沈亞

[摘 要]通過(guò)對(duì)一道題的分析，提出質(zhì)疑，明晰教師應(yīng)對(duì)學(xué)生的練習(xí)進(jìn)行思考，使練習(xí)適合學(xué)生的思維能力和知識(shí)基礎(chǔ)，讓學(xué)生得到更好的發(fā)展。

[關(guān)鍵詞]教材 正方體 思維 空間觀念 能力

[中圖分類(lèi)號(hào)] G623.5 [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A [文章編號(hào)] 1007-9068（2016）20-024

2013年第10期《中小學(xué)數(shù)學(xué)》（小學(xué)版）刊登了童義清老師所寫(xiě)的《教材能否再多編一題》一文，童老師在文章中說(shuō)教學(xué)六年級(jí)總復(fù)習(xí)時(shí)遇到這樣一道填空題：“由幾個(gè)相同小正方體搭成的立體圖形，從正面看到的是，從左面看到的是，這個(gè)立體圖形至少是由 個(gè)小正方體組成的?！?/p>

童老師班上的大部分學(xué)生，也包括童老師，認(rèn)為是由6個(gè)小正方體（如圖1）組成的。課堂上，生1站起來(lái)反駁道：“我不同意，我認(rèn)為是由5個(gè)小正方體組成的?！逼渌麑W(xué)生聽(tīng)后一頭霧水，生1操作（如圖2）后，其他學(xué)生才恍然大悟。童老師對(duì)此進(jìn)行了深刻細(xì)致的剖析：“全班60多名學(xué)生幾乎沒(méi)有人想到這種方法，這或許跟我們教材編排的思路有關(guān)。通過(guò)對(duì)比北師大版教材、蘇教版教材以及人教版教材，發(fā)現(xiàn)這些教材中凡是涉及由小正方體搭成的立體圖形題，都是把小正方體有序緊密地進(jìn)行排列，要么是直直的一行，要么是直直的一列，每個(gè)小正方體都至少有1個(gè)面和其他小正方體重合（如圖3），卻很少出現(xiàn)面不重合且只有棱重合（如圖4）的情況?！?/p>

因此，童老師認(rèn)為由于教材上很少出現(xiàn)這種情況——小正方體面不重合而棱重合，所以學(xué)生憑借從教材中獲得的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行初步判斷時(shí)出現(xiàn)了偏差。

仔細(xì)拜讀之后，我很佩服童老師對(duì)各種不同版本教材細(xì)心解讀的精神，讓我深刻地感受到一線教師對(duì)教材的大膽質(zhì)疑與不同設(shè)想，但童老師文章中的一段文字引起了我的思考：“生1擺出的這個(gè)圖形不是很復(fù)雜，相反少了1個(gè)正方體（如圖2），顯得更加簡(jiǎn)單?！边@里，我不禁問(wèn)道：“如果更顯簡(jiǎn)單，為何60多名學(xué)生（也包括童老師）幾乎都沒(méi)有想到這種方法？”當(dāng)然，童老師歸結(jié)的原因是跟教材編排的思路有關(guān)，而且進(jìn)行了細(xì)致入微的闡述，但我并不認(rèn)可童老師由此得出教材需要再多編一題這樣的結(jié)論，因?yàn)閷⑷晥D還原實(shí)物幾何體的時(shí)候，由三視圖（正面、上面、左面）可以準(zhǔn)確地確定實(shí)物圖的形狀。生1擺出的這個(gè)圖形看似并不復(fù)雜，但是回到題目原點(diǎn)就會(huì)發(fā)現(xiàn)：此題根據(jù)兩個(gè)方向（正面、左面）的視圖還原實(shí)物圖，對(duì)于空間觀念尚在建立階段的小學(xué)生而言是極不合理的。主要理由如下：

（1）很難確定這個(gè)實(shí)物圖需要小正方體的具體數(shù)量。

（2）還原這個(gè)立體圖形至少是由 個(gè)小正方體組成的，不僅要想象出可能的實(shí)物圖，而且要從中選出最少的個(gè)數(shù)。

（3）只根據(jù)兩個(gè)方向觀察的平面圖形，還原實(shí)物圖的可能性眾多，具有不唯一性。

（4）還原面不重合，只有棱重合，這一特例處于一般人思維的盲區(qū)：從正面看，至少需要5個(gè)小正方體；從左面看，右側(cè)至少還要添1個(gè)小正方體，所以自然而然地認(rèn)為至少要6個(gè)小正方體。

（5）我先生是搞建筑設(shè)計(jì)的，看到這樣的題目，送我一句話：“題目不完整，容易讓人產(chǎn)生歧義。”同時(shí)，他明確地表示：“既然要還原實(shí)物圖，那么通常要提供必要的三視圖（正面、上面、左面），否則就很難準(zhǔn)確還原?！?img alt="" src="https://cimg.fx361.com/images/2021/08/03/qkimagesxisxxisx201607xisx20160711-2-l.jpg"/>

