◇儲冬生

超越現(xiàn)實：負數(shù)的誕生

◇儲冬生

負數(shù)的產(chǎn)生

數(shù)學(xué)的產(chǎn)生無非就是兩個路徑：一是實踐的產(chǎn)物，二是數(shù)學(xué)自身發(fā)展的產(chǎn)物。負數(shù)的產(chǎn)生就是如此：一方面是源自人們生活中的經(jīng)驗，如交易中的盈利和虧損，個人收支的得與失等；另一方面也是數(shù)學(xué)自身的發(fā)展需求，如減法運算中，兩個正數(shù)相減不一定得到正數(shù)。為了解決這些問題，人類不得不創(chuàng)造出一種新數(shù)，把數(shù)的范圍從正數(shù)擴大到負數(shù)。

據(jù)史料記載，世界上較早發(fā)現(xiàn)與認識負數(shù)的應(yīng)當(dāng)是我們中國人和同處東方的印度人。在我國戰(zhàn)國時期，李悝在一部有關(guān)法律的著作《法經(jīng)》中就已記下應(yīng)用負數(shù)的案例：“今一夫挾五口，治田百畝，歲收畝一石半，為粟百五十石……衣五人終歲用千五百，不足四百五十?！边@段話是說：一個農(nóng)夫的五口之家，種田百畝。每年每畝收獲一石半，共收糧食一百五十石 （除繳稅、口糧以及宗祠祭祀用錢外，每年剩余1050錢——此處未引用原文），穿衣每人要300錢，5人一年1500錢。最后一句是說這戶農(nóng)家入不敷出，“不足四百五十”，即 1050-1500=-450。 這里出現(xiàn)的“不足”二字，用現(xiàn)代觀點來看就是有了負數(shù)，至少是負數(shù)誕生的萌芽。

現(xiàn)在有很多秦漢時期的竹簡陸續(xù)被發(fā)現(xiàn)，在我國西北地區(qū)的居延海附近發(fā)現(xiàn)的漢代竹簡上，出現(xiàn)了大量的負數(shù)運算的寶貴史料，如“萬歲候長”有“負四筭，得七筭，相除得三筭”。“筭”為古字“算”，“相除”就是相減，“負”是欠人家的，其算法是7-4=3，實際應(yīng)是（－4）+7=3。 又如“相除以負百二十四筭”，即指－124。這些出土文物證明了負數(shù)在我國的起源是很早的。

公元3世紀(jì)，我國偉大的數(shù)學(xué)家劉徽在《九章算術(shù)注》中，率先給出了負數(shù)的精辟定義：“今兩算得失相反，要令正負以名之?！边@句話是說，在計算過程中，遇到具有相反意義的兩數(shù)，以正數(shù)和負數(shù)來區(qū)分它們。劉徽關(guān)于正負數(shù)的定義，是建立在當(dāng)時的人們使用正負數(shù)運算的經(jīng)驗之上的，是以凝練的詞語、確切的含義對這一實踐的理論升華，是負數(shù)發(fā)展史上的一個里程碑。

關(guān)于負數(shù)的表示，較早有這方面記載的也是中國和印度。聰明的中國祖先是采用算籌來表示正負數(shù)的。比如：用紅籌表示正數(shù)，黑籌表示負數(shù)；用正著擺表示正數(shù)，用斜著擺表示負數(shù)；用截面為三角形的籌表示正數(shù)，用截面為正方形或矩形的籌表示負數(shù)；用斜畫一杠表示負數(shù)，通常畫在最后一位有效數(shù)字上；在負數(shù)后面寫一個“負”字……但令人遺憾的是，中國古代數(shù)學(xué)始終沒有創(chuàng)造出簡明的符號來表達負數(shù)，這是一個致命的弱點，它嚴(yán)重阻礙了中國數(shù)學(xué)的大發(fā)展。后來印度的數(shù)學(xué)家婆什伽羅在《算法本源》一書中，首次提出用記號表示負數(shù)，即在數(shù)字的上面加上小點或小圓圈來表示負數(shù)，這應(yīng)當(dāng)是負數(shù)發(fā)展史上的又一次飛躍。

