羅鵬飛

(湖南大學(xué)金融與統(tǒng)計學(xué)院,湖南長沙,410079）

?

基于雙指數(shù)跳擴(kuò)散過程下的一個最優(yōu)投資問題

羅鵬飛

(湖南大學(xué)金融與統(tǒng)計學(xué)院,湖南長沙,410079）

摘要：假設(shè)企業(yè)收益流服從雙指數(shù)跳過程，本文得到了實物期權(quán)價值、最優(yōu)關(guān)閉清算水平和最優(yōu)投資水平的解析解。數(shù)值結(jié)果表明：最優(yōu)投資水平及期權(quán)價值隨著跳強(qiáng)度、上跳概率、指數(shù)分布均值增加而增加；企業(yè)最優(yōu)關(guān)閉水平隨著跳強(qiáng)度、上跳概率、指數(shù)分布均值增加而減少。在跳強(qiáng)度較大時，最優(yōu)投資水平、期權(quán)價值、最優(yōu)關(guān)閉清算水平受上跳概率和指數(shù)分布均值影響較大。

關(guān)鍵詞：雙指數(shù)跳過程；最優(yōu)投資水平；最優(yōu)關(guān)閉水平；期權(quán)價值

一、引言

企業(yè)收益經(jīng)常會受到一些突發(fā)事件的影響，因此，企業(yè)盈利水平在連續(xù)隨機(jī)變化的同時，偶爾會在某個隨機(jī)時刻發(fā)生幅度不確定的跳躍變化。例如：2014年的第一個交易日美國原油下跌3.08美元，接著一路震蕩走升，于6月20日達(dá)到本年度最高點，較年初上漲12.50％。然而，12月26日美國原油較年內(nèi)最高價下跌約48.97％。由于這個原因，相比通常單純的連續(xù)擴(kuò)散模型，跳擴(kuò)散過程更能夠準(zhǔn)確地描述企業(yè)收益的變化。特別地，本文假設(shè)投資收益服從雙指數(shù)跳過程。這是因為該過程具有三個好的性質(zhì)：一是雙指數(shù)跳擴(kuò)散過程既有上跳，又有下跳，故更符合真實市場情況；二是與正態(tài)分布相比,雙指數(shù)分布擁有資產(chǎn)收益率分布的尖峰和厚尾特性；三是它的無記憶特性便于計算停時的拉普拉斯轉(zhuǎn)換，因而容易得到資產(chǎn)價格的解析解。

Merton(1976)[1]最先考慮了跳擴(kuò)散模型。Kou (2002)[2]首次研究了雙指數(shù)跳擴(kuò)散模型，繼而Kou and Wang(2003，2004)[3～4]研究了首達(dá)時,得到了基礎(chǔ)資產(chǎn)服從雙指數(shù)跳過程下的美式期權(quán)價格。Dixit and Pindyck(1994)[5]，鄭德淵（2004）[6]，范玉蓮和王廣富（2008）[7]，楊海生和陳少陵（2009）[8]研究了一般跳模型下的實物期權(quán)問題，然而這些模型都沒有解析解。Koh and Paxson(2006)[9]考慮了雙指數(shù)跳模型下的永久性美式期權(quán)，它與本文最為相似。但是，本文與其有如下幾點不同：首先，由于企業(yè)存在運(yùn)行成本，因此本文還考慮了企業(yè)關(guān)閉水平，以及這一因素對實物期權(quán)價值的影響。其次，Koh and Paxson(2006)[9]利用偏微分方程方法獲得永久性美式期權(quán)價值，計算較復(fù)雜；與此不同，本文采取期望概率方法，簡化了計算過程；最后，Koh and Paxson(2006)[9]的基礎(chǔ)資產(chǎn)為企業(yè)價值，而本文的基礎(chǔ)資產(chǎn)是更具代表性的企業(yè)現(xiàn)金流流。

本文假設(shè)企業(yè)受益流服從雙指數(shù)跳過程，得到期權(quán)價值，最優(yōu)關(guān)閉清算水平和最優(yōu)投資水平的解析解。數(shù)值結(jié)果表明：最優(yōu)投資水平、期權(quán)價值隨著跳強(qiáng)度、上跳概率、指數(shù)分布均值增加而增加；最優(yōu)關(guān)閉清算水平隨著跳強(qiáng)度、上跳概率、指數(shù)分布均值增加而減少。同時，在跳強(qiáng)度較大時，最優(yōu)投資水平、期權(quán)價值、最優(yōu)關(guān)閉清算水平受上跳概率和指數(shù)分布均值影響較大；反之，影響較小。

余下內(nèi)容安排如下：第2節(jié)基于雙指數(shù)跳過程，建立企業(yè)實物期權(quán)模型；得到期權(quán)價值，最優(yōu)投資水平和最優(yōu)關(guān)閉水平的解析解；第3節(jié)為數(shù)值模擬分析；第4節(jié)是結(jié)論。

