張節(jié)松, 肖慶憲

(1.上海理工大學(xué)管理學(xué)院,上海200093;2.淮北師范大學(xué)管理學(xué)院,安徽淮北235000)

方差分保費原則下相依多險種模型的最優(yōu)再保險

張節(jié)松1,2, 肖慶憲1

(1.上海理工大學(xué)管理學(xué)院,上海200093;2.淮北師范大學(xué)管理學(xué)院,安徽淮北235000)

采用共同沖擊型相依多險種模型刻畫保險公司的索賠風(fēng)險過程,按照方差分保費原則計算再保險費,研究最小化破產(chǎn)概率的再保險問題.通過擴(kuò)散逼近并利用動態(tài)規(guī)劃原理,得到了顯式最優(yōu)策略和值函數(shù).與采用期望值分保費原則比較,發(fā)現(xiàn)最優(yōu)分保形式和自留風(fēng)險水平均不相同;與最大化期望指數(shù)效用的結(jié)果比較,發(fā)現(xiàn)最優(yōu)分保比例除了與安全負(fù)載相關(guān),還與索賠分布、計數(shù)過程以及直接保險費收入率c有關(guān).最后,結(jié)合數(shù)值算例揭示了相依參數(shù)的動態(tài)影響以及最優(yōu)策略與c的敏感相關(guān)性.

方差分保費原則;相依多險種模型;最優(yōu)再保險;破產(chǎn)概率

§1 引 言

近年來,地震,臺風(fēng),泥石流,火災(zāi),工廠爆炸等自然災(zāi)害和公共安全類事件頻發(fā),政府和保險業(yè)對巨額損失保險問題越來越重視.再保險是防范和化解巨額風(fēng)險的重要手段,合理安排再保險不僅能提高保險公司的償付能力,維護(hù)可持續(xù)發(fā)展,也可以減輕政府財政救助負(fù)擔(dān),保障經(jīng)濟(jì)損失.不過,和直接保險一樣保險人須要向再保險人支付分保費,且相對而言更為昂貴,原保險公司的收益會縮減.因此,保險人需要在風(fēng)險與收益間進(jìn)行平衡并盡可能作出最為合理的決策.實際上,最優(yōu)再保險策略一直是精算學(xué)主要研究內(nèi)容之一.Schmidli[1],Hipp&Taksar[2],Cao&Zeng[3]和張茂軍等[4]考慮了最小化破產(chǎn)概率的最優(yōu)再保險問題;Kaluszka[5]討論了最小化自留風(fēng)險方差的最優(yōu)再保險安排;Cai et al.[6],Chi[7]以最小化尾部風(fēng)險測度為優(yōu)化目標(biāo),探討最優(yōu)再保險形式與自留額;Bai&Guo[8]和林祥&李艷方[9]采用最大化終期財富期望效用的優(yōu)化準(zhǔn)則,研究了最優(yōu)投資-再保險策略;Hald&Schmidli[10]和Liang&Guo[11]則著眼于最大化調(diào)節(jié)系數(shù),求解最優(yōu)自留風(fēng)險水平.值得說明的是,在上述優(yōu)化準(zhǔn)則中,最小化破產(chǎn)概率是一種內(nèi)在的客觀標(biāo)準(zhǔn),與最大化期望效用等優(yōu)化準(zhǔn)則不同,它不取決于任何特殊個體的效用偏好,且現(xiàn)實意義非常直觀.但同時,如果是在跳躍風(fēng)險過程框架下,即便是經(jīng)典的復(fù)合Poisson過程,一般也很難得到最優(yōu)解的顯式表達(dá)式.因此,常采用擴(kuò)散逼近的方法將跳躍風(fēng)險過程近似處理為漂移布朗運動[1-3].