負數(shù)的爭論

中國人、印度人在1000多年以前就認識了負數(shù)，并使用正數(shù)和負數(shù)進行簡單加減運算，可是西方國家對負數(shù)的認識卻經(jīng)歷了一段艱難曲折的歷程。古希臘數(shù)學(xué)家丟番圖一方面應(yīng)用負數(shù)，并且給出負數(shù)的運算法則，另一方面卻拒絕方程的負根。丟番圖這種矛盾的雙重性態(tài)度，代表了西方世界較為普遍的傾向，即實踐上加以應(yīng)用，理論上拒絕承認負數(shù)。就此，他們又展開了長時間的深入思考，思考的焦點凝聚于一點，就是：方程到底有沒有負根？

法國數(shù)學(xué)家阿納德還舉出一個例子來反對負數(shù)，他說，承認－1∶1=1∶－1，而－1<1，那么較小數(shù)與較大數(shù)的比，怎能等于較大數(shù)與較小數(shù)的比呢？這個責(zé)難引起了不少數(shù)學(xué)家的贊同，連德國數(shù)學(xué)家萊布尼茲也認為這個責(zé)難有道理。第一個給負數(shù)正確解釋的是意大利著名數(shù)學(xué)家斐波那契，他在《算盤書》（1202年）中認為負量是有意義的，可表負債，但他也不承認負根。

西方世界對于負數(shù)的爭論達400多年之久，18世紀(jì)達到高潮。著名數(shù)學(xué)家德·摩根在《論數(shù)學(xué)的研究和困難》（1831年）一書中，仍堅持 “負數(shù)是荒謬的”觀點。他也舉了一個“具有說服力”的例子：“父親56歲時，他的兒子29歲。再過多少年，父親的年齡是兒子的2倍？”他設(shè)再過x年時，父親的年齡為兒子的2倍，并列出方程 56+x=2（29+x）,解得x=－2。他說這個結(jié)果是荒唐的。事實上，x=－2可以理解為父子年齡退后2年便是問題之解。

歐洲一些數(shù)學(xué)家無法撩開負數(shù)的面紗，但也有一些思想開放的數(shù)學(xué)家逐漸讀懂了負數(shù)的內(nèi)涵。意大利數(shù)學(xué)家邦別利在《代數(shù)學(xué)》（1572年）一書中正式給出了負數(shù)的明確定義。荷蘭數(shù)學(xué)家基拉德在《代數(shù)新發(fā)現(xiàn)》（1629年）中第一次提出了代數(shù)的基本定理，最早指出一元n次方程有n個根，他是歐洲最早承認方程有負根的數(shù)學(xué)家，同時第一個提出用負號“－”表示負數(shù)。從此，負數(shù)符號“－”逐漸得到人們的公認，一直沿用至今。再后來數(shù)學(xué)家笛卡兒在《方法論》（1637年）一書中，系統(tǒng)建立了平面直角坐標(biāo)系，討論了決定正根和負根的“笛卡兒符號法則”，負數(shù)才得到新的地位，顯示出了它的獨特魅力。

回顧西方對待負數(shù)的態(tài)度轉(zhuǎn)變，我們可以看到數(shù)學(xué)家高斯的一段總結(jié)：早年的代數(shù)學(xué)家把方程的負根叫為假根，當(dāng)與它們有關(guān)的問題是用這樣的方式來表達，即所求的量的性質(zhì)不能有相反的量時，這個講法的確是真實的。然而，正如分數(shù)對許多可數(shù)的東西毫無意義而言，而我們卻在廣義的算術(shù)里毫不躊躇地承認了它一樣，我們不應(yīng)該只因為有無數(shù)的東西不許其有相反的量，就否認負數(shù)有同于正數(shù)的權(quán)利。因為在其他無數(shù)的場合中，負數(shù)也具有合適的解釋，所以它的真實性就得到充分的佐證了。這段話言簡意賅地說明了負數(shù)在西方開始被拒絕的原因以及后來又被接受的理由。