看他對(duì)這種題目不屑一顧的樣子，更激起了我的好奇心，商量著讓他還原出實(shí)物圖，開(kāi)始他猶豫了一下，而后畫(huà)出結(jié)果（如圖5）。我笑后給出生1的方法，他搖搖頭又來(lái)了一句：“這種題目也太怪了?！边@不由得讓我想到一句笑話：“小學(xué)一年級(jí)的數(shù)學(xué)思考題難倒大學(xué)老教授?！?/p>

而后在我的再三請(qǐng)求下，他給我畫(huà)了兩幅由三視圖還原的實(shí)物圖，從中可以清楚地比較出由6個(gè)和5個(gè)小正方體搭成的圖形，我發(fā)現(xiàn)正視圖和側(cè)視圖是一樣的，只有俯視圖有明顯的區(qū)別（如圖6）。由此可見(jiàn)，要準(zhǔn)確還原實(shí)物圖的確需要由三視圖來(lái)支撐，否則真的有些強(qiáng)人所難了，更何況是對(duì)小學(xué)生而言。

細(xì)讀文章后，我認(rèn)為童老師在備課時(shí)應(yīng)該沒(méi)有考慮到這一題的難度，原文如下：“這道題是考查學(xué)生對(duì)空間幾何體三視圖與實(shí)物圖的相互轉(zhuǎn)化能力，由于是復(fù)習(xí)課，多數(shù)內(nèi)容比較簡(jiǎn)單，所以課堂上我沒(méi)有準(zhǔn)備小正方體學(xué)具?！憋@然，童老師沒(méi)有用小正方體來(lái)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行觀察、操作等活動(dòng)，而是直接讓學(xué)生憑借已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)抽象、概括出結(jié)論。童老師很可能課前沒(méi)有將這題進(jìn)行研究，才會(huì)在初步判斷時(shí)也認(rèn)為答案是6個(gè)小正方體。我根據(jù)自己多年的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)得出：讓學(xué)生練習(xí)的題目，教師必須試做，才能了解題目的深淺程度，預(yù)設(shè)學(xué)生可能出現(xiàn)的錯(cuò)誤。不可否認(rèn)，就這題的難度而言，試做后有可能使學(xué)生的錯(cuò)誤率降低，但并不能完全避免學(xué)生錯(cuò)誤的發(fā)生。如果發(fā)現(xiàn)題目的難度過(guò)大，教師完全可以自行改編或者直接刪除。

童老師建議教材在編排例題或練習(xí)時(shí)，涉及小正方體還有可能出現(xiàn)面不重合而棱重合的情況，但童老師對(duì)這一題沒(méi)有注明出處，只是寫(xiě)道：“教學(xué)六年級(jí)總復(fù)習(xí)時(shí)，我與學(xué)生遇到……”由此可以推測(cè)，此題很有可能是教輔用書(shū)上的，而并非出自正規(guī)教材?，F(xiàn)如今充斥市場(chǎng)的是各種各樣、名目繁多、盈利性強(qiáng)的教輔用書(shū)，那數(shù)量真是鋪天蓋地，質(zhì)量卻是良莠不齊。我個(gè)人認(rèn)為：“出這道題目的人極有可能運(yùn)用正向思維，考慮的也是由6個(gè)小正方體搭成的圖形，只是沒(méi)考慮到解決問(wèn)題的人可能運(yùn)用逆向思維，即根據(jù)兩個(gè)方向（本題是正面、左面）觀察到的平面圖形還原實(shí)物圖，而且涉及面不重合但棱重合這一特例?；诖?，確實(shí)沒(méi)有必要一一羅列所有的可能。”

