□ 深圳市坪山新區(qū)坑梓中心小學 王銳利

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分析基于APOS理論的小學數(shù)學概念課設計
——以“生活中的比”為例

□ 深圳市坪山新區(qū)坑梓中心小學 王銳利

數(shù)學概念是學好數(shù)學知識的必要條件之一。數(shù)學概念課教學設計最大的困難就是，如何讓學生充分聯(lián)系數(shù)學概念與生活實際應用。杜賓斯基的APOS學習理論為我們的概念課教學設計提供了有效的理論支持：學生對知識的理解經(jīng)歷操作階段（Action）、過程階段（Process）、對象階段（Object）、圖式階段（Scheme）。

根據(jù)杜賓斯基的APOS學習理論，在數(shù)學概念學習中，首先處理的數(shù)學問題要有社會或現(xiàn)實生活背景，并要求學生開展各種各樣的數(shù)學活動。一個人是不可能在對數(shù)學概念沒有生活感知的基礎上直接學習到數(shù)學概念的。更確切地說,學生應該透過心智結構（mental structure）對所學的數(shù)學概念產(chǎn)生印象。如果學生對于一個數(shù)學概念在課堂上無法建立起與之對應的心智結構，那么他是無法真正習得該數(shù)學概念的。下面我以“生活中的比”這節(jié)課的設計為例，具體闡述如何以“杜賓斯基概念教學理論”設計一節(jié)數(shù)學概念課。

一、情境導入，聯(lián)系生活

皮亞杰認為，數(shù)學抽象活動的基本性質是一種“自反抽象”。它與通常所謂的“經(jīng)驗抽象”有著重要的區(qū)別。所謂的“經(jīng)驗抽象”即是以真實的事物或現(xiàn)象作為直接的原型，也就是由一類物質對象中抽象出共同的特性。

出示一張被遮擋的圖片，如圖所示：

教師提問：“大家猜一猜，這張照片會是誰呢？”在經(jīng)過提示后，學生可能會想到“是老師自己”，在猜測的過程中活躍課堂的氛圍，提高學生的學習興趣。老師將這張照片進行編輯，想不想看看？請大家仔細觀察，編輯后的哪幾張照片與原來的照片A比較像？出示A、B、C、D、E五張照片，如圖所示：

生：B和D。

師：大家都是這樣認為B、D與A比較像，那為什么呢？我們能否從數(shù)學的角度來研究這個問題？大家想不想試一試？

二、動手操作——操作階段（Action）

操作行為是數(shù)學認知的基礎性行為。沒有操作、體驗，學生對知識的感知就沒有附著點，對概念的理解如同無源之水、無本之木。實際操作和頭腦中的心理操作——思想實驗，將是學生對概念構建心智結構（mental structure）的基石。沒有物理操作和心理的操作，學生對數(shù)學概念這一現(xiàn)象不可能發(fā)生。

約定：照片縱向的邊稱為照片的長，照片橫向的邊稱為照片的寬。

課前準備：每個小組會有一套學具：ABCDE五張照片和兩張透明的方格紙、一把直尺。

如圖所示：

組成四人一個小組，通過已準備好的學具找一找照片的長和寬，并且試著發(fā)現(xiàn)照片相像的奧秘。

三、過程研究——過程階段（Process）

此階段是學生通過對課堂特定的“教學活動”進行思考，經(jīng)歷思維的內(nèi)化、壓縮過程。在此過程中，學生逐步在思維上、心理上形成對知識的心智結構（mental structure），當學生在頭腦中對正在進行的活動描述和反思時，抽象出概念所特有的性質。正是通過此階段的設計，學生雖然并未完全認識“比的概念”，但是已經(jīng)能夠根據(jù)此情境在不知不覺之中理解了“研究比的概念的原因”。在潛意識里，學生無形之中已經(jīng)接受了比的概念。

生：A長為6、寬為4；B長為3、寬為2；C長為3、寬為8；D長為12寬為8；E長為12、寬為2。

生①：A圖片的長是B圖片長的2倍，A圖片的寬也是B圖片寬的2倍。

生③：照片的長和寬同時擴大或縮小相同的倍數(shù)，照片仍然會相像。

師：同學們的討論、研究的成果，非常有道理，能夠從不同的角度來分析問題、解決問題。

四、對象研究——對象階段（Object）

在此階段，是通過前面的抽象，認識到了比的概念本質。此時此刻，就是需要老師正式對其賦予形式化的定義及符號，使其達到精致化，成為一個具體的對象，在以后的學習中以此為對象去進行新的活動。因而，比的概念就非常自然地出現(xiàn)在學生的面前。

師：其實，長除以寬，把兩個數(shù)相除，在數(shù)學里面也可以叫作這兩個數(shù)的比。像這樣的兩個數(shù)相除，也叫作兩個數(shù)的比。

（板書：兩數(shù)相除，也叫作兩個數(shù)的比）

師：就以A照片為例：長除以寬，也叫做長與寬的比。

師：這里的6：4就是A照片長與寬的比！兩個圓點就叫作比的比號；比號前面的一項就叫做比的前項，比號后面的一項叫比的后項；比的前項除以后項就叫作比值。

在這一對象階段（Object），學生以之前的操作階段、過程階段為基礎，非常自然地理解了比的概念。

五、形成圖式——圖式階段（Scheme）

為了進一步鞏固學生對比的概念穩(wěn)固的心智結構，就需要在圖式階段經(jīng)過長期的學習活動來完善、強化。起初的概型包含反映概念的特例、抽象過程、定義及符號，經(jīng)過圖式階段（Scheme）的學習，學生能夠逐步完善地建立起與其他概念、規(guī)則、圖形等的聯(lián)系，在頭腦中形成綜合的心理圖式。在學生初步的認識了比的概念、理清了比的概念與已經(jīng)學習的“分數(shù)”、“除法”之間的關系之后，學生需要反復演練概念抽象的過程，在頭腦中形成“比的概念”的心電圖。

師：現(xiàn)在我們接觸了比，咱們學習知識就是為了應用。那比到底怎么用呢？要不現(xiàn)在來試一試，好不好？

1.根據(jù)生活中的數(shù)學現(xiàn)象寫比。

（1）照片BD的長與寬的比分別是多少呢？

（2）我們班男生人數(shù)與女生人數(shù)的比是多少？

（3）路程與速度的比：一輛汽車行駛120km大約需要2小時。路程與時間的比是多少？

2.根據(jù)具體的生活情境寫出比的意義。

（1）ABD三張照片的長和寬的比分別為6：4、3：2，12：8，它們表達什么意義呢？為什么三張照片長和寬的比可以解釋ABD三張照片相像？

（2）甘蔗汁和水的配比為1：2。

（3）樹高和影長的比為6：3。

舉出第一個實例，不僅可以與“對象階段”中的形成比的概念呼應，而且還能夠在熟悉的背景下，根據(jù)具體的生活情境進一步理解比的概念、分析比的意義。

六、值得嘗試、探討的問題

小學數(shù)學概念課的教學是小學課堂教學設計的難點之一。其中重要的困惑就在于學生難以形成對概念的“固著點”，就更加談不上形成了對概念的“心電圖”、“心智結構”。杜賓斯基的APOS數(shù)學學習理論為小學數(shù)學概念教學提供了可行的嘗試；只是在概念課的教學設計過程中，教師需要在充分的考察學生的學習基本功、認知水平的基礎之上，選擇適合學生心智結構的“操作活動”、“現(xiàn)實生活背景”，這對教師的教學能力也是一大挑戰(zhàn)。