田　野，練秋生，徐　鶴

(燕山大學信息科學與工程學院，河北秦皇島 066004)

基于稀疏信號重構的DOA和極化角度估計算法

田野，練秋生，徐鶴

(燕山大學信息科學與工程學院，河北秦皇島 066004)

現(xiàn)有的波達方向(Direction Of Arrival,DOA)和極化參數(shù)估計方法大多基于子空間理論.本文從稀疏信號重構角度出發(fā)，提出了一種新的DOA和極化角度估計算法.該算法首先構建一個只包含DOA信息的累積量矩陣模型，然后基于加權l(xiāng)1范數(shù)最小化獲得DOA估計.在DOA估計的基礎上，進一步通過求和平均運算構建三個包含不同極化信息的累積量向量模型，利用Zhang懲罰進行稀疏性約束，獲得近似無偏的極化角度估計.闡述了如何利用極化信息來區(qū)分兩個入射角度一樣的信源信號.計算機仿真結果驗證了所提算法的有效性.

DOA和極化角度估計；稀疏信號重構；加權l(xiāng)1范數(shù)；Zhang懲罰

1　引言

波達方向(Direction Of Arrival,DOA)估計是陣列信號處理領域的核心研究內容之一，它在智能天線、無線通信、雷達、聲吶、電子偵查及地震勘探等領域有著廣泛的應用前景[1]，受到了國內外學者的廣泛關注，各種適用于DOA估計的算法被相繼提出[2～5].這些算法均基于標量傳感器陣列，它們不能充分利用EM信源信號的極化信息.

在無線通信和雷達領域，極化敏感陣列已被證明可以獲得比標量傳感器更多的優(yōu)勢[6,7].鑒于這一事實，一些適用于DOA和極化參數(shù)估計的算法也被提出，包括矢量叉積算法[8]，極化類ESPRIT算法[9～11]，極化四元數(shù)MUSIC算法[12,13]，極化雙模MUSIC算法[14]，極化MODE算法[15]等.上述算法大都基于子空間理論，由于理論框架的限制其分辨率性能有限，且不能充分利用信號的極化信息.

近年來，稀疏信號重構作為一種新的理論框架逐漸被引入到DOA估計領域.目前已出現(xiàn)的稀疏信號重構類DOA估計算法主要包括l1范數(shù)懲罰算法[16]、加權l(xiāng)1范數(shù)懲罰算法[17,18]、l0范數(shù)逼近算法[19,20]以及迭代重加權最小范數(shù)算法[21]等.和傳統(tǒng)子空間類DOA估計算法相比，稀疏信號重構類算法具有分辨率高、噪聲魯棒性好、無需精確的初始條件等優(yōu)勢.然而值得注意的是，現(xiàn)有的稀疏重構類DOA估計算法大都存在估計偏的問題[22]，這在一定程度上影響了參數(shù)估計性能，并嚴重制約其向極化敏感陣列的拓展.

為了充分利用EM信號的極化信息并克服現(xiàn)有稀疏信號重構類DOA估計算法存在的共性問題，本文借助COLD(Concentered Orthogonal Loop and Dipole)陣列，提出了一種新的基于稀疏信號重構的DOA和極化角度估計算法.該算法步驟如下：(1)構建累積量矩陣并基于加權l(xiāng)1范數(shù)最小化獲得DOA估計；(2)通過求和平均運算構建三個特殊的累積量向量，利用Zhang懲罰進行稀疏性約束獲得極化角度估計；(3)利用估計的極化信息判斷是否有兩個信源從相同的方向入射到陣列.最后通過仿真實驗驗證了所提算法的有效性.

2　極化遠場源模型

考慮K個完全極化遠場窄帶信號入射到一個由L=2M+1個COLD陣元組成的均勻線陣上.如圖1所示，其第m(m=-M,…,M)個陣元以間距d均勻分布在y軸上.偶極子平行于z軸，電磁環(huán)平行于x-y平面.橢圓極化方式下的電場輸出可表示為

E=Eθθ+Eφφ

(1)

式(1)中，Eθ代表水平分量，Eφ代表垂直分量，θ和φ分別代表沿方位角θ和俯仰角φ的球面單位向量.對于給定的信號極化，電場分量可進一步表示為

Eθ=E0cos(γ),

Eφ=E0sin(γ)ejη

(2)

式(2)中，E0代表非零復信號幅度，γ∈[0,π/2)和η∈[-π,π]分別代表信號的極化角度和極化相位差.

