曹建軍

摘 要：數(shù)學(xué)概念教學(xué)應(yīng)以概念發(fā)生發(fā)展過程為載體，使學(xué)生經(jīng)歷完整的數(shù)學(xué)思考過程.如從數(shù)學(xué)知識內(nèi)部的發(fā)展需要引入；讓學(xué)生充分參與概念本質(zhì)特征的概括活動；通過精細(xì)加工明確概念的內(nèi)涵與外延.只有這樣，才能讓學(xué)生逐步樹立從數(shù)學(xué)的角度看問題的觀點(diǎn)，逐步掌握數(shù)學(xué)思考的過程與方法.

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)概念；教學(xué)立意；策略

數(shù)學(xué)的育人功能要求教師在日常教學(xué)中，以數(shù)學(xué)概念發(fā)生發(fā)展過程為載體，使學(xué)生經(jīng)歷完整的數(shù)學(xué)思考過程.只有這樣，才能讓學(xué)生逐步樹立從數(shù)學(xué)的角度看問題的觀點(diǎn)，逐步掌握數(shù)學(xué)思考的過程與方法，進(jìn)而學(xué)會數(shù)學(xué)地認(rèn)識和解決問題[1].我們“基于動態(tài)問題鏈的‘雙徑共振數(shù)學(xué)教與學(xué)的研究”課題組也針對概念教學(xué)進(jìn)行了如何提升教學(xué)立意、落實(shí)育人目標(biāo)的嘗試.經(jīng)過深入的研究與嘗試，我們提出以下幾個(gè)方面的教學(xué)建議，以期能為教師提供教學(xué)的參考.

一、從數(shù)學(xué)知識內(nèi)部的發(fā)展需要引入

概念引入環(huán)節(jié)主要是讓學(xué)生體會和認(rèn)識學(xué)習(xí)的必要性，包括明確學(xué)習(xí)這一概念的意義，了解概念的作用，引發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的動機(jī).這是概念引入環(huán)節(jié)的主要目的和任務(wù)[2].

許多教師能充分關(guān)注“數(shù)學(xué)從現(xiàn)實(shí)中來”，采用從實(shí)際引入的方式.如分式概念教學(xué)，創(chuàng)設(shè)學(xué)生感興趣的、比較新穎的、當(dāng)前正在發(fā)生的事件作為背景，讓學(xué)生寫出各種分式，再讓學(xué)生進(jìn)行概括，形成定義.

實(shí)際上，學(xué)生的現(xiàn)實(shí)，不僅包括生活現(xiàn)實(shí)，也包括數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)、其他學(xué)科的現(xiàn)實(shí)，我們要關(guān)注學(xué)生的現(xiàn)實(shí)，為學(xué)習(xí)的必要性而引入.但是考慮到初中學(xué)生的心理特征正處于從感性認(rèn)識上升到理性認(rèn)識的關(guān)鍵階段，我們更應(yīng)關(guān)注學(xué)生的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)，即努力從數(shù)學(xué)知識內(nèi)部的發(fā)展需要引入.如平方根一課中，對于面積為2的正方形邊長問題，即x2=2如何求解.這樣的引入以逆運(yùn)算為認(rèn)知沖突產(chǎn)生學(xué)習(xí)的需要，同時(shí)，與數(shù)學(xué)知識發(fā)生發(fā)展過程也比較吻合.當(dāng)然，我們還可以從逆運(yùn)算的角度更加深入地開展平方根概念引入教學(xué)的研究.

【案例1】 平方根的引入

師：我們已經(jīng)學(xué)過有理數(shù)的哪幾種運(yùn)算？

生（齊答）：加、減、乘、除、乘方.

師：在這些運(yùn)算中，哪些運(yùn)算互為逆運(yùn)算？

生：加法與減法互為逆運(yùn)算；乘法與除法互為逆運(yùn)算.

師：對此，你還會有怎樣的思考呢？

生1：乘方有無逆運(yùn)算？

師：你講得太好了！這其實(shí)就是本章研究的主要內(nèi)容.

師：既然我們要研究乘方的逆運(yùn)算，那么讓我們一齊來回顧乘方的內(nèi)容：乘方的一般形式是an，其中a為底數(shù)，n為指數(shù)，an叫作冪.

根據(jù)n的不同，我們知道乘方包含一次方、平方、立方、四次方……n次方……，我們可以選擇其中最為特殊的平方進(jìn)行研究.