二、模型

1.預(yù)備知識

假設(shè)企業(yè)投資一個項目后，其產(chǎn)生隨機(jī)收益流X滿足[參見Chen and Kou(2009)[10]]：

其中常數(shù)μ是企業(yè)現(xiàn)金流風(fēng)險調(diào)整后的平均增長率，常數(shù)σ＞0是收益流的擴(kuò)散波動率。B是標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動。對于跳部分，ξ是均值比例跳大小，由后面式（3）給出。N是跳強(qiáng)度為λ的泊松過程，Zi服從獨立同分布，且為非負(fù)隨機(jī)變量。隨機(jī)源N，B，Zi相互獨立。

顯然，式（1）有如下唯一解：

其中x=X0＞0是企業(yè)當(dāng)前收益流水平。

為了簡化表達(dá)式，引入變量Yi:=1n(Zi)，從而，式（2）可化簡為

隨機(jī)過程Yi的密度函數(shù)具有對稱雙指數(shù)分布，即

其中p，q分別代表上跳和下跳的概率，且p，q＞0，p+q=1。兩個指數(shù)分布的均值分別為1/η1和1/η2。

記β1，β2，-β3，-β4分別為如下方程的四個根根據(jù) Chen and Kou(2009)[7]，有 -∞＜-β4＜-η2＜-β3＜0＜β1＜η1＜β2＜∞.

令τd(x)是收益流X到達(dá)下水平xc的首達(dá)時（下首達(dá)時），即τd(x)=inf{t≥0:Xt≤xc}。τu(x)是收益流X到達(dá)上水平xu的首達(dá)時（上首達(dá)時），即τu(x) =inf{t≥0:Xt≤xu}。根據(jù)Kou and Wang(2004)[4]和Dao and Jeanblanc(2006)[11],可得如下結(jié)論：

命題1：（1）在下首達(dá)時獲得一單位價值的現(xiàn)值為：

（2）在下首達(dá)時獲得收益的權(quán)益現(xiàn)值為：

（3）在上首達(dá)時獲得一單位價值的現(xiàn)值為：

（4）在上首達(dá)時獲得收益Xζτu的權(quán)益現(xiàn)值為：

2.企業(yè)價值與最優(yōu)關(guān)閉水平

假設(shè)企業(yè)收益流滿足方程（1）。f是企業(yè)運(yùn)行時的單位成本，則企業(yè)獲得的收益流為給定一個正的生產(chǎn)成本，一旦企業(yè)收益流低于某一水平（xc）時，企業(yè)清算所有資產(chǎn)。在清算時刻，參見Egami(2006)[12]的模型，本文假設(shè)企業(yè)獲得固定的清算價值（企業(yè)清算時所獲得的價值）為γ。于是，公司價值由下式確定：

由光滑黏貼條件，可得最優(yōu)關(guān)閉水平xc*滿足

由命題1，公司的價值和最優(yōu)關(guān)閉水平由如下命題給出。

命題2企業(yè)價值為：

企業(yè)最優(yōu)關(guān)閉水平為

經(jīng)濟(jì)分析：根據(jù)命題2的結(jié)論，可知：企業(yè)的運(yùn)行成本較高，給企業(yè)造成較大的現(xiàn)金支出，從而增加企業(yè)清算水平。較高的清算價值也激勵企業(yè)提高其清算水平。

3.期權(quán)價值與最優(yōu)投資水平

在計算完投資后的資產(chǎn)價值（企業(yè)價值），根據(jù)Mauer和Sarkar（2005）[14]，容易得到投資機(jī)會（實物期權(quán)）價值F（x)滿足：

其中I為沉沒成本。最優(yōu)投資觸發(fā)水平xu*滿足光滑粘貼條件：

由命題1，期權(quán)價值和企業(yè)最優(yōu)投資水平由下列命題給出。

命題3期權(quán)價值為：

最優(yōu)投資水平xu是如下代數(shù)方程的根：

注解：如果考慮企業(yè)是一個純股權(quán)結(jié)構(gòu)的企業(yè)，且運(yùn)行中產(chǎn)生的成本可忽略，則有f=0和γ=0，由命題3，可知最優(yōu)投資水平為這一結(jié)論與Koh and Paxson(2006)[9]一致。實際上，在企業(yè)做決策時，企業(yè)運(yùn)行中產(chǎn)生的成本是不可忽略的一個重要因素。另外，清算價值也影響企業(yè)的最優(yōu)投資水平和清算關(guān)閉水平。例如：在自然資源的開采與關(guān)閉決策中，清算價值是一個重要的影響因子。故而，本文的理論研究較Koh and Paxson(2006)[9]更加結(jié)合實際問題，為現(xiàn)實提供理論依據(jù)和判斷準(zhǔn)則。