基于式(1)和式(2)，得到入射信號的電場和磁場分別為

E=Eθθ+Eφφ=E0[cos(γ)θ+sin(γ)ejηφ]

(3)

H=Eθφ-Eφθ=E0[cos(γ)φ-sin(γ)ejηθ]

(4)

為方便且不失一般性，假設天線和入射信號是共面的，即φ=90°，則式(3)和式(4)可重新表示為

E=E0[cos(γ)(-sin(θ)x+cos(θ)y)-sin(γ)ejηz]

(5)

H=E0[sin(γ)ejη(sin(θ)x-cos(θ)y)-cos(γ)z]

(6)

其中，x，y和z分別代表沿x，y，z方向的單位向量.

(7)

(8)

以第0個陣元為相位參考點，陣列輸出可表示為

u[l](t)=As[l](t)+n[l](t)

(9)

u[d](t)=As[d](t)+n[d](t)

(10)

其中

(11)

(12)

s[l](t)=-[s1(t)cos(γ1),…,sK(t)cos(γK)]T

(13)

s[d](t)=-[s1(t)sin(γ1)ejη1,…,sK(t)sin(γK)ejηK]T

(14)

(15)

(16)

其中，上標T代表轉置操作，A=[a(θ1),…,a(θK)]代表L×K的陣列流型矩陣，其第k列代表第k個信號的導向矢量

a(θk)=[e-jMωk,…,1,…,ejMωk]T

(17)

為保證參數(shù)估計的唯一性，本文做如下假設：

[A1]信源信號{s1(t),…,sK(t)}為窄帶、統(tǒng)計獨立過程且其四階累積量非零；

[A2]噪聲分量n[l](t)和n[d](t)為加性統(tǒng)計獨立高斯過程，且與信源信號不相關；

[A3]為避免相位模糊，陣元間距和信源數(shù)分別滿足d≤λ/2，K

3　DOA和極化角度估計算法

3.1DOA估計

為抑制高斯噪聲并保證估計精度，本文基于陣列輸出數(shù)據(jù)分別構建L×L3的自極化和互極化累積量矩陣，表示為

(18)

(19)

(20)

(21)

為獲得更好的估計結果，定義

(22)

式(22)說明信源信號在累積量域已被完全接收，這直接保證了算法的DOA估計精度.同時由于矩陣C只包含信源的DOA信息，因此DOA估計性能將不受極化參數(shù)的影響.

矩陣C的列向量cp,q,n可表示為

(23)

式(23)中，sp,q,n代表K×1的向量

(24)

(25)

(26)

式(26)中，X是包含所有列向量xp,q,n的矩陣.假定信源數(shù)K已知或已通過AIC或MDL準則準確估計[23]，則可通過對矩陣C進行奇異值分解(Singular Value Decomposition,SVD)來降低計算復雜度，得到

(27)

其中，C=ULVH，CSV=CVDK，XSV=XVDK，DK=[IK,0]T，IK代表K×K的單位矩陣，0代表K×(L3-K)的零值矩陣.上標H代表共軛轉置操作.

(28)

(29)

(30)

(31)

(32)

(33)

和獲得式(22)類似，定義

(34)

式(34)的矩陣形式為

Cw=AC4sAH

(35)

(36)

(37)

優(yōu)化問題(37)可直接通過內點法二階錐規(guī)劃(SOCP)[24]進行求解，其標準形式為

s.t.

(38)

3.2極化角度估計

為獲得極化角度估計，本文構建三個特殊的累積量向量，分別表示為式(39)～(41).

(39)

(40)

(41)

向量c1到c3的稀疏表示為

(42)

(43)

(44)

(45)

(46)

(47)

(48)

證明當只有一個信源信號由方向θ入射到陣列時，有

ρk=cos4(γ)sin4(γ)-(cos2(γ)sin2(γ))2=0

(49)

當有兩個信源信號由相同的方向θ入射到陣列時，有式(50).

