付冬雪

在直角坐標(biāo)系中引入空間向量，為解決立體幾何問(wèn)題提供了一個(gè)有效的代數(shù)工具.

立體幾何中的探索性問(wèn)題一般描述的是動(dòng)態(tài)過(guò)程，需要一定的空間想象能力，而向量可以使復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化，降低思維難度，可操作性強(qiáng)，能有效提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效率.

下面列舉幾種常見的用向量法解決立體幾何中探索性問(wèn)題的類型與方法.

一、與平行有關(guān)的探索性問(wèn)題

問(wèn)題1：如圖1，四棱錐S-ABCD 的底面是正方形，每條側(cè)棱的長(zhǎng)都是底面邊長(zhǎng)的倍，P為側(cè)棱SD上的點(diǎn).若SD⊥平面PAC，問(wèn)：側(cè)棱SC上是否存在一點(diǎn)E，使得BE∥平面PAC？若存在，求線段CE：ES的值.若不存在，說(shuō)明理由.

因?yàn)锽E不在平面PAC內(nèi)，故BE ∥平面PAC .

點(diǎn)評(píng)：假設(shè)點(diǎn) E 是線段SC上的點(diǎn)， 一般可設(shè)=λ（0≤λ≤1）求出λ值，通過(guò)建立坐標(biāo)系，向量的坐標(biāo)是通過(guò)已知可求的，即可用λ表示向量.根據(jù)BE∥平面 PAC，由與面PAC的法向量垂直解出λ.立體幾何中的點(diǎn)的位置的探求經(jīng)常借助于空間向量，設(shè)比值引入?yún)?shù)， 根據(jù)題中已知和所求結(jié)論轉(zhuǎn)化成向量問(wèn)題， 解出參數(shù).這是立體幾何中的點(diǎn)的位置的探求的常用方法.

二、與垂直有關(guān)的探索性問(wèn)題

問(wèn)題2：如圖2，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，MD⊥面ABCD，NB⊥面ABCD，且MD=NB=1，E為BC中點(diǎn)，問(wèn)：在線段AN上是否存在一點(diǎn)S，使ES⊥平面AMN？若存在，求線段AS的長(zhǎng)；若不存在，說(shuō)明理由.

點(diǎn)評(píng)：空間中的線線、線面、面面垂直都可轉(zhuǎn)化為兩向量的垂直來(lái)解決，本問(wèn)題也可以利用向量與平面 AMN 的一個(gè)法向量共線來(lái)求得 S 的位置.

三、與角有關(guān)的探索性問(wèn)題

問(wèn)題3：已知在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為4的正方形，△PAD是正三角形，平面PAD⊥平面ABCD，E、F、G分別是PA、PB、BC的中點(diǎn). 問(wèn)：線段 PD上是否存在一個(gè)動(dòng)點(diǎn)M，使得直線GM與平面EFG所成角為，若存在，求線段PM的長(zhǎng)度，若不存在，說(shuō)明理由.

從以上問(wèn)題可以看出，向量是“數(shù)”與“形”相互轉(zhuǎn)化的橋梁和紐帶，既能體現(xiàn)“數(shù)”的運(yùn)算性質(zhì)，又具有“形”的直觀特征，能融數(shù)形于一體.因此，向量是解決立體幾何中平行、垂直、角和距離的有效工具. 用向量法解決立體幾何中的探索性問(wèn)題時(shí)，要恰當(dāng)?shù)亟⒖臻g直角坐標(biāo)系，合理地等價(jià)轉(zhuǎn)化所求問(wèn)題，就能將幾何問(wèn)題代數(shù)化，將復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，將邏輯推理運(yùn)算化.