戴靜娛，張學(xué)良，鄧敏藝，譚惠麗

(廣西師范大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，廣西桂林541004)

?

位置擾動對激發(fā)介質(zhì)中螺旋波動力學(xué)行為的影響

戴靜娛，張學(xué)良，鄧敏藝，譚惠麗

(廣西師范大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，廣西桂林541004)

摘要：本文在Greenberg-Hastings 激發(fā)介質(zhì)元胞自動機(jī)模型規(guī)則網(wǎng)格基礎(chǔ)上施加位置擾動，以此模擬激發(fā)介質(zhì)中激發(fā)元之間相互作用距離的改變。計(jì)算機(jī)數(shù)值模擬結(jié)果表明：對于在規(guī)則網(wǎng)格下產(chǎn)生的穩(wěn)定螺旋波，施加位置擾動后發(fā)現(xiàn)，螺旋波斑圖的穩(wěn)定性與元胞位置擾動的幅度有關(guān)，不同幅度的元胞位置擾動導(dǎo)致穩(wěn)定螺旋波發(fā)生兩種不同的變化：漫游后形成新的穩(wěn)定螺旋波；漫游后從系統(tǒng)中消失。通過波頭運(yùn)動軌跡和系統(tǒng)激發(fā)比率的變化來簡要分析產(chǎn)生這些現(xiàn)象的原因。

關(guān)鍵詞：激發(fā)介質(zhì)；螺旋波；位置擾動；元胞自動機(jī)模型

0引言

螺旋波是系統(tǒng)遠(yuǎn)離平衡態(tài)時(shí)自組織形成的一類特殊斑圖，它廣泛存在于可激發(fā)介質(zhì)中[1-3]。心臟是一種復(fù)雜的耦合非均勻可激發(fā)系統(tǒng)。正常情況下，心臟電信號由竇房節(jié)發(fā)出并以靶波的形式在心臟中傳播，某些情況下靶波斷裂形成螺旋波，導(dǎo)致心率過速[3]；螺旋波失穩(wěn)導(dǎo)致系統(tǒng)進(jìn)入時(shí)空混沌，對應(yīng)著心顫，能致人猝死[4]。目前成熟的除顫方法是施加瞬時(shí)高壓將心臟打停，然后再令心臟重新搏動。這種方法不僅危險(xiǎn)，而且給患者帶來極大痛苦。如果掌握了螺旋波的運(yùn)動規(guī)律，理論上5 mV的低壓就可以將螺旋波從心臟中消除[5]，因此數(shù)十年來，螺旋波的動力學(xué)行為已成為非線性科學(xué)的研究熱點(diǎn)[6-9]。

生理或病理的原因可導(dǎo)致激發(fā)介質(zhì)的性質(zhì)發(fā)生局部乃至全部的變化，導(dǎo)致系統(tǒng)異質(zhì)性的出現(xiàn)，并對系統(tǒng)的非線性波演化行為產(chǎn)生影響。例如，由于介質(zhì)中異質(zhì)性結(jié)構(gòu)的存在，介質(zhì)中漂移或漫游的螺旋波被吸引甚至釘扎在局域缺陷的位置[10]，而且小異質(zhì)顆粒的存在容易導(dǎo)致穩(wěn)定螺旋波破碎而形成空間無序時(shí)間有序的迷宮斑圖[11]。何岱海等[12]在非均勻可激發(fā)介質(zhì)中研究了小世界網(wǎng)絡(luò)連接對螺旋波動力學(xué)行為的影響，發(fā)現(xiàn)適當(dāng)?shù)碾S機(jī)重連有利于非均勻激發(fā)介質(zhì)中螺旋波的維持，并認(rèn)為其原因在于適當(dāng)?shù)碾S機(jī)重連改善了介質(zhì)的均勻性。A. Feldman等[13]在隨機(jī)離散網(wǎng)格上研究了離散雙變量非均勻可激發(fā)介質(zhì)中元胞位置隨機(jī)分布對螺旋波穩(wěn)定性的影響，發(fā)現(xiàn)當(dāng)元胞位置發(fā)生隨機(jī)性重置后，在原來規(guī)則網(wǎng)格系統(tǒng)中不能維持的螺旋波變得穩(wěn)定，且螺旋波的穩(wěn)定性隨位置隨機(jī)性重置的幅度增大而增強(qiáng)。在文獻(xiàn)[13]的工作中，元胞的鄰居仍分布在鄰居半徑范圍內(nèi)，因此該位置重置只能改善系統(tǒng)的元胞分布均勻性，但不能模擬心肌細(xì)胞間不同距離的相互作用。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，哺乳動物心肌細(xì)胞間跨縫連接的方向并非如規(guī)則網(wǎng)格那么整齊劃一，而心肌病變不僅可引起系統(tǒng)異質(zhì)結(jié)構(gòu)(如梗死區(qū))的出現(xiàn)，還可導(dǎo)致細(xì)胞間連接方向、相互作用距離的改變[14-16]。為了模擬這些改變，本文考慮位置擾動后細(xì)胞之間的鄰居關(guān)系不變，但鄰居的分布范圍隨擾動幅度變化而變化的情況，探討細(xì)胞位置擾動對螺旋波動力學(xué)行為的影響。

