金婷婷，劉 東

（湖州師范學(xué)院理學(xué)院，浙江湖州313000）

Schr?dinger Virasoro代數(shù)上的Poisson結(jié)構(gòu)

金婷婷，劉 東

（湖州師范學(xué)院理學(xué)院，浙江湖州313000）

研究李代數(shù)上的Poisson代數(shù)結(jié)構(gòu)問題是代數(shù)學(xué)研究中的一個(gè)重要問題.基于扭Heisenberg Virasoro代數(shù)的相關(guān)結(jié)果，利用根系階化的方法首先給出Schr?dinger Witt代數(shù)的所有Poisson代數(shù)結(jié)構(gòu)，進(jìn)而確定出Schr?dinger-Virasoro代數(shù)上的所有Poisson代數(shù)結(jié)構(gòu).該研究成果對(duì)于進(jìn)一步研究其他相關(guān)代數(shù)上的Poisson代數(shù)結(jié)構(gòu)有重要作用.

Poisson代數(shù)；Schr?dinger Virasoro代數(shù)；Witt代數(shù)；Virasoro代數(shù)

MSC 2010：17B60，17B63，17B65

無(wú)限維李代數(shù)的結(jié)構(gòu)和表示理論對(duì)數(shù)學(xué)領(lǐng)域及物理學(xué)的發(fā)展都有極其重要的作用和影響.20世紀(jì)初，法國(guó)數(shù)學(xué)家E.Cartan給出了四類無(wú)限維李代數(shù)，其中Virasoro代數(shù)是Witt代數(shù)的泛中心擴(kuò)張，是一類非常重要的無(wú)限維李代數(shù)，隨后在Virasoro代數(shù)的基礎(chǔ)上又衍生了許多其他的代數(shù).1994年M.Henkel研究Schr?dinger自由方程不變性時(shí)引入了Schr?dinger-Virasoro代數(shù)的概念［1］.

Poisson代數(shù)源于Poisson幾何的研究，具有代數(shù)結(jié)構(gòu)和李代數(shù)結(jié)構(gòu)，乘法與李代數(shù)乘法間滿足Leibniz法則.近來許多人研究了結(jié)合的Poisson代數(shù)結(jié)構(gòu)問題：姚裕豐研究了Witt代數(shù)和Virasoro代數(shù)上的Poisson代數(shù)結(jié)構(gòu)［2］；靳全勤和佟潔研究了Toroidal李代數(shù)等李代數(shù)上結(jié)合的Poisson代數(shù)結(jié)構(gòu)［3-4］；Kubo研究了特征零情形下有限維Poisson代數(shù)［5］，確定了仿射Kac-Moody代數(shù)上的所有結(jié)合的Poisson代數(shù)結(jié)構(gòu)［6］；在Kubo的研究基礎(chǔ)之上，靳全勤和佟潔系統(tǒng)地研究了擴(kuò)張仿射Kac-Moody代數(shù)上的Poisson代數(shù)結(jié)構(gòu)［7］.

目前，有關(guān)非交換、非結(jié)合的Poisson代數(shù)的研究較少.近來部分論文研究了Kac-Moody李代數(shù)、W（2，2），以及扭的Heisenberg-Virasoro代數(shù)上的非交換、非結(jié)合的Poisson代數(shù)結(jié)構(gòu)［8-10］.本文在文獻(xiàn)［9 -10］的基礎(chǔ)上研究Schr?dinger-Virasoro代數(shù)的Poisson代數(shù)結(jié)構(gòu).由于Schr?dinger-Virasoro代數(shù)是Schr?dinger-Witt代數(shù)的普遍中心擴(kuò)張，因此本文首先給出Schr?dinger-Witt代數(shù)的Poisson代數(shù)結(jié)構(gòu)，進(jìn)而確定Schr?dinger-Virasoro代數(shù)上的Poisson代數(shù)結(jié)構(gòu).

在本文中，?總表示整數(shù)集，?表示復(fù)數(shù)域，所有的代數(shù)都定義在?上.

1 基本概念

定義1.1［10］根據(jù)定義，Schr?dinger-Virasoro代數(shù)L作為?上的向量空間有一組基｛Li，Mi，Yp，C|i∈?，p∈?+1/2｝，且滿足如下關(guān)系式：

Schr?dinger-Virasoro代數(shù)的由｛Li，Mi，C|i∈?｝生成的子代數(shù)稱為扭Heisenberg-Virasoro代數(shù)，記為H.近來Schr?dinger-Virasoro代數(shù)表示理論得到了廣泛研究［1114］.