上述最優(yōu)再保險研究從宏觀的角度將索賠風(fēng)險刻畫為單個隨機(jī)變量或傳統(tǒng)的復(fù)合Poisson過程亦或擴(kuò)散逼近變形,主要適用于經(jīng)營同質(zhì)風(fēng)險的保險企業(yè).在現(xiàn)代保險實務(wù)中,尤其是在巨災(zāi)情形下,由于保險公司經(jīng)營業(yè)務(wù)的不斷多元化,一次事故往往會觸發(fā)多險種的同時索賠且呈現(xiàn)出相依關(guān)系.例如,一次地震可能導(dǎo)致醫(yī)療保險,死亡保險,房屋保險,汽車保險等險種的共同索賠,且索賠強(qiáng)度均與此次地震的破壞性相關(guān).因此,有必要采用相依多險種模型刻畫保險公司的索賠風(fēng)險.然而,截至目前,還只有少量最優(yōu)再保險研究是在相依多險種模型框架下進(jìn)行的.Centeno[12]在最大化期望指數(shù)效用和調(diào)節(jié)系數(shù)的優(yōu)化標(biāo)準(zhǔn)下研究了相依雙險種模型超額賠款再保險的最優(yōu)自留限額.針對同一模型風(fēng)險,Bai et al.[13]通過擴(kuò)散逼近,在期望值保費原則下研究了最小化破產(chǎn)概率的最優(yōu)再保險形式及其自留額;Liang&Yuen[14]則在方差保費原則和最大化終期財富期望指數(shù)效用的優(yōu)化準(zhǔn)則下,分別研究了跳躍模型和擴(kuò)散逼近模型的最優(yōu)比例再保險.鑒于Liang&Yuen[14]所得結(jié)果表明,在擴(kuò)散逼近情形下兩險種的最優(yōu)自留風(fēng)險水平相同且與索賠額分布及計數(shù)過程無關(guān),Yuen et al.[15]采用相同的優(yōu)化準(zhǔn)則,但將相依雙險種模型推廣到更貼近保險實際的相依m(xù)(≥2)險種情形,并采用期望值分保費原則分別給出了跳躍情形和擴(kuò)散逼近情形下的最優(yōu)結(jié)果.

期望值原則和方差原則都是保費計算過程中所通常采用的方式.在期望值保費原則下,根據(jù)Bai et al.[13]命題2.1,超額賠款再保險是最小化破產(chǎn)概率的最優(yōu)分保形式.該結(jié)論在方差保費原則下未必成立,因為根據(jù)Hipp&Taksar[2]命題7,此時的最優(yōu)分保形式應(yīng)為比例再保險.鑒于這一事實并受前述[13-15]等工作的啟發(fā),本文采用Yuen et al.[15]所述相依m(xù)(≥2)險種模型,以最小化破產(chǎn)概率為優(yōu)化準(zhǔn)則,在方差分保費原則下研究最優(yōu)再保險問題.通過擴(kuò)散逼近并運用動態(tài)規(guī)劃原理,得到了最優(yōu)自留風(fēng)險水平及最小破產(chǎn)概率的解析表達(dá)式.同時,結(jié)合數(shù)值算例分析了相依參數(shù)和保費收入率的動態(tài)影響.結(jié)果表明,與Liang&Yuen[14]在期望指數(shù)效用最大化準(zhǔn)則下所得的最優(yōu)策略不同,最小化破產(chǎn)概率的最優(yōu)策略不僅與安全負(fù)載有關(guān),還與索賠分布,計數(shù)過程以及直接保險費收入率相關(guān).特別的,與各險種間的相依參數(shù)相關(guān),隨著相依參數(shù)的增大,最優(yōu)自留風(fēng)險水平也增大.這與Bai et al.[13]同樣為最小化破產(chǎn)概率,但采用期望值保費原則所得的結(jié)論也不相同,因為那里的數(shù)值分析表明最優(yōu)自留限額是隨著相依參數(shù)的增大而先減后增的.