元胞自動機(jī)(cellular automata，簡稱CA)是時(shí)間、空間、狀態(tài)都離散的數(shù)值計(jì)算方法，具有高度并行的特點(diǎn)，并且程序設(shè)計(jì)簡單，邊界條件容易滿足，因此得到廣泛應(yīng)用[17-19]。Greenberg-Hastings元胞自動機(jī)模型是一種簡單的激發(fā)介質(zhì)CA模型[20]，其可靠性通過了實(shí)驗(yàn)的檢驗(yàn)[21]。本文在Greenberg-Hastings元胞自動機(jī)模型的規(guī)則網(wǎng)格基礎(chǔ)上施加元胞位置擾動，研究位置擾動對穩(wěn)定螺旋波動力學(xué)行為的影響：數(shù)值計(jì)算模擬螺旋波斑圖演化與位置擾動幅度之間的關(guān)系；數(shù)值計(jì)算研究不同位置擾動幅度對螺旋波波頭軌跡的影響和對系統(tǒng)激發(fā)比率的影響，并分析產(chǎn)生這些影響的原因。

1模型

將系統(tǒng)劃分為300×300個(gè)規(guī)則的四方網(wǎng)格，元胞均勻地分布在四方網(wǎng)格的交點(diǎn)上，最近鄰元胞之間的距離為1。采用擴(kuò)展的Moore鄰居，當(dāng)鄰域半徑為R時(shí)，中心元胞共有(2R+1)2-1個(gè)鄰居。時(shí)刻t、格位r的元胞狀態(tài)ψ(r，t)在集合{0，1，2，…，n-1}中取值，n稱為狀態(tài)數(shù)。ψ(r，t)=0代表靜息態(tài)，ψ(r，t)=1代表激發(fā)態(tài)，ψ(r，t)=2，…，n-1代表不應(yīng)態(tài)。狀態(tài)間的演化規(guī)則如下：

①如果ψ(r，t)是激發(fā)態(tài)或不應(yīng)態(tài)，則ψ(r，t+1)=ψ(r，t)+1 modn。

②如果ψ(r，t)是靜息態(tài)，則只有其鄰域范圍內(nèi)處于激發(fā)態(tài)的元胞個(gè)數(shù)達(dá)到K以上(包括K)，格位r的元胞才能在下一時(shí)步被激發(fā)為激發(fā)態(tài)，否則保持靜息態(tài)。K稱為激發(fā)閾值。

在實(shí)際的心肌系統(tǒng)中，心肌細(xì)胞的分布并不是那么規(guī)則的網(wǎng)格，且心肌病變可引起細(xì)胞之間作用距離的改變。為模擬更真實(shí)情況下的心肌組織，在以上建立的規(guī)則網(wǎng)格基礎(chǔ)上令元胞位置發(fā)生一定幅度的擾動[13]，使元胞坐標(biāo)由整數(shù)型的(i，j)變?yōu)樾?shù)型的(xi，yj)，其中xi=i+δ(i，r1)，yj=j+δ(j，r1)，δ(i，r1)與δ(j，r1)是取值范圍為[-r1，r1]的隨機(jī)數(shù)，r1稱為擾動幅度。本文與文獻(xiàn)[13]的不同之處在于：若以A和B標(biāo)記任意兩個(gè)在規(guī)則網(wǎng)格下相互作用的元胞，那么在施加了位置擾動后，不管A與B之間的距離增大還是減小，它們?nèi)匀幌嗷プ饔?。顯然，位置擾動后元胞的鄰居數(shù)目不變，但鄰居分布范圍隨著擾動幅度的增大而增大，所以本文的位置擾動能反映細(xì)胞間作用距離的變化。

