郭俊楠

河南師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，河南　新鄉(xiāng)　453007

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從余弦定理的證明看學(xué)生的發(fā)散思維

郭俊楠

河南師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，河南新鄉(xiāng)453007

摘要：縱觀近幾年的數(shù)學(xué)高考試卷，我們發(fā)現(xiàn)對學(xué)生發(fā)散思維的考察越來越多，但學(xué)生具有較好的思維發(fā)散能力并不僅僅是數(shù)學(xué)的要求。在當(dāng)今這個(gè)飛速發(fā)展的信息化時(shí)代，求異和創(chuàng)新愈發(fā)顯得彌足珍貴。所以，學(xué)生發(fā)散思維的培養(yǎng)和鍛煉一直是現(xiàn)代教學(xué)中的重點(diǎn)與難點(diǎn)。本文從余弦定理的證明出發(fā)，多方面、多層次地進(jìn)行思考和分析，在探討多樣證明方法的同時(shí)，以尋求培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散思維的策略。

關(guān)鍵詞：余弦定理；發(fā)散思維；求異；創(chuàng)新

何為發(fā)散思維？根據(jù)思維的指向性，思維可分為集中思維和發(fā)散思維。思維是人腦對客觀現(xiàn)實(shí)概括的和間接的反映，它體現(xiàn)的是事物的本質(zhì)與內(nèi)部規(guī)律性。發(fā)散思維也稱輻散思維、求異思維，是根據(jù)已有的信息，從不同角度思考，從多方面尋求多樣性答案的一種展開性思維活動。下面，我們就從余弦定理的多種證法看學(xué)生思維的發(fā)散性。

在數(shù)學(xué)中，用符號語言來描述余弦定理，即：a2=b2+c2-2bccosA ① b2=a2+c2-2accosB②c2=a2+b2-2abcos③

分析：余弦定理的公式中給出了四個(gè)量，“知三可求一”，因此，證明余弦定理即解決已知其中的三個(gè)量來表示另外一個(gè)量的問題。

思維取向一：解析法

在△ABC上建立直角坐標(biāo)系，如圖1，點(diǎn)A為原點(diǎn)，點(diǎn)B落在x軸正半軸上，設(shè)三角形 三邊分別為a,b,c,則三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(0,0),B(c,0),C(bcosA,bsinA),已知BC=a,由兩點(diǎn)間距離公式可得：

化簡可得：a2=b2+c2-2bcosA

同理可得②③.

圖1

點(diǎn)評：此法是通過建立坐標(biāo)系將幾何問題用代數(shù)觀點(diǎn)來解決。筆者認(rèn)為這個(gè)方法簡單易懂，學(xué)生很容易就能想到求邊長也即求兩點(diǎn)間的距離，關(guān)鍵是要想到如何巧妙地建立直角坐標(biāo)系(將一點(diǎn)放在原點(diǎn)，另一點(diǎn)置于x軸上)。

思維取向二：勾股法

在任意△ABC中，如圖2，AB=c,AC=b,BC=a過點(diǎn)A作邊BC的高AD,則由圖2可知 AD=cinB,CD=a-ccosB

在RT△ADC中，滿足AC2=AD2+DC2

b2=c2sin2B+a2+c2cos2B-2accosB

=c2+a2-2accosB

同理可得②③.

圖2

點(diǎn)評：筆者認(rèn)為此方法相對前三種方法不管是在計(jì)算量上還是思路上都更為簡單。一開始我們接觸到的銳角三角函數(shù)是根據(jù)直角三角形中的銳角得到的，而余弦定理是適用于任意三角形，通過在任意三角形中構(gòu)造直角三角形，恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用三角函數(shù)將邊角關(guān)系有機(jī)的結(jié)合起來，即可得到余弦定理，其實(shí)，我們不難發(fā)現(xiàn)當(dāng)一個(gè)角為直角時(shí)余弦定理即為勾股定理。

思維取向三：射影定理法

即c2=a2+b2-2abcosC

同理可得②③.

分析：余弦定理刻畫的是任意三角形邊角的關(guān)系，任意三角形的射影定理也涉及到邊長和角度，為了將兩者聯(lián)系起來進(jìn)行了步驟＊，稍加整理即可得到余弦定理。

思維取向四：復(fù)數(shù)法

即：c=a(cosB+isinB)+b(cosA-isinA)=(acosB+BcosA)+i(asinB-bsinA)(*)

對等式(*)兩邊分別平方可得：c2=a2+b2-2abcosC，同理可得②③.

點(diǎn)評：此方法是上述向量法與解析幾何法的結(jié)合，不同之處在于此方法中的坐標(biāo)系與計(jì)算均是在復(fù)數(shù)領(lǐng)域內(nèi)。

這四種證法對于高中生來說并不難理解，在學(xué)生原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)為基礎(chǔ)之上，通過將新舊知識間建立聯(lián)系。但難的是如何針對一個(gè)問題從不同角度找到多樣的解決辦法。這就需要現(xiàn)代教師在教學(xué)過程中有意識地培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維。

通過對余弦定理證法的思考與分析，并結(jié)合思維的一般品質(zhì)，關(guān)于如何培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維我提出以下三點(diǎn)。首先應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生在學(xué)習(xí)中抓住事物的規(guī)律和本質(zhì)，深入的思考問題，從而增加學(xué)生思維的深刻性，為思維的發(fā)散奠定一個(gè)良好的基礎(chǔ)。其次，鼓勵(lì)學(xué)生在學(xué)習(xí)中追求“標(biāo)新立異”，勇于創(chuàng)新。因此，在教學(xué)過程中，可以根據(jù)學(xué)生的這種心理特點(diǎn)，鼓勵(lì)其大膽想象，嘗試突破思維的局限，從多角度、多層面思考問題。如復(fù)數(shù)法或許就很少同學(xué)能夠想到，因?yàn)榇蠹叶疾患s而同地將余弦定理限定在實(shí)數(shù)范圍，很少去想利用復(fù)數(shù)能不能解決這個(gè)問題；大多數(shù)同學(xué)也都認(rèn)為用數(shù)學(xué)知識解決物理問題理所當(dāng)然，而不會想到是否可以用物理知識解決數(shù)學(xué)問題。同時(shí)，作為教師應(yīng)用包容與鼓勵(lì)的眼光看待學(xué)生在“求異”過程中出現(xiàn)的錯(cuò)誤與失敗，并以恰當(dāng)?shù)姆绞綆椭鷮W(xué)生改正想法中的不足。當(dāng)然，適當(dāng)?shù)挠嗅槍π缘牧?xí)題訓(xùn)練對學(xué)生發(fā)散思維的培養(yǎng)也是必要的。結(jié)合教學(xué)內(nèi)容和學(xué)生實(shí)際情況，采取多種形式的習(xí)題訓(xùn)練，可激發(fā)學(xué)生求異創(chuàng)新的欲望，幫助學(xué)生養(yǎng)成多角度思考問題的習(xí)慣。

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中圖分類號：G633.6

文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

文章編號：1006-0049-(2016)14-0194-01