我認(rèn)為，這種題目的出現(xiàn)只會(huì)增加小學(xué)生學(xué)習(xí)空間幾何體的難度，不利于他們空間觀念的培養(yǎng)?？臻g思維是一種復(fù)合思維，快速、高效是它的兩個(gè)顯著標(biāo)志。而且，此題的難度遠(yuǎn)遠(yuǎn)超越了小學(xué)生空間思維能力的極限，練習(xí)之后，反而會(huì)影響學(xué)生已經(jīng)建立的空間觀念，導(dǎo)致他們?nèi)菀缀鸵延械闹R(shí)儲(chǔ)備、個(gè)人經(jīng)驗(yàn)產(chǎn)生混淆。另外，先不論這種練習(xí)是否會(huì)打擊學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，降低他們學(xué)好數(shù)學(xué)的熱情，如此的拔苗助長(zhǎng)也是極其不可取的。而生1提出的方法，也從另一個(gè)側(cè)面說(shuō)明此題的不合理。試想，如果沒(méi)有出現(xiàn)生1的方法，那么這道題的答案將毫無(wú)疑問(wèn)是6個(gè)小正方體。如此不合理的題目才會(huì)引出錯(cuò)誤的答案，追本溯源，又怎能將出現(xiàn)這種特殊情況的原因簡(jiǎn)單地歸結(jié)為和教材編排有關(guān)？我認(rèn)為童老師思考錯(cuò)了方向，糾錯(cuò)了責(zé)任方。不過(guò)，如果童老師先考慮不同版本教材共同的編寫(xiě)意圖，再認(rèn)真研讀課程標(biāo)準(zhǔn)，繼而調(diào)整思路，就會(huì)發(fā)現(xiàn)各種版本教材的編者沒(méi)有將這一特例引入教材的原因了。同時(shí)，《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2013版）中明確指出：“空間觀念主要表現(xiàn)為能由實(shí)物的形狀想象出幾何圖形，由幾何圖形想象出實(shí)物的形狀，進(jìn)行幾何體與三視圖、展開(kāi)圖之間的轉(zhuǎn)化?！边@里清楚地說(shuō)明此題超越了課程標(biāo)準(zhǔn)的范疇，從而失去了考查學(xué)生空間思維能力及知識(shí)掌握程度的價(jià)值，這樣的練習(xí)其效果適得其反。

文章的結(jié)尾處，童老師還提出這樣的建議：“試想，如果教材在編排例題或練習(xí)時(shí)，在保證基本要求能夠?qū)崿F(xiàn)的基礎(chǔ)上，適當(dāng)輻射小正方體還有可能出現(xiàn)其他的位置關(guān)系（如圖7），體現(xiàn)立體圖形與幾何圖形轉(zhuǎn)換情況的多樣性，就可以避免學(xué)生形成思維定式，更有利于適應(yīng)不同層次學(xué)生的學(xué)習(xí)需求?！贝竽懺O(shè)想一下，如果教材編者采納了童老師的建議，出現(xiàn)面不重合而棱重合的情況，那么類(lèi)似這種的題目就可以堂而皇之地讓所有學(xué)生進(jìn)行練習(xí)。那我們?cè)倩氐酱祟}，就會(huì)發(fā)現(xiàn)這道題并非只有生1出示的這一種擺法，還有多種情況（如圖9）。

請(qǐng)問(wèn)：“這真的能更有利于適應(yīng)不同層次學(xué)生的學(xué)習(xí)需求嗎？能讓學(xué)生更好地發(fā)展空間觀念嗎？”我認(rèn)為此道題超出了教材的廣度，超越了課程標(biāo)準(zhǔn)的深度，超越了學(xué)生空間思維能力的極限。經(jīng)查閱資料后，我發(fā)現(xiàn)：通過(guò)小正方體組合圖形的三視圖，確定組合圖形中小正方體的個(gè)數(shù)，在中考或競(jìng)賽中經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)這樣的題型?？梢?jiàn)，這類(lèi)習(xí)題在小學(xué)數(shù)學(xué)課堂上作為研究素材顯然是拔苗助長(zhǎng)，根本不合時(shí)宜的，又怎能不讓學(xué)生生畏呢？我認(rèn)為，此道題只會(huì)增加學(xué)生學(xué)習(xí)空間幾何體的難度，不利于發(fā)展他們的空間觀念。對(duì)空間觀念尚在建立的學(xué)生來(lái)說(shuō)，在這種問(wèn)題上實(shí)在不必太過(guò)苛求；對(duì)于空間觀念本來(lái)就不強(qiáng)的學(xué)生來(lái)說(shuō)，這種題目的練習(xí)無(wú)疑更是雪上加霜，也與我們現(xiàn)行教育所提倡“切實(shí)減輕學(xué)生負(fù)擔(dān)”的理念背道而馳。但愿出題的人能夠把握教材的本意，而我們一線教師更要準(zhǔn)確地理解編者的意圖，精心選題，事先備題，才能讓更多的學(xué)生進(jìn)行扎實(shí)有效的訓(xùn)練，從而切實(shí)提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

數(shù)學(xué)的思想是化繁為簡(jiǎn)，所以我們不能在數(shù)學(xué)上化簡(jiǎn)為繁。教師對(duì)教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行拓展、延伸應(yīng)遵循一定的規(guī)律，不能隨意地對(duì)教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行擴(kuò)展，從而導(dǎo)致知識(shí)性的錯(cuò)誤發(fā)生。由于上述這道題極具思考性，對(duì)于空間觀念特別強(qiáng)的學(xué)生而言，此題如果作為課外思維訓(xùn)練，讓這類(lèi)學(xué)生練習(xí)一下未嘗不可。

以上純屬個(gè)人觀點(diǎn)，如有不妥，敬請(qǐng)指正。我很愿意拋磚引玉，與大家共同進(jìn)步。

（責(zé)編 藍(lán) 天）