負數(shù)的運算

在我國公元前1世紀(jì)成書的《九章算術(shù)》中，就已建立了明確的正負數(shù)加減法運算法則：“正負術(shù)曰：同名相除[即同號相減， 如±a－（±b）=±（a－b）]、異名相益（即異號相加?！嘁妗竷蓴?shù)相加），正無入負之（即以零減正得負），負無入正之（即以零減負得正）。其異名相除（即異號相減），同名相益（即同號相加），正無入正之（即零加正得正），負無入負之（即零加負得負）?！边@里所說“同名”“異名”分別為同號、異號，“相益”“相除”分別指兩數(shù)相加、相減；“無”具有零的意思。這是關(guān)于負數(shù)加減法運算的最早記載，它與今天的負數(shù)加減法法則是完全一致的。

負數(shù)的加減運算由于可用債務(wù)關(guān)系作為解釋，人們理解起來不算困難。而對于負數(shù)的乘除法法則，卻因為一時找不到直觀的現(xiàn)實模型而陷入困惑之中。直到公元7世紀(jì)印度數(shù)學(xué)家婆羅摩笈多在他所著《婆羅摩修正體系》（628年）一書中，才記載了負數(shù)乘除法的法則，這在全世界都是領(lǐng)先的。500多年以后，印度數(shù)學(xué)家婆什迦羅在前面提到的那本《算法本源》的著作中，才進一步明確了使用負號參與運算的法則：“正數(shù)、負數(shù)的平方，常為正數(shù)；正數(shù)的平方根有兩個，一正一負；負數(shù)無平方根，因為它不是一個數(shù)的平方數(shù)?！?/p>

對于“負負得正”的困惑，長期困擾著人們。19世紀(jì)法國著名作家司湯達曾這樣描述自己的感受：“當(dāng)我發(fā)現(xiàn)沒有人能夠解釋‘負負得正’的原因時，你能想象我的感受嗎？對我來說，這個沒有解決的難題是夠糟的了，而更糟糕的是，有人用那些顯然自己都不清楚的理由來對我講解。”他描述他的數(shù)學(xué)老師無論怎樣解釋“負負得正”，總不能使人信服。最后，老師要他們將負數(shù)量看成某人的欠債，司湯達以幽默的筆調(diào)寫道：“一個人該把10000法郎的債與500法郎的債乘在一起，好得到500萬法郎的收入呢！”“負負得正”的幽靈，在現(xiàn)實中不易找到通俗的解釋，成為一種典型的文化現(xiàn)象。

隨著解析幾何學(xué)科的建立，用數(shù)軸解釋“負負得正”成為一種 “形象的直觀”。例如，我們把－1乘以一個負數(shù)，看成是使該數(shù)在數(shù)軸上發(fā)生一次改變的操作。（－1）×（－1）=1 這一事實也可以解釋為，使數(shù)軸上距離原點左邊一個單位的點，變換成數(shù)軸上距離原點右邊一個單位的點。如此說來，“負負得正”并非“不言而喻”，而是一個深刻的幾何事實。如果你還難以理解的話，我們不妨分享一下張景中院士和任宏碩教授在 《漫話數(shù)學(xué)》中給出的代數(shù)方法，即根據(jù)0的性質(zhì)和結(jié)合律來直接推導(dǎo)。為什么－（－a）=a(a 是正數(shù))？他們的推導(dǎo)方法如下：

上述的推導(dǎo)過程，恰好印證了數(shù)學(xué)家歐拉對－（－a）=a （a 是正數(shù)）的經(jīng)典解釋：把a看成自己的錢，－a就是一筆債務(wù)。－（－a）就是免除了這筆債務(wù)，即收入了一筆錢。

