dá)到重構(gòu)聲場的目的。由解矩陣方程建立的逆問題求解模型，算法實(shí)現(xiàn)復(fù)雜，并且對(duì)測量誤差非常敏感，常常因?yàn)椴B(tài)矩陣和測量誤差而導(dǎo)致結(jié)果的不穩(wěn)健性，無法保證聲場重建的精度[16]。因此，建立非線性二次優(yōu)化模型更為精確地搜索系數(shù)矩陣的全局最優(yōu)解，在一定程度上抑制模型的不穩(wěn)健性。

(15)

采用非線性優(yōu)化模型求解誤差平方和的最小值，即可識(shí)別噪聲源。粒子群優(yōu)化算法(PSO)是一種基于群體智能的啟發(fā)式全局隨機(jī)搜索算法，對(duì)非線性問題具有較強(qiáng)的全局搜索能力[17]。本文采用PSO利用MATLAB軟件求解非線性優(yōu)化模型，可以實(shí)現(xiàn)噪聲源的全局搜索。

4　實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證分析

4.1傳感器陣列設(shè)計(jì)

傳感器陣列是由許多傳感器組成的具有一定幾何結(jié)構(gòu)排列的陣列，其基本原理是波束形成技術(shù)，該技術(shù)將多元基陣中各陣元的輸出信號(hào)經(jīng)過一定的處理，形成具有某些可視化的空間特征[18]。

本文采用兩種傳感器陣列對(duì)聲場進(jìn)行測試，采用圖1所示的單支架布置方案，利用6個(gè)傳聲器對(duì)所選取的54個(gè)測量點(diǎn)進(jìn)行掃描采樣。如圖1a所示的圓形陣列方案中，由裝有6個(gè)傳聲器的單支架從1#位置依次旋轉(zhuǎn)到9#位置，完成54個(gè)測量點(diǎn)的測試工作；圖1b所示的矩形陣列中單支架從1#位置依次平移到9#位置，完成聲壓測試工作。

(a)圓形陣列　　　　　　(b)矩形陣列圖1　傳聲器陣列設(shè)計(jì)布置方案圖

4.2聲場聲壓測試實(shí)驗(yàn)

如圖2所示，測試過程在5.0 m×4.3 m×4.0 m的半消聲室內(nèi)進(jìn)行，用揚(yáng)聲器作為模擬聲源。對(duì)單個(gè)噪聲源、雙噪聲源依次進(jìn)行圓形陣列和矩形陣列測試，分別對(duì)聲場中所選擇的54個(gè)測量點(diǎn)測得其聲壓值。其中左圖為矩形陣列測試實(shí)驗(yàn)，右圖為圓形陣列測試，左圖中1為傳聲器，2為傳聲器陣列支架，3為模擬噪聲源。

圖2　聲壓測試實(shí)驗(yàn)

4.3求解結(jié)果分析

4.3.1噪聲源識(shí)別

圖3　單噪聲源識(shí)別結(jié)果

圖4　雙噪聲源識(shí)別結(jié)果

如圖3、圖4所示，選擇不同的獨(dú)立函數(shù)時(shí)的噪聲源識(shí)別位置(圖中圓圈位置)與實(shí)際測量位置(圖中黑方形位置)。由圖可見，HELS-PSO模型可以很好地對(duì)噪聲源進(jìn)行識(shí)別，且對(duì)單噪聲源位置的識(shí)別結(jié)果比多噪聲源的識(shí)別位置更接近于其真實(shí)位置。

4.3.2聲場重建

為了衡量聲場重建的整體效果優(yōu)劣，定義聲場重建平均殘差為

(16)

表1　聲場重建誤差分析

由重建誤差分析結(jié)果可見：選擇球諧函數(shù)作為獨(dú)立函數(shù)的重建誤差較大，對(duì)單個(gè)噪聲源的聲場重建結(jié)果的精度比多噪聲源的精度高，圓形陣列測試結(jié)果的聲場重建精度較矩形陣列的精度高。同時(shí)也說明，獨(dú)立函數(shù)、傳聲器陣列的布置方案對(duì)聲場重建精度的高低有直接的影響。