2數(shù)值模擬結(jié)果及分析

首先在參數(shù)為n=10，K=30，r=7的規(guī)則網(wǎng)格下產(chǎn)生穩(wěn)定螺旋波：初始時(shí)(t=0)在系統(tǒng)底部邊界產(chǎn)生一列行波，當(dāng)行波運(yùn)動到系統(tǒng)中間時(shí)(t=27)，將其截?cái)啵莼欢螘r(shí)間后形成穩(wěn)定的螺旋波(圖1(a))。從圖1(a)中看出，元胞規(guī)則分布時(shí)模型中產(chǎn)生的螺旋波波紋間隔均勻。

2.1位置擾動對螺旋波演化斑圖的影響

為了研究元胞位置擾動對穩(wěn)定螺旋波演化行為的影響，在得到圖1(a)的穩(wěn)定螺旋波后，令系統(tǒng)中40%(其他比例亦可得到類似結(jié)果)的元胞在t=327時(shí)步開始發(fā)生幅度為r1的位置擾動，觀測不同擾動幅度r1下螺旋波動力學(xué)斑圖的演化行為，結(jié)果見圖1(b)～(f)。

數(shù)值模擬結(jié)果顯示，隨著元胞位置擾動幅度的加入，穩(wěn)定螺旋波斑圖發(fā)生如下變化：加入位置擾動后，當(dāng)擾動幅度較小時(shí)(01.6)，新螺旋波的波長足夠大以至于波頭溢出系統(tǒng)，螺旋波消失(圖1(e)、(f))。為了進(jìn)一步分析螺旋波在擾動前后的動力學(xué)行為，本文對擾動前后螺旋波的波頭軌跡進(jìn)行跟蹤和分析。

2.2位置擾動對螺旋波波頭軌跡的影響

圖中黑色代表激發(fā)態(tài)，白色代表靜息態(tài)和不應(yīng)態(tài)。圖1　不同r1下不同時(shí)刻的螺旋波斑圖Fig.1　The spiral waves pattern at different time under different r1

螺旋波波頭是螺旋波的組織中心，它決定著螺旋波的動力學(xué)行為。在本文的模型中，波頭位置的定義是元胞自身為激發(fā)態(tài)且其半徑為1的范圍內(nèi)同時(shí)具備激發(fā)態(tài)、不應(yīng)態(tài)和靜息態(tài)鄰居的位置。為了分析位置擾動對螺旋波演化行為的影響原因，本文跟蹤了擾動前后系統(tǒng)波頭的運(yùn)動軌跡，通過波頭的運(yùn)動進(jìn)一步分析擾動前后螺旋波的動力學(xué)行為變化。數(shù)值模擬結(jié)果表明：加入位置擾動前，波頭作近似于圓周的周期運(yùn)動，見圖2(a)；當(dāng)施加小幅度擾動(01.6)時(shí)，螺旋波漫游后最終從系統(tǒng)中消失。在螺旋波先漫游后消失的過程中，觀察到兩種較為有趣的漫游方式：圓滾線漫游和直線漫游。當(dāng)位置擾動幅度為1.66.0時(shí)，由于擾動幅度較大，已經(jīng)足以完全破壞波頭的穩(wěn)定性，于是螺旋波作無規(guī)律漫游，然后從系統(tǒng)消失。

圖2　不同r1下螺旋波波頭軌跡Fig.2　The trajectory of spiral wave tip under different r1

2.3位置擾動對系統(tǒng)激發(fā)比率的影響

系統(tǒng)的激發(fā)性是維持靶波、螺旋波等非線性波的必要因素。在圖1和圖2中所發(fā)現(xiàn)的加入位置擾動后出現(xiàn)螺旋波漫游乃至消失的現(xiàn)象，可以通過系統(tǒng)激發(fā)比率的變化來得到解釋。系統(tǒng)激發(fā)比率J(t)定義為t時(shí)步系統(tǒng)中激發(fā)態(tài)元胞個(gè)數(shù)與系統(tǒng)元胞總數(shù)之比。本文對擾動前后系統(tǒng)的激發(fā)比率進(jìn)行記錄，數(shù)值模擬結(jié)果發(fā)現(xiàn)施加位置擾動前穩(wěn)定螺旋波的激發(fā)比率隨時(shí)間作周期性震蕩(見圖3(a))，而施加位置擾動后，系統(tǒng)激發(fā)比率隨位置擾動幅度的不同而發(fā)生不同的變化：①當(dāng)擾動幅度為01.6時(shí)，施加位置擾動后系統(tǒng)激發(fā)比率快速下降，經(jīng)過一段時(shí)間無規(guī)律震蕩后減為零，說明系統(tǒng)激發(fā)性完全消失，如圖3(e)、(f)所示。圖3表明本文所考慮的位置擾動對系統(tǒng)激發(fā)性有增強(qiáng)和減弱的雙重作用。位置擾動對系統(tǒng)激發(fā)性的雙重作用源自位置擾動使相互作用的元胞距離發(fā)生了變化：當(dāng)擾動幅度較小時(shí)，位置擾動主要實(shí)現(xiàn)了元胞分布的均勻化，因此增強(qiáng)了系統(tǒng)的激發(fā)性[13]；當(dāng)擾動幅度較大時(shí)，位置擾動實(shí)現(xiàn)了細(xì)胞間的長程連接，而幅度足夠大的隨機(jī)長程連接降低系統(tǒng)激發(fā)性[12]，因此在幅度足夠大的位置擾動下系統(tǒng)的激發(fā)性大大減弱，甚至為零。