Poisson代數(shù)源于Poisson幾何的探究.它既是一個(gè)代數(shù)，又是一個(gè)李代數(shù)，且乘法與李代數(shù)乘法間滿足Leibniz法則.

定義1.2［10］Poisson代數(shù)（A，*，［-，-］）是指?上的一個(gè)向量空間A，同時(shí)具有代數(shù)乘法*以及李代數(shù)乘法［-，-］，且滿足Leibniz法則：

如果乘法*滿足結(jié)合律，則稱Poisson代數(shù)是結(jié)合的；如果乘法*滿足交換律，則稱Poisson代數(shù)是交換的.靳全勤和佟潔等主要研究了一些李代數(shù)上結(jié)合的或交換的Poisson代數(shù)結(jié)構(gòu)［3-9］，但是非結(jié)合、非交換的相關(guān)問題研究較少.本文主要研究李代數(shù)Schr?dinger-Virasoro代數(shù)上的一般Poisson代數(shù)結(jié)構(gòu)（非結(jié)合、非交換），進(jìn)而得到此代數(shù)上的結(jié)合或交換的Poisson結(jié)構(gòu).

定理1.1［10］若H是?上的扭Heisenberg-Virasoro代數(shù)，則H上的任何Poisson代數(shù)結(jié)構(gòu)滿足：

?m，n∈?，其余為零，其中k1∈?.

2 Schr?dinger-Witt代數(shù)上的Poisson結(jié)構(gòu)

定義2.1［13］作為向量空間，Schr?dinger-Witt代數(shù)Q：=?｛Li，Mi，Yp|i∈?，p∈?+1/2｝，且對(duì)?m，n∈?，p∈?+1/2滿足如下關(guān)系式：

顯然Q關(guān)于Cartan子代數(shù)h=?｛L0，M0｝有分解［3］：

引理2.1 如果在Schr?dinger-Witt代數(shù)Q上存在一個(gè)代數(shù)乘積*，使得（Q，*，［-，-］）成為一個(gè)Poisson代數(shù)，則有：

證明 對(duì)任意的x∈Qi，y∈Qi，有：

即x*y∈Qi+j，因此Qi*Qj?Q i+j.

定理2.1 Schr?dinger-Witt代數(shù)Q上的任何Poisson代數(shù)結(jié)構(gòu)滿足：

?m，n∈?，其余為零，其中k1為常數(shù).

證明 Q關(guān)于Cartan子代數(shù)h=?L0有分解：根據(jù)引理2.1，Qi*Qj?Qi+j，同時(shí)根據(jù)定理1.1，可假設(shè)Lm，Im之間乘法滿足（2）式～（4）式以及：

由于［Mk，Lm*Yp］=［Mk，Lm］*Yp+Lm*［Mk，Yp］=-k Mm+k*Yp，但［Mk，Lm*Yp］=am，p［Mk，Ym+p］=0.因此有-kcm+k，pYm+k+p=0，從而cm+k，p=0，即

類似上述討論，由下列等式：

可推出

其中c2為常數(shù).

由于

且

可推出Yp*Yq=c3（q-p）Mp+q，c3為常數(shù).

注意到當(dāng)m+k≠0時(shí)，

但

同樣，由于

但

可推出k3=k1，c3=-k1.

于是有

?m∈?，?p，q∈?+1/2，其中k1為常數(shù).定理得證.

推論2.1 Schr?dinger-Witt代數(shù)上沒有非平凡的結(jié)合的Poisson代數(shù)結(jié)構(gòu).

3 Schr?dinger-Virasoro代數(shù)上的Poisson結(jié)構(gòu)

定理3.1 Schr?dinger-Virasoro代數(shù)上的任何Poisson代數(shù)結(jié)構(gòu)滿足如下形式：

?m，n∈?，?p，q∈?+1/2，其中k1為常數(shù).定理得證.

證明 顯然Lm、Mm與Yp的Poisson乘法結(jié)構(gòu)與定理2.1相同.

①討論Lm與Mn的Poisson乘法結(jié)構(gòu).

當(dāng)m+n≠0時(shí)，Lm*Ln，Lm*Mn，Mm*MnPoisson乘法結(jié)構(gòu)與定理2.1相同.