三、數(shù)值模擬分析

本文的基本參數(shù)如下：跳參數(shù)部分參見Kou and Wang（2004）[4]，上跳概率 p=0.6（q=0.4），η1=25，η2=50，跳強(qiáng)度λ=5。無風(fēng)險利率r=0.05，擴(kuò)散波動率σ=0.3，風(fēng)險調(diào)整的增長率μ=0.01。投資成本I=10，清算價值γ=2[參見Egami(2006)[12]]，運(yùn)行成本f=0.1，當(dāng)前現(xiàn)金流水平x=1。

圖1　

1.最優(yōu)投資水平

從圖1（a）可知，當(dāng)收益流的擴(kuò)散波動率系數(shù)較大時，企業(yè)延遲投資（underinvest）,此時等待更有價值。圖1（b）表明：收益流的預(yù)期增長率較大時會激勵企業(yè)產(chǎn)生過度投資（overinvestment）的動機(jī)。自然地，市場行情較好，企業(yè)較早投資便能獲得市場利潤。圖1（c）表明：企業(yè)收益流行較低時迫使企業(yè)停止開采，此時，企業(yè)獲得清算價值較高的話，就可以彌補(bǔ)因企業(yè)過度投資造成的損失。圖1(d)表明：隨著企業(yè)收益流跳風(fēng)險的上跳概率增加，企業(yè)投資將延遲，上跳概率使得企業(yè)等待更有價值。圖1（e）、圖1（f）表明：隨著指數(shù)分布均值的減少，企業(yè)最優(yōu)的投資水平將提前。同時，當(dāng)指數(shù)分布的均值在較大值范圍變化時，投資水平變化明顯，而在較小值范圍內(nèi)變化時，投資水平變化不明顯。由于外界因素而導(dǎo)致的對于企業(yè)收益流產(chǎn)生的劇烈波動程度用跳強(qiáng)度來刻畫。通過圖1，可知：當(dāng)收益流波動較大時，企業(yè)總會延遲投資。同時，圖1（d） 至圖1（f） 可知：在企業(yè)收益流受外界產(chǎn)生的波動程度較大時，上跳概率、指數(shù)分布的均值對企業(yè)投資水平的影響顯著。

2.最優(yōu)關(guān)閉水平

當(dāng)企業(yè)收益流的擴(kuò)散波動率較大時，企業(yè)會在較低的收益流水平關(guān)閉。此時，延遲關(guān)閉對企業(yè)有價值，如圖2（a）所示。圖2（b）表明：企業(yè)收益流預(yù)期的增長率較大時，此時，企業(yè)延遲關(guān)閉是有利的。當(dāng)企業(yè)關(guān)閉，獲得的清算價值較大時，企業(yè)會在收益流較低時較早放棄而獲得清算價值，見圖2（c）。圖2（d）表明：企業(yè)關(guān)閉水平是上跳概率減函數(shù)。當(dāng)企業(yè)收益流上行的可能性較大時，此時延遲關(guān)閉對于企業(yè)是有價值。圖2（e）、圖2 （f）表明：企業(yè)收益流中跳部分的指數(shù)分布均值較小時，企業(yè)關(guān)閉清算水平較高。在較小值的范圍內(nèi)變化時，關(guān)閉清算水平收到的影響較小。反之，關(guān)閉清算水平變化明顯。跳強(qiáng)度也會對關(guān)閉清算水平產(chǎn)生影響。圖2反映：當(dāng)宏觀因素對企業(yè)沖擊較大時，企業(yè)會選擇較低的收益流水平關(guān)閉清算，因為此時企業(yè)收益流存在上行的可能，這樣對企業(yè)是有價值的。此外，圖2（d）至圖2（f），可知：在跳強(qiáng)度較小時（如λ=1），上跳概率和指數(shù)分布均值對最優(yōu)的關(guān)閉清算水平影響較小。而在跳強(qiáng)度較大時（λ=5），隨上跳概率和指數(shù)分布均值的變化，企業(yè)關(guān)閉清算水平變化比較明顯。

3.期權(quán)價值

圖3（a）表明：當(dāng)企業(yè)收益流擴(kuò)散部分的波動率較大時，此時企業(yè)的期權(quán)價值較大。由圖1 （a）可知，波動率較大時，企業(yè)投資水平較高。圖3（b）表明：企業(yè)收益流的預(yù)期增長率較大時，自然企業(yè)的期權(quán)價值較高。清算價值與期權(quán)價值呈正相關(guān)，見圖3（c）。圖3（d）表明：上跳概率的增加對企業(yè)期權(quán)價值產(chǎn)生正的影響。宏觀因素促使企業(yè)收益流上行可能性較大，企業(yè)等待更有價值。而圖3（e）至3（f） 表明：隨著指數(shù)分布的均值減少時，期權(quán)價值也減少。從圖3可知：期權(quán)價值是跳強(qiáng)度的增函數(shù)。同時，在跳強(qiáng)度較小時（λ=1），跳參數(shù)對期權(quán)價值的影響較小；反之，影響明顯。