圖3　不同r1下系統(tǒng)激發(fā)比率隨時(shí)間的變化Fig.3　The relation between the excitation ratio and the time under different r1

3結(jié)論

本文對Greenberg-Hastings元胞自動機(jī)模型中完全規(guī)則分布的元胞施加不同幅度的位置擾動，以擾動幅度的大小反映元胞間相互作用距離的遠(yuǎn)近，探討了元胞位置擾動對穩(wěn)定螺旋波動力學(xué)行為的影響，數(shù)值模擬發(fā)現(xiàn)：①只要加入位置擾動，均可引起螺旋波斑圖的變化，使原本穩(wěn)定的螺旋波經(jīng)歷漫游過程后形成新的穩(wěn)定螺旋波或漫游后消失。②在位置擾動導(dǎo)致的螺旋波漫游后消失的現(xiàn)象中，漫游的方向帶有隨機(jī)性。觀察到兩種由于長程連接而引發(fā)的漫游方式：圓滾線型漫游和直線型漫游。當(dāng)擾動幅度較小時(shí)(1.66.0，螺旋波原來的圓形波頭軌跡模式因被完全打破而作無規(guī)律漫游并最終從系統(tǒng)消失。③位置擾動施加前后系統(tǒng)激發(fā)比率變化結(jié)果表明：當(dāng)擾動幅度足夠小時(shí)，擾動后系統(tǒng)的激發(fā)比率明顯升高，說明在完全規(guī)則網(wǎng)格的情況下，微小幅度的位置擾動增強(qiáng)了系統(tǒng)的激發(fā)性；當(dāng)擾動幅度足夠大時(shí)，施加位置擾動后系統(tǒng)激發(fā)比率降低，而且位置擾動幅度越大，激發(fā)比率降低的幅度也越大，直至降低為零，說明過大的位置擾動能極大地降低系統(tǒng)的激發(fā)性，甚至導(dǎo)致系統(tǒng)激發(fā)性為零。本文考慮的位置擾動雖然不改變規(guī)則網(wǎng)格下的元胞鄰居個(gè)數(shù)，但改變了鄰居的分布范圍，因此當(dāng)擾動幅度較小時(shí)，位置擾動具有增強(qiáng)元胞分布均勻性的作用[13]；當(dāng)幅度較大時(shí)，位置擾動實(shí)現(xiàn)了元胞間的長程連接，而足夠大范圍的長程連接具有降低系統(tǒng)激發(fā)性的作用[12]，因此出現(xiàn)了位置擾動后系統(tǒng)激發(fā)性升高和降低兩種截然不同的情況。

參考文獻(xiàn)：

[1]GERHARDT M， SCHUSTER H， TYSON J J. A cellular automaton model of excitable media including curvature and dispersion[J]. Science， 1990， 247(4950)： 1563-1566.

[2]DAVIDENKO J M， KENT P F， CHIALVO D R， et al. Sustained vortex-like waves in normal isolated ventricular muscle[J]. Proceedings of the National Academy of Sciences， 1990， 87： 8785-8789.

[3]DAVIDENKO J M， PERTSOV A V， SALOMONSZ R， et al. Stationary and driftingspiral waves of excitation in isolated cardiac muscle[J]. Nature， 1992， 355： 349-351.

[4]NASH M P, PANFILOV A V. Electromechanical model of excitable tissue to study reentrant cardiac arrhythmias[J]. Progress in Biophysics and Molecular Biology， 2004， 85(2)： 501-522.