評析：我們對某一數(shù)學(xué)對象的認(rèn)識，一般都是先研究它的某種特殊情況或簡單情況，由簡入繁，循序漸進(jìn)，從而更容易認(rèn)識它，如小學(xué)時(shí)我們研究三角形、四邊形，我們先研究它們的特殊情況，如直角三角形、正方形、長方形等.

師：對于平方有無逆運(yùn)算的問題，我們同樣可以先以一個(gè)特殊情況52=25為例進(jìn)行研究.請大家思考：在式子52=25中，5為底數(shù)，2為指數(shù)，25為冪，你認(rèn)為其中會有幾種運(yùn)算？

生2：三種，求冪，求底數(shù)，求指數(shù).如：

（1）52=（ ），已知底數(shù)、指數(shù)，求冪的運(yùn)算；

（2）（ ）2=25，已知冪、指數(shù)，求底數(shù)的運(yùn)算；

（3）5（ ）=25，已知底數(shù)、冪，求指數(shù)的運(yùn)算.

師：我們已經(jīng)知道，求52=（ ）即平方運(yùn)算，那么你認(rèn)為平方的逆運(yùn)算是哪一種運(yùn)算呢？

生3：因?yàn)槲覀冄芯康氖瞧椒降哪孢\(yùn)算，所以指數(shù)2是確定的.因此平方的逆運(yùn)算只能是求底數(shù)的運(yùn)算，即求（ ）2=25.

師：式子（ ）2=25是求一個(gè)數(shù)的平方等于25. 類似地，我們可以一般化.

一般地，如果一個(gè)數(shù)的平方等于a，即x2=a，那么這個(gè)數(shù)x就叫作a的平方根.

求一個(gè)數(shù)的平方根的運(yùn)算叫作開平方.

顯然，開平方與平方運(yùn)算互為逆運(yùn)算.

師：我們已經(jīng)知道求25的平方根是一種運(yùn)算，即開平方，那么運(yùn)算的結(jié)果是什么呢？

生4：5，因?yàn)?2=25.

生5：不對，還有-5，因?yàn)椋ā?）2=25.

師：補(bǔ)充得很好！因?yàn)椋ā?）2=25，所以±5叫25的平方根.

這樣的引入設(shè)計(jì)較為符合數(shù)學(xué)知識內(nèi)部的發(fā)展需要，也更能引發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考，即模擬數(shù)學(xué)家的思考方法來研究知識，讓學(xué)生經(jīng)歷完整的數(shù)學(xué)思考過程.同時(shí)，這樣的研究過程也為學(xué)生研究類似的概念提供了方法的參考.如我們可以引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行如下的類比思考：現(xiàn)在我們已經(jīng)知道平方運(yùn)算有逆運(yùn)算開平方，那么立方有沒有逆運(yùn)算？叫什么？你能得出相關(guān)概念嗎？類比得出：x3=a，那么這個(gè)數(shù)x就叫作a的立方根.求一個(gè)數(shù)的立方根的運(yùn)算叫作開立方. 也就是說這樣的概念的引入方式更具可遷移性，這顯然對學(xué)生的數(shù)學(xué)思考，甚至學(xué)習(xí)能力的培養(yǎng)更有幫助.

二、讓學(xué)生充分參與概念本質(zhì)特征的概括活動

讓學(xué)生參與概念本質(zhì)特征的概括活動是使概念課生動活潑、優(yōu)質(zhì)高效的關(guān)鍵.這就要求我們一方面充分利用新舊知識蘊(yùn)含的矛盾，激發(fā)認(rèn)知沖突，把學(xué)生卷入其中；另一方面要讓學(xué)生有參與的時(shí)間與機(jī)會，特別是有思維的實(shí)質(zhì)性參與.其中對于定義性概念，要注意以下兩方面的問題.

（一）提供合理的例證

【案例2】 分式本質(zhì)屬性的概括

浙教版教科書在分式概念學(xué)習(xí)時(shí)提供給學(xué)生如下幾個(gè)代數(shù)式的例證，希望學(xué)生在概括其本質(zhì)屬性的基礎(chǔ)上得出定義[3].

由這幾個(gè)例證，學(xué)生能比較容易地概括出除式中含有字母，大多也能概括出分子分母都是整式.但由于例子提供不合理的原因，不少學(xué)生還概括出了“分子分母都是一次式”這一非本質(zhì)屬性.如果我們將例證改成如下形式，就可以避免這一情況的發(fā)生.