四、結(jié)論

實物期權(quán)方法在實物投資中得到了廣泛的運(yùn)用，但是，針對收益含有劇烈跳變化的投資理論還很少。隨著人類活動范圍的不斷擴(kuò)大，突發(fā)事情存在增多的趨勢，基于跳擴(kuò)散模型的實物投資理論愈加重要。本文討論的雙指數(shù)跳擴(kuò)散過程具有兩個優(yōu)點：一是它比較真實；二是可以得到模型的解析解。本文還考慮了企業(yè)的運(yùn)行成本，從而企業(yè)會選擇一個較高的清算水平。企業(yè)在做投資和關(guān)閉決策時，充分考慮宏觀因素等突發(fā)事前的影響，可以避免企業(yè)應(yīng)不明投資前景而過早投資的損失。研究表明：清算價值增加會對企業(yè)投資動機(jī)和期權(quán)價值產(chǎn)生正的效應(yīng)；突發(fā)事件越頻繁，期權(quán)價值越大，因而企業(yè)應(yīng)選擇延遲投資，避免過度投資造成期權(quán)價值的損失，跳因素（即上行概率和指數(shù)分布均值）的變化對企業(yè)的投資水平和期權(quán)價值的影響愈加顯著。

參考文獻(xiàn)：

[1]Merton R C.Option pricing when underlying stock returns are discontinuous[J].Journal offinancial economics,1976,3 (1):125-144.

[2]Kou S G.A jump-diffusion model for option pricing[J]. Management science,2002,48(8):1086-1101.

[3]Kou S G,Wang H.First passage times of a jump diffusion process[J].Advancesinappliedprobability,2003: 504-531.

[4]Kou S G,Wang H.Option pricing under a double exponential jump diffusion model[J].Management science,2004,50(9): 1178-1192.

[5]Dixit A.K.and Pindyck R.S..Investment under uncertainty [M].Princeton universitypress,1994.

[6] 鄭德淵.基于跳躍過程的復(fù)合期權(quán)定價模型[J].中國管理科學(xué),2004,12(1):15-19.

[7]范玉蓮,王廣富.收益流不連續(xù)時項目最佳投資時機(jī)分析[J].系統(tǒng)工程學(xué)報,2008,22(6):573-576.

[8]楊海生,陳少凌.不確定條件下的投資:基于“跳”過程的實物期權(quán)模型[J].系統(tǒng)工程理論與實踐,2009(12): 175-185.

[9]Koh W,Paxson D.Pricing and application of real R&D options in a two-factor jump model[J].Working paper, 2006.

[10]Chen N,Kou S G.Credit spreads,optimal capital structure, and implied volatility with endogenous default and jump risk[J].Mathematical Finance,2009,19(3):343-378.

[11]Dao B,Jeanblanc M.Double exponential jump diffusion process:A structural model of endogenous default barrier with roll-over debt structure[J].Workingpaper,2006.

[12]Egami M.A framework for the study of expansion options, loan commitments and agencycosts[J].Journal ofCorporate Finance,2009,15(3):345-357.

[13]GorbenkoAS,StrebulaevI A.Temporaryversus permanent shocks:Explaining corporate financial policies[J].Review ofFinancial Studies,2010,23(7):2591-2647.

[14]Mauer D C,Sarkar S.Real options,agency conflicts,and optimal capital structure[J].Journal of banking&Finance, 2005,29(6):1405-1428.

（責(zé)任編輯：羅蕾）

中圖分類號：F304；F724.72

文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

文章編號：1008-2107(2016)03-0044-07

收稿日期：2016－02－25

作者簡介：羅鵬飛（1990—），湖南大學(xué)金屬與統(tǒng)計學(xué)院博士生，研究方向：資產(chǎn)定價與公司金融。

An Optimal Investment With a Double Exponential Jump-diffusion Process

LUO Peng-fei
(School ofFinance and Statistics,Hunan University,Changsha,410079,China)

Abstract：Supposing that the cash flow of a project follows a double exponential jump-diffusion process,we explicitly derive the value of the option to invest in the project,optimal investment threshold and optimal closure level.We show that the investment threshold and option value increase with jump intensity,upward probability and the mean of the double exponential distribution,while the closure level decreases with jump intensity,upward probability and the mean of the double exponential distribution.If jump intensity is high,upward probability and the mean of the double exponential distribution have a larger impact on the optimal investment threshold,option value and optimal closure level.

Key words：a double exponential jump-diffusion process;optimal investment threshold;optimal closure level;option vale