§2 最優(yōu)再保險模型

設(shè)保險公司經(jīng)營m(≥2)種保險業(yè)務(wù),如汽車保險,意外傷害險,醫(yī)療保險,壽險等.對第l(l=1,2,···,m)類經(jīng)濟(jì)業(yè)務(wù),令(i=1,2,···)表示索賠序列,具有共同的分布函數(shù)Fl(x),滿足x≤0時Fl(x)=0而x＞0時0＜Fl(x)＜1.由此,第l類保險業(yè)務(wù)的累積索賠過程可表示為

其中Nl(t)和N(t)為m+1個相互獨立的Poisson過程,強(qiáng)度分別為λ1,λ2,···,λm和λ. 即m類保險業(yè)務(wù)同時受計數(shù)過程N(t)的沖擊而相依.于是,所有m類保險業(yè)務(wù)的累積索賠過程可表示為

據(jù)此,定義保險公司的盈余過程為

其中u為初始盈余,c為保險費收入率.

為保障巨額損失,保險公司對業(yè)務(wù)l安排t時刻自留風(fēng)險水平為flt的再保險策略,如下部分由再保險公司承擔(dān).對flt,按照常規(guī),約定0≤flt(x)≤x且在(0,∞)上單調(diào)遞增,l=1,2,···,m.設(shè)分保費按照方差保費原則計算,安全負(fù)載為θ＞0,則原保險公司t時刻的凈保費收入率為

注1對于直接保險,僅假定保險費率為常數(shù)c,而未限定計算原理.但根據(jù)安全負(fù)載條件,應(yīng)滿足c＞E[St],否則保險公司必然以概率1破產(chǎn).同時,再保險一般更為昂貴,也就是要求c＜E[St]+θvar[St],否則保險公司可以安排全額再保險,不承擔(dān)任何風(fēng)險而獲得收益.

對任意給定再保險策略π,記τπ為盈余過程Uπ(t)關(guān)于0的首中時,也就是

則破產(chǎn)概率定義為

本文的目標(biāo)就是要通過選擇再保險策略π以使得破產(chǎn)概率最小,即求解最優(yōu)策略π?=使得

在相依多險種跳躍風(fēng)險過程St框架下,破產(chǎn)概率ψπ(u)的顯式表達(dá)式一般無法獲得,所以要獲得最小化破產(chǎn)概率的精確再保險策略是非常困難的.為使問題可處理并獲得顯式解,采用擴(kuò)散逼近形式.

記分布函數(shù)Fl(x)對應(yīng)的一階矩和二階矩分別為類似 Yuen et al.[15]的討論知,在再保險策略π的安排下,保險公司實際盈余過程Uπ(t)的擴(kuò)散逼近為

§3 最優(yōu)再保險策略

由于采用的是方差分保費原則,根據(jù)Hipp&Taksar[2]命題7,此時的最優(yōu)再保險形式應(yīng)為比例再保險.下面求解各業(yè)務(wù)的最優(yōu)自留風(fēng)險比例.

假設(shè)在t時刻對業(yè)務(wù)l安排再保險比例1?ql(t),即自留風(fēng)險比例為ql(t),0≤ql(t)≤1,l=1,2,···,m.在式(1)中令flt(x)=ql(t)x,l=1,2,···,m,則再保險策略(q1(t),q2(t),···,qm(t))下的盈余過程bUπ(t)滿足隨機(jī)微分方程

為解決上述問題,利用動態(tài)規(guī)劃方法[16,13].通過標(biāo)準(zhǔn)論證可知,如果值函數(shù)ψ(u)在(0,∞)上二次連續(xù)可微,則ψ(u)滿足HJB方程

和邊界條件

進(jìn)一步,利用 Fleming&Soner[16](第Ⅳ.5部分)的一般方法,可得如下驗證定理,說明由HJB方程(4)的二次連續(xù)可微解即可得到優(yōu)化問題(3)的解.