（二）設(shè)置分類活動

【案例3】 一元一次方程本質(zhì)屬性的概括

一元一次方程概念教學(xué)中，我們會給出如下的問題，請學(xué)生概括其本質(zhì)屬性.

問題：觀察以下幾個(gè)方程，請找出它們的共同特征.

三、通過精細(xì)加工明確概念的內(nèi)涵與外延

正確地理解和形成一個(gè)數(shù)學(xué)概念，必須明確這個(gè)數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵——對象的“質(zhì)”的特征，及其外延——對象的“量”的范圍.概念的內(nèi)涵是概念的本質(zhì)屬性的總和；概念的外延是指具有概念所反映的本質(zhì)的全體對象.在通過概括活動基本把握概念的內(nèi)涵之后，我們還需要通過更精細(xì)的加工，進(jìn)一步明確概念的內(nèi)涵與外延.

（一）提供充足的概念的正例（原型、變式）與反例

概念的正例，主要是反映概念本質(zhì)屬性的.在數(shù)學(xué)概念中，正例主要體現(xiàn)為原型和變式兩種類型.數(shù)學(xué)概念的原型是具有表征數(shù)學(xué)概念本質(zhì)屬性的最典型的標(biāo)準(zhǔn)實(shí)例.它是數(shù)學(xué)概念所有例子中的中心樣例.因而，原型在概念學(xué)習(xí)中具有重要地位，學(xué)生一想到概念最容易聯(lián)想到的也是原型.

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念最終必須掌握其本質(zhì)屬性，這些本質(zhì)屬性在概念的各種例子中是相同的，但由于許多無關(guān)特征的干擾，使得概念的本質(zhì)屬性往往隱藏很深，僅從原型的標(biāo)準(zhǔn)特征上難以真正把握其本質(zhì)屬性.因此，必須通過各種變式比較，排除由具體對象本身的非本質(zhì)屬性所造成的干擾，才能充分揭示概念的本質(zhì)屬性，真正形成概念.例如，“同位角”的概念，如果學(xué)生過于關(guān)注原型，則會誤認(rèn)為“平行性”也是這一概念的本質(zhì)特征，從而影響概念的準(zhǔn)確把握.因此，必須提供變式幫助學(xué)生排除“平行性”這一非本質(zhì)特征.

（二）通過類似概念的對比，準(zhǔn)確把握概念的細(xì)節(jié)

用對比方法找出容易混淆的概念的異同點(diǎn)，有利于學(xué)生區(qū)分概念，獲取準(zhǔn)確的知識.如學(xué)完單項(xiàng)式、多項(xiàng)式、整式的概念后，可以讓學(xué)生指出哪些是單項(xiàng)式，哪些是多項(xiàng)式，仔細(xì)觀察后并說明單項(xiàng)式與多項(xiàng)式的聯(lián)系.再如，在學(xué)習(xí)“一元一次不等式”時(shí)，就可以與“一元一次方程”進(jìn)行對比學(xué)習(xí)，在“一元”與“一次”上是相同的，不同的是前者含不等號，后者含等號，以及它們的解法都進(jìn)行類比、對比學(xué)習(xí)，可以加深對知識的理解.對于易混淆的概念的最主要區(qū)別要特別強(qiáng)調(diào)，如“整式乘法”與“因式分解”的區(qū)別，主要是積化和差或和差化積的過程；軸對稱圖形與圖形成軸對稱的區(qū)別，主要是一個(gè)圖形與兩個(gè)圖形的區(qū)別；一個(gè)角的平分線與三角形的角平分線主要是射線與線段的區(qū)別，等等.這樣對概念的辨析、概念間聯(lián)系的分析等過程，就是對概念的內(nèi)涵進(jìn)行“深加工”，對概念要素做具體界定的過程，讓學(xué)生通過對概念的對比，能更準(zhǔn)確地把握概念中的細(xì)節(jié)，加深對概念的理解.

參考文獻(xiàn)：

[1]中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）[S].北京：北京師范大學(xué)出版社，2012：3.

[2]曹一鳴，張生春.數(shù)學(xué)教學(xué)論[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2010：148.

[3]義務(wù)教育教科書數(shù)學(xué)教學(xué)參考書（七年級下冊）[M].杭州：浙江教育出版社，2014：114.

[4]義務(wù)教育教科書數(shù)學(xué)教學(xué)參考書（七年級上冊）[M].杭州：浙江教育出版社，2014：115.