[5]歐陽頎. 反應(yīng)擴(kuò)散系統(tǒng)中螺旋波的失穩(wěn)[J]. 物理， 2001， 30(1)： 30-35.

[6]CHEN J X, HU B. Spiral breakup and consequent patterns induced by strong polarized advective field[J]. Europhysics Letters， 2008， 84(3)： 34002.

[7]LIU G Q， WU N J， YING H P. The drift of spirals under competitive illumination in an excitable medium[J]. Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation， 2013， 18(9)： 2398-2401.

[8]鐘敏，唐國寧.限制鉀離子電流抑制心臟中螺旋波和時(shí)空混沌[J].廣西師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2010， 28(2)： 6-8.

[9]馬軍，應(yīng)和平，李延龍，等.混沌信號驅(qū)動實(shí)現(xiàn)螺旋波和時(shí)空混沌抑制[J].鄭州大學(xué)學(xué)報(bào)(理學(xué)版)，2006，38(1)： 45-49.

[11]戴瑜， 韋海明， 唐國寧. 非均勻激發(fā)介質(zhì)中螺旋波的演化[J]. 物理學(xué)報(bào)， 2010，59(9)： 5979-5983.

[12]HE D H， HU G， ZHAN M， et al. Pattern formation of spiral waves in an inhomogeneous medium with small-world connections[J]. Physcial Review E， 2002， 65(5)： 055204.

[13]FELDMAN A， YIN J Z， SAXBERG B E H， et al. Vortex wave stability in homogeneous excitable media： Simulations on a randomized discrete iscrete lattice[J]. Engineering in Medicine and Biology Society， 1995， 1： 25-26.

[14]DILLON S M， ALLESSIE M A， URSELL P C， et al. Influences of anisotropic tissue structure on reentrant circuits in the epicardial border zone of subacute canine infarcts[J]. Circulation Research， 1988， 63(1)： 182-206.

[15]HOYT R H， COHEN M L， SAFFITZ J E. Distribution and three-dimensional structure of intercellular junctions in canine myocardium[J]. Circulation Research， 1989， 64(3)： 563-574.

[16]LUKE R A， SAFFITZ J E. Remodeling of ventricular conduction pathways in healed canine infarct border zones[J]. Journal of Clinical Investigation， 1991， 87(5)： 1594-1602.

[17]田興玲，劉慕仁，郭俊華．小世界網(wǎng)絡(luò)上的差額選舉模型[J]．鄭州大學(xué)學(xué)報(bào)(理學(xué)版)，2008，40(2)：60-65.

[18]梁玉娟．從動能損失看彎道路段的通行能力[J]．四川師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2011，34(3)：355-359.

[19]DENG M Y， CHEN X Q， TANG G N. The effect of cellular aging on the dynamics of spiral waves[J]. Chin Phys B， 2014， 23(12)： 120503.

[20]GREENBERG J M， HASTINGS S P. Spatial patterns for discrete models of diffusion in excitable media[J]. SIAM J Appl Math， 1978, 34(3)： 515-523.

[21]ZHAO Y， BILLINGS S A， ROUTH A F. Identification of the Belousov-Zhabotingskii reaction using cellular automata[J]. International Journal of Bifurcation and Chaos， 2007， 17(5)： 1687-1701.

(責(zé)任編輯王龍杰)

doi:10.16088/j.issn.1001-6600.2016.02.002

收稿日期：2015-12-15

基金項(xiàng)目：國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11365003，11165004)

中圖分類號：O411.3

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號：1001-6600(2016)02-0008-07

Effect of Position Perturbation for Spiral Waves in Excitable Media

DAI Jingyu，ZHANG Xueliang， DENG Minyi， TAN Huili

(College of Physical Science and Technology， Guangxi Normal University， Guilin Guangxi 541004， China)

Abstract:Based on the Greenberg-Hastings cellular automata model， the effect of the position perturbation for the spiral waves in excitable media is studied. The amplitude of the position perturbation represents the interaction distance between cells. The computer simulation results show that the position perturbations with different amplitudes are added into the system after the stable spiral wave is formed， and the stability of spiral wave meanders is related to the range of the position perturbation of the cells. Different ranges of the position perturbation will result in two different changes of the stable waves. New stable waves are formed or disappeared after meanders. The two types meandering behavior are observed， and the mechanism underlying these phenomena are analyzed.

Keywords:excitable media； spiral wave； position perturbation； cellular automata model

通信聯(lián)系人：譚惠麗(1977—)，女(壯族)，廣西柳江人，廣西師范大學(xué)副教授。E-mail: tanhuili_99@163.com