負數(shù)的啟迪

負數(shù)概念的建立在數(shù)學(xué)發(fā)展史上是一個重要的里程碑。負數(shù)作為數(shù)概念的一次擴展，其意義至少包含以下幾個方面：首先，負數(shù)的概念是客觀存在的。生活中存在著許多相反意義的量，人們無法對它完全回避。其次，負數(shù)是方程的需要。引入負數(shù)以后，可以使更多的方程有解，而且可以對方程作更一般的討論，而不必回避很多類型的方程。再次，負數(shù)還是數(shù)的運算的必然結(jié)果。正如前面所述，兩個正數(shù)相減，不夠減就需要用負數(shù)來表達其運算結(jié)果。引入負數(shù)，構(gòu)成整數(shù)系統(tǒng)，這樣對于加、減、乘的運算就都是封閉的了。

為什么負數(shù)在東方能較早得到認可，而在西方普遍較晚呢？以我國為例，至少有以下幾個方面的原因?qū)ω摂?shù)概念的提出起到了促進作用：首先，我國在漢朝的社會生產(chǎn)力大大提高，現(xiàn)實生活中具有相反意義的量不斷出現(xiàn)，實踐中提出許多與負數(shù)有關(guān)的問題，使得負數(shù)概念的產(chǎn)生成為一件必要的事；其次，我國數(shù)學(xué)家普遍具有實用的態(tài)度也是重要原因。東方數(shù)學(xué)比較注重實用，而不太注意邏輯的嚴(yán)密性。我國最早產(chǎn)生負數(shù)是為了解決生活中越來越多的虧欠、負債等現(xiàn)實問題，是實踐的需要。在東方，人們對有用的就引入使用，并沒有糾纏于負數(shù)存在的邏輯基礎(chǔ)，或過多考慮其中可能存在的更深刻的矛盾。再有一點值得提及的是，我國傳統(tǒng)哲學(xué)所注重的陰陽對立、矛盾雙方相反相成等辯證觀念，也深刻影響了我們對負數(shù)概念的理解。劉徽對負數(shù)的認識就是從陰陽對立、雙方相反相成的觀點出發(fā)進行論述的。

與此相對，這些有利于引入負數(shù)的條件在當(dāng)時的西方卻不具備，其中最重要的一點就是東西方在數(shù)學(xué)基本觀念上的差別。西方數(shù)學(xué)家繼承了古希臘的數(shù)學(xué)傳統(tǒng)，不像中國數(shù)學(xué)家那樣注重實用，而是更為強調(diào)邏輯。雖然西方人也會經(jīng)常面對生活中具有相反意義的量，但是他們的數(shù)學(xué)觀念阻礙了他們從實踐中產(chǎn)生負數(shù)的概念。可以說，正是西方數(shù)學(xué)傳統(tǒng)中具有的對邏輯嚴(yán)密性的情有獨鐘的傾向，阻礙了西方人對負數(shù)的認可，同時也促使他們對負數(shù)進行了更深刻的思考。所以，東西方對于負數(shù)接受得早與晚，不能簡單地用先進或落后來評價，這段歷史倒是讓我們看到了不同民族的社會背景、傳統(tǒng)文化對于數(shù)學(xué)發(fā)展造成的深刻影響。

1.徐品方，陳宗榮.數(shù)學(xué)猜想與發(fā)現(xiàn)[M].北京:科學(xué)出版社,2012.

2.韓雪濤.好的數(shù)學(xué)：數(shù)的故事[M].長沙:湖南科學(xué)技術(shù)出版社,2014.

3.張景中，任宏碩.漫話數(shù)學(xué)[M].北京:中國少年兒童出版社,2003.

4.梁宗巨.數(shù)學(xué)歷史典故[M].沈陽:遼寧教育出版社,1992.

5.張順燕.數(shù)學(xué)的源與流[M].北京:高等教育出版社,2000.

[本文系江蘇省教育科學(xué)“十二五”規(guī)劃重點資助課題“本原性問題驅(qū)動小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的實踐研究”的階段成果（項目批號：B-a/2013/02/007）]

（作者單位：江蘇海安縣實驗小學(xué)）