4.3.3兩種算法的求解誤差對(duì)比

以測得的實(shí)際聲場聲壓值作為參考，兩種算法的聲場重建誤差如表2所示?？梢姡琀ELS-PSO算法比傳統(tǒng)HELS算法的求解誤差更低，但是選取柱波函數(shù)時(shí)兩者的效果相差不大。

表2　兩種不同算法的求解誤差對(duì)比

5　基于MTALAB-GUI的系統(tǒng)軟件設(shè)計(jì)

為了實(shí)現(xiàn)人機(jī)交互，本文利用MTALAB-GUI圖形用戶界面功能完成了系統(tǒng)軟件設(shè)計(jì)，實(shí)現(xiàn)了數(shù)據(jù)分析處理、參數(shù)設(shè)置、算法自定義和結(jié)果顯示等功能。

如圖5所示，菜單欄設(shè)計(jì)了5項(xiàng)主菜單和22個(gè)子菜單。用戶可利用該軟件選擇不同的獨(dú)立函數(shù)，實(shí)現(xiàn)聲場重建三維和二維等高線圖的交互顯示，并顯示噪聲源識(shí)別和誤差分析結(jié)果。

圖5　設(shè)計(jì)的用戶界面

6　結(jié)束語

本文以HELS為主要研究對(duì)象，建立了HELS-PSO模型求解聲學(xué)逆問題。通過實(shí)驗(yàn)測得聲場分布，選擇不同的獨(dú)立函數(shù)分別進(jìn)行了噪聲源識(shí)別和聲場重建，利用實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了該方法的有效性，并得出了一些有指導(dǎo)意義的結(jié)論。為了實(shí)現(xiàn)人機(jī)交互與噪聲的快速識(shí)別，還設(shè)計(jì)了聲場快速重建系統(tǒng)軟件。

[1]吳志明.車輛噪聲與振動(dòng)測試系統(tǒng)研究[D].秦皇島：燕山大學(xué)，2011.

[2]Petyt M，Lea J，Koopmann G H. A Finite Element Method for Determining the Acoustic Modes of Irregular Shaped Cavities[J]. Journal of Sound and Vibration，1976，45(4)：495-502.

[3]楊瑞梁.快速噪聲診斷技術(shù)——HELS方法的理論及工程應(yīng)用研究[M].鄭州：黃河水利出版社，2006.

[4]張海濱，蔣偉康，薛瑋飛,等.基于HELS法的多源相干聲場重建研究[J].振動(dòng)與沖擊，2008,27(1)：93-96.

Zhang Haibin, Jiang Weikang, Xue Weifei, et al. Acoustic Field Reconstruction of Coherent Multi-sound Source Based on HELS Method[J]. Journal of Vibration and Shock, 2008, 27(1):93-96.

[5]Wang Z，Wu S F. Helmholtz Equation-least-squares Method for Reconstructing the Acoustic Pressure field[J]. The Journal of the Acoustical Society of America，1997，102(4)：2020-2032.

[6]Wu S F，Yu J. Reconstructing Interior Acoustic Pressure Fields Via Helmholtz Equation Least-squares Method[J]. The Journal of the Acoustical Society of America，1998，104(4)：2054-2060.

[7]龐劍，諶剛，何華.汽車噪聲與振動(dòng)——理論與應(yīng)用[M].北京：北京理工大學(xué)出版社，2006.

[8]吳九匯.噪聲分析與控制[M].西安：西安交通大學(xué)出版社，2011.

[9]Baiges J，Codina R. A Variational Multiscale Method with Subscales on the Element Boundaries for the Helmholtz Equation[J]. International Journal for Numerical Methods in Engineering，2013，93(6)：664-684.