ρk=[(cos4(γ1)+cos4(γ2))(sin4(γ1)+sin4(γ2))

-(cos2(γ1)sin2(γ1)+cos2(γ2)sin2(γ2))2]

=cos4(γ1)sin4(γ2)+cos4(γ2)sin4(γ1)

-2cos2(γ1)sin2(γ1)cos2(γ2)sin2(γ2)

=(cos2(γ1)sin2(γ2)-cos2(γ2)sin2(γ1))2

=sin2(γ2+γ1)sin2(γ2-γ1)

(50)

由于γ∈[0,π/2)，并且γ1和γ2不同，則γ1+γ2∈(0,π)，γ1-γ2∈(-π/2,0)∪(0,π/2)，因此1>ρk>0，并且ρk隨著γ1→π/2,γ2→0或γ2→π/2,γ1→0而趨于最大值1.證畢.

注1：定理1說明當極化角度不同時，本文所提算法可有效地區(qū)分兩個入射角度相同的信源信號，并且區(qū)分性能隨著γ1→π/2,γ2→0或γ2→π/2,γ1→0而變好.

注2：本文極化參數(shù)估計的目的是為了在極化域區(qū)分兩個入射角度相同的信源信號，由于在實施過程中只依靠極化角度即可完成區(qū)分(見定理1)，故本文未進行極化相位差的估計.

3.3算法步驟

本文所提算法步驟可總結如下：

步驟1構建累積量矩陣C，Cw及累積量向量ck；

步驟3對矩陣Cw進行奇異值分解，并利用信號子空間與噪聲子空間的正交性構建權值矩陣w；

步驟4基于加權l(xiāng)1范數(shù)最小化方法和SOCP獲得DOA估計；

步驟5借鑒Zhang懲罰思想，在LASSO估計初值的基礎上，利用式(45)進行稀疏信號重構獲得極化角度估計；

步驟6通過ρk的值判斷是否有兩個信源信號由相同的方向入射到陣列.

(51)

4　仿真與分析

本章通過仿真實驗驗證所提算法的性能，并與交叉偶極子陣下最具代表性的ESPRIT算法和COLD陣下的MUSIC算法以及MODE算法進行比較.仿真中采用由7個陣元組成的均勻線陣，陣元間距d=λ/2，入射信號功率相等，建模為ejζt，其中相位ζt均勻分布在[0,2π].除實驗3外，噪聲均假定為高斯白噪聲.以1°間隔先對-90°到90°的空間進行粗網(wǎng)格劃分，進而在估計出的角度周圍逐步細化網(wǎng)格.DOA估計的均方根誤差(RMSE)通過500次獨立的Monte Carlo仿真實驗獲得，定義為

(52)

實驗1角度分辨率性能比較

為展示本文所提算法的角度分辨率性能，考慮兩個空間間隔很近的信源信號入射情況，入射角度分別為θ1=25°，θ2=30°，相對應的極化參數(shù)(γ,η)分別為(20°,0°)和(60°,0°).SNR=5dB，快拍數(shù)為500條件下的空間譜輸出如圖2(a)所示，可以看到本文所提算法和MUSIC算法均能分辨兩個信源信號.然而當把SNR降為-5dB時，如圖2(b)所示，只有本文所提算法仍能很好地區(qū)分兩個信源信號，而MUSIC算法則模糊了兩個信號的譜峰.這說明本文所提算法具有更高的分辨率特性.

實驗2高斯白噪聲下角度估計性能比較

考慮兩個窄帶不相關信源DOA估計情況，入射角度分別為θ1=-10°，θ2=30°，相對應的極化參數(shù)與實驗1相同.DOA估計均方根誤差隨SNR和快拍數(shù)的變化關系分別如圖3(a)和圖3(b)所示.可以看出，本文所提算法的DOA估計性能雖然略低于MODE算法，但在整個SNR和采用快拍數(shù)域全面優(yōu)于ESPRIT算法.同時需要說明的是，MODE算法需要一個較好的初始估計才能保證全局最優(yōu)性，而本文所提算法由于基于凸優(yōu)化理論框架，無需較好的初始條件.