當(dāng)m+n=0且n≠0時(shí)，可假設(shè)：

由于

同時(shí)

取k=-m，可推出

從而

類似上述討論，由等式：

取k=-m，可推出

②討論Lm，Mn，Yp分別與C的Poisson乘法結(jié)構(gòu).

由

得：

當(dāng)m≠0時(shí)，有：

當(dāng)m=0時(shí)，取k≠0，由于

且

所以

取k=1，得L0*C=0，從而Lm*C=0，?m∈?.類似上面的討論，由下列等式：

所以，對(duì)C*Ln=0，Mn*C=0，C*Mn=0，?n∈?.

當(dāng)m=0時(shí)，注意到

于是有：

故對(duì)?m∈?，有：

類似地，容易得到：

推論3.1 Schr?dinger-Virasoro代數(shù)L上沒有非平凡的結(jié)合的Poisson代數(shù)結(jié)構(gòu).

［1］Henkel M.Schr?dinger invariance and strongly anisotropic critical systems［J］.J Stat Phys，1994，75：1 023-1 029.

［2］姚裕豐.Witt代數(shù)和Virasoro代數(shù)上的Poisson代數(shù)結(jié)構(gòu)［J］.數(shù)學(xué)年刊，2013，34A（1）：111-128.

［3］靳全勤，佟潔.Toroidal李代數(shù)上的Poisson代數(shù)結(jié)構(gòu)［J］.數(shù)學(xué)年刊，2007，28A（1）：57-70.

［4］佟潔，靳全勤.李代數(shù)的Poisson代數(shù)結(jié)構(gòu)Ⅱ［J］.數(shù)學(xué)雜志，2010，30A（1）：145-151.

［5］KUBO F.Finite-dimensional non-commutative Poisson algebras［J］.J Pure Appl Algebra，1996，113（3）：307-314.

［6］KUBO F.Non-commutative Poisson algebra struetures on affine Kac-Moody algebras［J］.J Pure Appl Algebra，1998，126：267-286.

［7］靳全勤，佟潔.廣義仿射李代數(shù)上的非交換Poisson代數(shù)結(jié)構(gòu)［J］.數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2011，54A（4）：561-570.

［8］ZUSMANOVICH P A.Compendium of Lie structures on tensor products［J］.Journal of Mathematical Science，2013，199（3）：40-81.

［9］李雅南，高壽蘭，劉東.李代數(shù)W（2，2）上的Poisson結(jié)構(gòu)［J］.數(shù)學(xué)年刊A輯，2016，In press.

［10］趙曉曉，高壽蘭，劉東.扭Virasoro-Heisenberg代數(shù)上的Poisson結(jié)構(gòu)［J］.數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)中文版，已錄用.

［11］LI J B，SU Y C.Representations of the Schr?dinger-Virasoro algebras［J］.Journal of Mathematical Physics，2008，49（5）：053512.

［12］LIU D.Classification of Harish-Chandra modules over some Lie algebras related to the Virasoro algebra［J］.J Algebra，2016，447：548-559.

［13］TAN S B，ZHANG X F.Automorphisms and Verma modules for generalized Schr?dinger-Virasoro algebras［J］.J Algebra，2009，322（4）：1 379-1 394.

［14］ZHANG X F，TAN S B，LIAN H F.Whittaker modules for the Schr?dinger-Witt algebra［J］.J Math Phys，2010，51（8）：083524，17pp.

Poisson Structure on the Schr?dinger-Virasoro Algebra

JIN Tingting，LIU Dong
（School of Science，Huzhou University，Huzhou 313000，China）

It is important to determine Poisson algebra structures on a given Lie algebra.Based on such results on the twisted Heisenberg-Virasoro algebra，we firstly determine all Poisson structures on the Schr?dinger-Witt algebra by the method of root-graded，and then do researches on the Schr?dinger-Virasoro Algebra.The results can help to further determine Poisson structures on other relevant Lie algebras.

Poisson algebras；Schr?dinger-Virasoro algebras；Witt algebras；Virasoro algebras.

O152.5

A

1009-1734（2016）04-0001-06

［責(zé)任編輯 高俊娥］

2016-03-04

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目（11371134，11201141）；浙江省自然科學(xué)基金項(xiàng)目（LZ14A010001，LQ12A01005）.

劉東，教授，研究方向：李代數(shù).Email：liudong@hutc.zj.cn

MSC 2010：17B60，17B63，17B65