[10]Chardon G，Cohen A，Daudet L. Reconstruction of Solutions to the Helmholtz Equation from Punctual Measurements[C]//9th International Conference on Sampling Theory and Applications.Bremen,Germany,2013:2013.

[11]Wu S F. The Helmholtz Equation Least-Squares Method [M]. New York：Springer，2015.

[12]Natarajan L K，Wu S. Reconstruction of Normal Surface Velocities on a Baffled Plate Using Helmholtz Equation Least Squares Method[J]. The Journal of the Acoustical Society of America，2011，129(4)：2448-2448.

[13]張金圈.基于波束形成技術(shù)的噪聲源識(shí)別與聲場可視化研究[D].合肥：合肥工業(yè)大學(xué)，2010.

[14]Sean F W，Zhao X. Combined Helmholtz Equation-least Squares Method for Reconstructing Acoustic Radiation from Arbitrarily Shaped Objects[J]. Journal of the Acoustical Society of America，2002，112 (1)：179-188.

[15]Wu S F，Rayess N，Zhao X. Visualization of Acoustic Radiation from a Vibrating Bowling Ball[J]. Journal of the Acoustical Society of America,2001,109(6) :277l-2779 .

[16]薛瑋飛.機(jī)械噪聲源辨識(shí)與特征提取的研究[D].上海：上海交通大學(xué)，2007.

[17]Garnier S，Gautrais J，Theraulaz G. The Biological Principles of Swarm Intelligence[J]. Swarm Intelligence，2007，1(1)：3-31.

[18]齊娜，孟子厚.聲頻聲學(xué)測量技術(shù)原理[M].北京：國防工業(yè)出版社，2008.

(編輯郭偉)

Research on Noise Diagnosis Technology Based on HELS Method

Liu CongzhiWang LingyanRen BingyuMa LupingLiu WeiqunHu Guangdi

Southwest Jiaotong University,Chengdu,610031

The noise diagnosis technology based on HELS applied the Helmholtz equation for noise diagnosis. It transformed the superposition of sound pressure into superposition of a set of linear independent functions. Then the method of least squares was used to reestablish the surface pressure of the sound source according to the known noise signals. The paper innovatively established a new type of HELS-PSO model to research the noise source identification and sound field reconstruction in order to improve solution accuracy. In the experiments the speakers were as simulated noise source and verified by experiments. The experimental results verify the effectiveness and efficiency of the algorithm and the accuracy of the new algorithm is higher than that of the traditional HELS algorithm.

fast noise diagnosis; Helmholtz equation; nonlinear optimization model; Helmholtz equation least squares(HELS)-particle swarm optimization(PSO) algorithm

2015-11-11

中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費(fèi)專項(xiàng)資金資助項(xiàng)目(SWJTU12CX036)；四川省應(yīng)用基礎(chǔ)研究(重大前沿)項(xiàng)目(2015JY0281)；四川省重大科技成果轉(zhuǎn)化專項(xiàng)(2015CC0003)；四川省國際科技合作與交流研究計(jì)劃項(xiàng)目(2015HH0062)；西南交通大學(xué)研究生創(chuàng)新實(shí)驗(yàn)實(shí)踐項(xiàng)目(YC201402104)

TB533DOI：10.3969/j.issn.1004-132X.2016.07.006

劉叢志，男，1989年生。西南交通大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院碩士研究生。研究方向?yàn)槠嚰鞍l(fā)動(dòng)機(jī)檢制。王鈴燕，女，1988年生。西南交通大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院碩士研究生。任冰禹，男，1990年生。西南交通大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院碩士研究生。馬盧平，男，1990年生。西南交通大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院碩士研究生。劉偉群(通信作者)，男，1983年生。西南交通大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院講師。胡廣地，男，1964年生。西南交通大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院教授、博士研究生導(dǎo)師。