定理3.1設(shè)v(u)為上述HJB方程(4)的解且二次連續(xù)可微,則ψ(u)即為v(u).并且,如果對所有的u＞0,

根據(jù)驗證定理3.1,如果能找到滿足HJB方程(4)的一個二次連續(xù)可微解v,也就得到了值函數(shù)ψ.為此,設(shè)v(u)為二次連續(xù)可微的凸函數(shù)且滿足v′(u)＜0,同時定義

則方程組(7)又可表示為矩陣形式

其中T表示轉(zhuǎn)置.

由Yuen et al.[15]引理4.1的證明知A正定,所以可逆.因此,解得

進(jìn)一步,計算gv(q1,q2,···,qm)的二階偏導(dǎo)數(shù),有

由此,可得Hessian矩陣

因為v′′(u)?2θv′(u)＞0,所以Hessian矩陣B在點也是正定的.因此,q?必然為gv(q1,q2,···,qm) 的最小值點.

注意到AI= η,其中IT=(1,1,···,1)1×m,所以ηTA?1=IT.將此代入方程組(8),有

由注1易知q?∈ (0,1),所以由驗證定理3.1知π?=(q?,q?,···,q?)即為最優(yōu)再保險策略.

據(jù)此微分方程以及邊界條件(5),不難解得

易見v(u)為二次連續(xù)可微的凸函數(shù)且滿足v′(u)＜0.于是,由驗證定理3.1知值函數(shù)ψ(u)=v(u).

最后,為總結(jié)上述討論,給出如下定理.

定理3.2優(yōu)化問題(3)的值函數(shù)為

最優(yōu)策略為π?=(q?,q?,···,q?),其中q?由式(9)確定.

注2定理3.2是在最小化破產(chǎn)概率的優(yōu)化準(zhǔn)則下得到的,與最大化期望指數(shù)效用準(zhǔn)則下的最優(yōu)策略(見Liang&Yuen[14]定理4.1和 Yuen et al.[15]式(6.3))比較,發(fā)現(xiàn)既有共同之處,也存在明顯的差異.首先,m類業(yè)務(wù)的再保險策略相等,這一點是共同的.不同的是,后者的最優(yōu)策略相對簡單,與直接保險的保費收入率、索賠分布以及計數(shù)過程諸因素?zé)o關(guān),而由式(9)可知,前者的最優(yōu)策略相對復(fù)雜,并且與上述因素均相關(guān).可見,最小化破產(chǎn)概率是一種非常內(nèi)在的客觀標(biāo)準(zhǔn),所得結(jié)果更符合保險實際.

§4 示例分析

本部分根據(jù)定理3.2具體示例,給出數(shù)值結(jié)果并分析相依參數(shù)λ和直接保險費收入率c對最優(yōu)策略和值函數(shù)的動態(tài)影響.

假定保險公司擁有初始儲備金u=4,經(jīng)營兩種類型的保險業(yè)務(wù).業(yè)務(wù)1的索賠額變量X(1)服從參數(shù)為2的指數(shù)分布,業(yè)務(wù)2的索賠額變量X(2)服從參數(shù)為(1,3)的Gamma分布.設(shè)定λ1=3,λ2=4,直接保險費按照期望值原則收取,安全負(fù)載為0.15,再保險費按照方差原則計算,安全負(fù)載0.4.固定上述參數(shù),下面分析參數(shù)λ和c的動態(tài)影響.

首先,設(shè)相依參數(shù)λ∈[0,3],得最優(yōu)自留風(fēng)險風(fēng)險水平q?關(guān)于λ的變化趨勢如圖1所示,最小破產(chǎn)概率ψ(u)如圖2所示.然后,固定λ=1并根據(jù)注1限定c∈(3.67,5.04),可得最優(yōu)策略q?關(guān)于c的變化趨勢如圖3所示,值函數(shù)ψ(u)如圖4所示.