實驗3高斯色噪聲下角度估計性能分析

除背景噪聲假定為高斯色噪聲外，其它實驗條件與實驗2相同.噪聲協(xié)方差矩陣N的第(i1,i2)個元素為

(53)

實驗4兩種特殊入射情況下的估計結果

考慮兩種特殊的信源信號入射情況，即(1)入射角度不同，極化參數(shù)相同；(2)入射角度相同，極化角度不同.SNR=10dB，快拍數(shù)為1000下10次獨立的仿真結果分別如圖5(a)和圖5(b)所示.圖5(a)中三個信源的入射角度分別為θ1=-10°，θ2=30°，θ3=45°，極化參數(shù)(γ,η)均為(30°,0°)，可以看出信號入射角度不同時本文算法不僅可以很容易地區(qū)分三個信源信號，而且可以獲得很好的極化角度估計.圖5(b)中三個信源的入射角度分別為θ1=-10°，θ2=30°，θ3=30°，相對應的極化參數(shù)(γ,η)為(30°,0°)，(45°,0°)和(0°,0°).可以看出，雖然圖5(b)中只出現(xiàn)了兩個信源位置信息，但我們發(fā)現(xiàn)ρ1?ρ2=0.2480，這說明在極化角度不同時，即便兩個信源的入射角度一致，所提算法仍能有效地區(qū)分它們.換句話說，本文算法可以更好的利用極化信息，這是其它算法無法比擬的.

5　結論

本文在稀疏信號重構理論框架下提出了一種新的DOA和極化角度估計算法.該算法在累積量域構建稀疏表示模型，并分別基于加權l(xiāng)1范數(shù)最小化和Zhang懲罰策略實現(xiàn)高斯白/色噪聲下的DOA和極化角度估計.借助估計的極化角度信息，該算法還可以有效區(qū)分兩個入射角度一樣的信源信號.計算機仿真實驗驗證了所提算法的有效性，并展示了其在分辨率、色噪聲下估計精度等方面的優(yōu)勢.

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田野男,1985年12月生于河北省平泉縣,2014年于吉林大學通信與信息系統(tǒng)專業(yè)獲得博士學位，現(xiàn)為燕山大學信息科學與工程學院講師，主要研究方向為陣列信號處理、稀疏信號重構等.

E-mail:tianye@ysu.edu.cn

練秋生男,1969年8月生于江西遂川,工學博士，現(xiàn)為燕山大學信息科學與工程學院教授、博士生導師,主要研究方向為稀疏表示、壓縮感知等.

E-mail:lianqs@ysu.edu.cn

徐鶴女,1989年12月生于遼寧省丹東市,2013年于吉林大學通信與信息系統(tǒng)專業(yè)獲碩士學位,主要研究方向為陣列信號處理、空間譜估計等.

E-mail:xuhebest@sina.com

DOA and Polarization Angle Estimation AlgorithmBased on Sparse Signal Reconstruction

TIAN Ye,LIAN Qiu-sheng,XU He

(School of Information Science and Engineering,Yanshan University,Qinhuangdao,Hebei 066004,China)

Existing direction-of-arrival and polarization estimation methods mostly rely on subspace technique.This paper proposes a novel DOA and polarization angle estimation algorithm from sparse signal reconstruction perspective.The algorithm first constructs a cumulant matrix model which is only related to DOA parameter,and then obtains DOA estimation using the weighted l1-norm minimization.Further,this paper constructs another three cumulant vector models by sum-average arithmetic,and enforces sparsity by Zhang penalty,which leads to almost unbiased polarization angle estimation.Meanwhile,this paper also demonstrates how to identify two sources with same DOA using their polarization characteristics.Computer simulation results validate the effectiveness of the proposed algorithm.

DOA and polarization angle estimation；sparse signal reconstruction；weighted l1-norm；Zhang penalty

2015-01-28；

2015-04-08；責任編輯：孫瑤

國家自然科學基金(No.61471313)；河北省高等學校青年拔尖人才計劃(No.BJ2016051);燕山大學校內自主研究課題(No.14LGA012)；燕山大學博士基金(No.B887)

TN911.7

A

0372-2112 (2016)07-1548-07

??學報URL:http://www.ejournal.org.cn

10.3969/j.issn.0372-2112.2016.07.004