李少娥, 馮偉貞

(1.華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,廣東廣州510631;2.桂華中學(xué),廣東佛山528200)

時(shí)滯脈沖切換系統(tǒng)的實(shí)用穩(wěn)定性-帶Razumikhin條件的Lyapunov函數(shù)方法

李少娥1,2, 馮偉貞1

(1.華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,廣東廣州510631;2.桂華中學(xué),廣東佛山528200)

用帶Razumikhin條件的Lyapunov函數(shù)方法研究了一般形式的時(shí)滯脈沖切換系統(tǒng)的實(shí)用穩(wěn)定性,得到了時(shí)滯脈沖切換系統(tǒng)實(shí)用穩(wěn)定、一致實(shí)用穩(wěn)定的充分條件.最后,給出了具體的例子及其數(shù)值模擬.

時(shí)滯脈沖切換系統(tǒng);實(shí)用穩(wěn)定;Razumikhin條件;Lyapunov函數(shù)方法

§1 引 言

近年來,時(shí)滯脈沖切換系統(tǒng)得到了學(xué)者的廣泛重視,見文獻(xiàn)[1-3].這些文獻(xiàn)主要研究系統(tǒng)的Lyapunov穩(wěn)定性.由于Lyapunov穩(wěn)定性在現(xiàn)實(shí)生活中應(yīng)用的局限性,切塔耶夫等人提出了實(shí)用穩(wěn)定性的概念.

實(shí)用穩(wěn)定性研究的主要問題是初始擾動(dòng)在一個(gè)可行范圍內(nèi)發(fā)生時(shí),系統(tǒng)的實(shí)際運(yùn)動(dòng)狀態(tài)誤差是否也在一個(gè)容許的誤差發(fā)圍內(nèi).目前,有文獻(xiàn)[4-8]對(duì)微分系統(tǒng)的實(shí)用穩(wěn)定性進(jìn)行了研究.其中,文[4-6]涉及各種方程組(包括常微分、脈沖微分與泛函微分等方程組)的實(shí)用穩(wěn)定性.文[7]用Caychy矩陣的方法研究了脈沖切換系統(tǒng)的實(shí)用穩(wěn)定性.文[8]用微分不等式與Lyapunov函數(shù)相結(jié)合的方法給出了線性時(shí)滯脈沖切換系統(tǒng)實(shí)用穩(wěn)定性的充分條件.

Razumikhin技巧是研究帶時(shí)滯的微分方程穩(wěn)定性的一種非常有效的方法.文[9-10]借助Razumikhin條件和Lyapunov函數(shù)方法,得到了時(shí)滯脈沖微分方程指數(shù)漸近穩(wěn)定的若干定理.但鮮有文獻(xiàn)用帶Razumikhin條件的Lyapunov函數(shù)方法對(duì)時(shí)滯脈沖切換系統(tǒng)的實(shí)用穩(wěn)定性進(jìn)行研究.

本文通過建立多Lyapunov函數(shù),將文[9-10]中的Razumikhin技巧遷移至?xí)r滯脈沖切換系統(tǒng)的實(shí)用穩(wěn)定性研究中.其中,通過用分段處理的方法,解決了因脈沖和切換控制帶來的不連續(xù)的問題以及多Lyapunov函數(shù)間的相容問題.在此基礎(chǔ)上,本文給出了兩個(gè)實(shí)用穩(wěn)定性的定理.其中,第一個(gè)定理通過對(duì)逐段時(shí)間上的數(shù)量關(guān)系進(jìn)1控制來給?實(shí)用穩(wěn)定的?分條件;第二個(gè)定理通過對(duì)多段時(shí)間的累積?應(yīng)進(jìn)1控制來給?實(shí)用穩(wěn)定5的?分條件.?后給?了具體例f,及ù數(shù)值模擬結(jié)果.

§2 預(yù)備知識(shí)

首先給?一?記號(hào).令R表示實(shí)數(shù)集,R+表示非負(fù)實(shí)數(shù)集,N+表示正整數(shù)集,N=N+∪ {0}, 向量M=(m1,m2,···mn)的模為

約定:對(duì)任意的φ∈PC((t0,+∞)),令

考慮m個(gè)時(shí)滯微分f系統(tǒng)

及切換模式

和脈à模式

ù中,時(shí)滯r∈R+,x∈Rn;φ∈C([?r,0],Rn),fi∈C(R+×Rn×Rn,Rn),i∈Λ.S表示切換模式,τk＞0為第ik個(gè)f系統(tǒng)被激活時(shí)間?度,并?{τk}為切換時(shí)間間隔S列.對(duì)任意D始時(shí)刻

由式(1)-(3)構(gòu)成時(shí)滯脈à切換系統(tǒng):

5552.1系統(tǒng)(4)解的?在唯一5的討論見文[11-12],以下o假定系統(tǒng)(4)的解在[t0,+∞)上?在唯一.

??2.1如果對(duì)于給定的估計(jì)(λ,A):0＜ λ＜ A,?在t0∈R+,使得當(dāng)‖φ‖＜ λ時(shí),有|x(t,t0,φ)|＜A對(duì)所有的t≥t0成立,則?系統(tǒng)(4)的零解是λ?A-實(shí)用穩(wěn)定的.

??2.2如果對(duì)于給定的估計(jì)(λ,A):0＜ λ ＜ A,對(duì)任意t0∈R+,當(dāng)‖φ‖ ＜ λ時(shí),有|x(t,t0,φ)|＜A對(duì)所有的t≥t0成立,則?系統(tǒng)(4)的零解是λ?A-一致實(shí)用穩(wěn)定的.

??2.3函數(shù)V(t,x)÷X系統(tǒng)(4)中的第i個(gè)f系統(tǒng)˙x(t)=fi(t,x(t),x(t?r))的解x(t)的右上導(dǎo)數(shù)D+V(t,x)定義為:

§3 主要結(jié)果

.

則系統(tǒng)(4)的零解是λ?A-實(shí)用穩(wěn)定的.

推論3.3對(duì)于給定估計(jì)(λ,A):0＜λ＜A,若對(duì)任意t0∈R+定理3.1(定理3.2)中的條件均成立,則系統(tǒng)(4)的零解是λ?A-一致實(shí)用穩(wěn)定的.

§4 應(yīng)用舉例

可知定理3.2的條件成立,故該系統(tǒng)的零解是λ?A-實(shí)用穩(wěn)定的.數(shù)值模擬見圖2.

圖1 t0=0,?=0.99

圖2 t0=0,?=0.99

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Practical stability of impulsive switched systems with time delay by Lyapunov-Razumikhin method

LI Shao-e1,2,FENG Wei-zhen1
(1.School of Math.Sci.,South China Normal Univ.,Guangzhou 510631,China;2.Guihua High School,Foshan 528200,China)

This paper is devoted to study practical stability of the general impulsive switched systems with time delay.By employing the Razumikhin technique and Lyapunov functions,we establish some sufficient conditions to guarantee the practical stability or uniform practical stability of impulsive switched systems with time delay.Two examples and simulation are also given to illustrate our results.

impulsive switched systems with time delay;practical stability;Razumikhin-type conditions;Lyapunov function

34D99;34H15

O175

A

:1000-4424(2016)03-0327-11

2015-05-05

2016-07-28

廣東省自然科學(xué)基金(S2012010010034)