圖1 相依參數(shù)λ對q?的動態(tài)影響

圖3 收入率c對q?的動態(tài)影響

圖2 相依參數(shù)λ對ψ(u)的動態(tài)影響

圖4 收入率c對ψ(u)的動態(tài)影響

從圖1和圖2可以看出,最優(yōu)自留風(fēng)險水平關(guān)于相依參數(shù)λ單調(diào)遞增,同時破產(chǎn)概率上升.實際上,由于直接保險采用期望值原則,未考慮相依風(fēng)險部分,而再保險采用方差原則,包含了相依風(fēng)險的再保險費,所以保險公司選擇更多自留風(fēng)險的策略是合理的,否則由于再保險更為昂貴,會導(dǎo)致更多的期望損失.注意,這與Bai et al.[13]均在期望值原則下所得結(jié)果有所不同,因為那里超額賠款再保險的最優(yōu)自留風(fēng)險限額是先減后增的.可見,采用不同形式的分保費原則,不僅最優(yōu)再保險形式不同,對最優(yōu)自留風(fēng)險也會產(chǎn)生直接影響.

觀察圖3和圖4發(fā)現(xiàn),最優(yōu)自留風(fēng)險水平關(guān)于直接保險的保費收入率c直線下降,破產(chǎn)概率也迅速遞減.這說明最小化破產(chǎn)概率的優(yōu)化準(zhǔn)則下,若混合采用期望值保費原則和方差分保費原則,最優(yōu)再保險策略與保費收入率c有關(guān),且非常敏感.Bai et al.[13]均采用期望值保費原則所得出的最優(yōu)策略(定理4.1)也表明了二者的相關(guān)性.然而,在最大化期望指數(shù)效用的優(yōu)化準(zhǔn)則下,不論是對跳躍風(fēng)險模型還是對擴(kuò)散逼近模型,也不論直接保險費采取何種計算方式,最優(yōu)策略都與c無關(guān)(詳見Liang&Yuen[14]定理3.1和4.1及Yuen et al.[15]定理3.1和4.1).這直觀說明了最小化破產(chǎn)概率這一優(yōu)化標(biāo)準(zhǔn)的內(nèi)在客觀性.需要指出的一個特殊情形是,如果這里的直接保險也采用類似的方差原則且安全負(fù)載為η＜θ,則最優(yōu)再保險策略退化為1?η/θ,與c無關(guān).

§5 結(jié)論

本文采用相依多險種模型刻畫保險公司的索賠風(fēng)險過程,按照方差原則計算再保險費.通過擴(kuò)散逼近,指出了比例再保險形式可最小化破產(chǎn)概率,并在不限定直接保險費計算方式的條件下,利用動態(tài)規(guī)劃原理得到了最優(yōu)再保險比例和最小破產(chǎn)概率的解析表達(dá)式.特別的,混合采用期望值保費原則和方差分保費原則,結(jié)合數(shù)值案例與期望值分保費原則比較,發(fā)現(xiàn)方差原則分保費下,再保險費包含相依風(fēng)險部分,最優(yōu)再保險形式為比例再保險,最優(yōu)比例隨相依強(qiáng)度的上升而增大;而期望值分保費原則下,再保險費不含相依風(fēng)險部分,最優(yōu)再保險形式為超額賠款再保險,最優(yōu)限額隨相依強(qiáng)度的上升而先減后增.可見,分保費計算方式對最優(yōu)再保險形式和自留風(fēng)險均產(chǎn)生直接影響.進(jìn)一步,結(jié)合數(shù)值案例與最大化期望指數(shù)效用的最優(yōu)策略比較,發(fā)現(xiàn)最小化破產(chǎn)概率的最優(yōu)策略,不僅與安全負(fù)載、索賠分布、索賠計數(shù)過程都相關(guān),還與直接保險的保費收入率c也有著非常敏感的關(guān)聯(lián)性.這些可為保險公司優(yōu)化再保險決策提供一些啟示與參考.

[1] Schmidli H.Optimal proportional reinsurance policies in a dynamic setting[J].Scandinavian Actuarial Journal,2001,2001(1):55-68.

[2] Hipp C,Taksar M.Optimal non-proportional reinsurance control[J].Insurance:Mathematics and Economics,2010,47(2):246-254.

[3] Cao Yusong,Zeng Xianquan.Optimal proportional reinsurance and investment with minimum probability of ruin[J].Applied Mathematics and Computation,2012,218(9):5433-5438.

[4] 張茂軍,南江霞,夏尊銓.再保險與有限時間破產(chǎn)概率[J].高校應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報,2007,22(4):411-415.

[5] Kaluszka M.Mean-variance optimal reinsurance arrangements[J].Scandinavian Actuarial Journal,2004,2004(1):28-41.

[6] Cai Jun,Tan Kenseng,Weng Chengguo,et al.Optimal reinsurance under VaR and CTE risk measures[J].Insurance:Mathematics and Economics,2008,43(1):185-196.

[7] Chi Yichun.Optimal reinsurance under variance related premium principles[J].Insurance:Mathematics and Economics,2012,51(2):310-321.

[8] Bai Lihua,Guo Junyi.Optimal proportional reinsurance and investment with multiple risky assets and no-shorting constraint[J].Insurance:Mathematics and Economics,2008,42(3):968-975.

[9] 林祥,李艷方.跳-擴(kuò)散風(fēng)險模型的最優(yōu)投資和再保險策略[J].應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報,2013,36(5):791-802.

[10]Hald M,Schmidli H.On the maximization of the adjustment coefficient under proportional reinsurance[J].ASTIN Bulletin,2004,34(1):75-83.

[11]Liang Zhibin,Guo Junyi.Optimal proportional reinsurance and ruin probability[J].Stochastic Models,2007,23(2):333-350.

[12]Centeno M.Dependent risks and excess of loss reinsurance[J].Insurance:Mathematics and Economics,2005,37(2):229-238.

[13]Bai Lihua,Cai Jun,Zhou Ming.Optimal reinsurance policies for an insurer with a bivariate reserve risk process in a dynamic setting[J].Insurance:Mathematics and Economics,2013,53(3):664-670.

[14]Liang Zhibin,Yuen K C.Optimal dynamic reinsurance with dependent risks:variance premium principle[J].Scandinavian Actuarial Journal,2014,DOI:10.1080/03461238.2014.892899.

[15]Yuen K C,Liang Zhibin,Zhou Ming.Optimal proportional reinsurance with common shock dependence[J].Insurance:Mathematics and Economics,2015,64(1):1-13.

[16]Fleming W H,Soner H M.Controlled Markov processes and viscosity solutions[M].second ed.New York:Springer Science&Business Media,2006.

Optimal reinsurance of a dependent mulit-type risk model under variance reinsurance premium principle

ZHANG Jie-song1,2,XIAO Qing-xian1
(1.Business School,University of Shanghai for Science and Technology,Shanghai 200093,China;2.School of Management,Huaibei Normal University,Huaibei 235000,China)

In this paper,the optimal reinsurance strategy is considered to minimize the ruin probability of a risk model with multiple dependent classes of insurance under variance reinsurance premium principle.Through di ff usion approximation of the claim risk process and by applying the dynamic programming approach,explicit expressions of the optimal strategy and the value function are obtained.Moreover,by comparing to the results obtained under the expected value reinsurance premium principle,it is found that the optimal reinsurance form and the retention risk level are both di ff erent.By comparing to the results which maximize expected exponential utility,it is found that the optimal reinsurance proportion here depends not only on safety loading,but also on the claim distribution,the counting process and the premium rate of insurance c.Finally,combining with numerical example,dynamic impact of the dependence parameter is demonstrated and sensitive correlation between the optimal strategy and c is illustrated.

variance reinsurance premium;dependent multi-type risk model;optimal reinsurance;ruin probability

60G35;93E20

O211.6;F840

A

:1000-4424(2016)03-0253-09

2015-09-28

2016-04-17

國家自然科學(xué)基金(11171221);安徽省自然科學(xué)基金(1608085QG169);安徽省高校優(yōu)秀青年人才支持計劃重點項目(gxyqZD2016104)