張丹丹, 吳歡歡

(安徽廣播電視大學(xué) 安慶分校，安徽 安慶 246001)

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帶參數(shù)的五次Wang-Ball曲線的擴(kuò)展*

張丹丹, 吳歡歡

(安徽廣播電視大學(xué) 安慶分校，安徽 安慶 246001)

摘要：定義了帶3個(gè)形狀參數(shù)α,β,γ的五次Wang-Ball型曲線；實(shí)現(xiàn)了五次Wang-Ball曲線到五次Said-Ball曲線及五次Bézier曲線的過渡，并具有五次Ball曲線的幾何性質(zhì)；分析了形狀參數(shù)α,β,γ的幾何意義，可對(duì)曲線的形狀進(jìn)行靈活的調(diào)整，并通過實(shí)例證明方法的有效性。

關(guān)鍵詞：Wang-Bal曲線；Said-Ball曲線；Bézier曲線；形狀參數(shù)；曲線設(shè)計(jì)

隨著幾何造型工業(yè)的發(fā)展，為了對(duì)曲線的形狀進(jìn)行調(diào)整，人們構(gòu)造了Bézier曲線、B樣條曲線、Ball曲線[1]。文獻(xiàn)[2]介紹了兩類新的Ball曲線，第一類介于Wang和Said曲線之間，第二類介于Bézier和Said曲線之間。文獻(xiàn)[3]提出了三次Ball曲線的兩種擴(kuò)展，并分析了這兩類曲線與Bézier曲線的關(guān)系。文獻(xiàn)[4-5]提出了三次、四次Ball曲線的擴(kuò)展，通過增加t的次數(shù)，得到的曲線具有Ball曲線類似的幾何性質(zhì)。文獻(xiàn)[6-7]提出的四次、五次Wang-Ball曲線，包含了Wang-Ball與Said-Ball曲線之間的過渡曲線及Said-Ball與Bézier曲線之間的過渡曲線。

構(gòu)造了帶3個(gè)形狀參數(shù)的五次Wang-Ball型曲線，曲線包含了五次Wang-Ball曲線到五次Said-Ball曲線及五次Bézier曲線的過渡曲線，具有Ball曲線類似的幾何性質(zhì)，并包含了文獻(xiàn)[7]中的αB曲線。

1曲線的構(gòu)造及性質(zhì)

定義1對(duì)t∈[0,1]，1≤α≤3，α-2β-γ≥-2且α-β+γ≤1，稱關(guān)于t的多項(xiàng)式

(1)

為帶參數(shù)α,β,γ的五次Wang-Ball型基函數(shù)。

上述Wang-Ball基函數(shù)具有下列性質(zhì)：

性質(zhì)1非負(fù)性和規(guī)范性。對(duì)任意t∈[0,1]，1≤α≤3，α-2β-γ≥-2且α-β+γ≤1，wi5(t)≥0,i=0,1,2,3,4,5，且w05+w15+w25+w35+w45+w55=1。

性質(zhì)2對(duì)稱性。w05(t)=w55(1-t),w15(t)=w45(1-t),w25(t)=w35(1-t)。

性質(zhì)3端點(diǎn)性質(zhì)。

性質(zhì)4單調(diào)性。當(dāng)t∈[0,1]時(shí)，w05(t)、w55(t)關(guān)于α單調(diào)遞減，w15(t)、w25(t)、w35(t)、w45(t)關(guān)于α單調(diào)遞增；w05(t)、w55(t)關(guān)于β單調(diào)遞增，w15(t)、w45(t)關(guān)于β單調(diào)遞減；w05(t)、w55(t)關(guān)于γ單調(diào)遞減，w15(t)、w45(t)關(guān)于γ單調(diào)遞增。

性質(zhì)5退化性。當(dāng)α=3,β=3,γ=1時(shí)，五次Wang-Ball型基函數(shù)退化為五次Bernstein基函數(shù)；當(dāng)α=1,β=0,γ=0時(shí)，五次Wang-Ball型基函數(shù)退化為五次Said-Ball基函數(shù)(圖1)。

圖1　五次Wang-Ball基函數(shù)圖形(α=1,β=1,γ=1)Fig.1　Quintic Wang-Ball basis function graph (α=1,β=1,γ=1)

定義2給定6個(gè)控制頂點(diǎn)Pi∈Rd,d=2,3,i=0,1,2,3,4,5,1≤α≤3，α-2β-γ≥-2且α-β+γ≤1，對(duì)任意t∈[0,1]曲線

(2)

稱式(2)為帶形狀參數(shù)的五次Wang-Ball型曲線。當(dāng)α=3,β=3,γ=1時(shí)，曲線退化為五次Bézier曲線；當(dāng)α=1,β=0,γ=0時(shí)，曲線退化為五次Said-Ball曲線；當(dāng)β=γ=0時(shí)，退化為文獻(xiàn)[7]定義的αB曲線。

圖2給出了五次Wang-Ball曲線、五次Said-Ball曲線及五次Bézier曲線之間的過渡曲線。

圖2　五次Wang-Ball、Said-Ball及Bézier曲線Fig.2　Quintic Wang-Ball、Said-Ball and Bézier curve

2形狀參數(shù)的幾何意義

(1) 當(dāng)參數(shù)α、β固定，γ增大時(shí)曲線越來越靠近控制多邊形。如圖3(a)所示由內(nèi)到外依次為α=3，β=1，γ=-3,-2.5,-2,-1.5,-1時(shí)的曲線。

(2) 當(dāng)參數(shù)α、γ固定，β增大時(shí)曲線越來越扁平。如圖3(b)所示由內(nèi)到外依次為α=1，γ=1，β=2,1.75,1.5,1.25,1時(shí)的曲線。

(3) 當(dāng)參數(shù)β、γ固定，α增大時(shí)曲線越來越靠近控制多邊形。如圖3(c)所示由內(nèi)到外依次為β=1，γ=-1，α=1,1.5,2,2.5,3時(shí)的曲線。當(dāng)固定其中一個(gè)參數(shù)，改變另外兩個(gè)參數(shù)時(shí)，曲線的調(diào)整將更加的靈活，如圖3(d)所示由內(nèi)到外依次為β=-1，α=1,1.5,2,2.5,3，γ=-5,-4.5,-4,-3.5,-3。

圖3　不同參數(shù)值的五次Wang-Ball型曲線Fig.3　Quintic Wang-Ball curves of different parameter values

3曲線拼接

4應(yīng)用實(shí)例

圖4(a)由五次Wang-Ball曲線組成的開曲線

花瓣圖形，曲線由內(nèi)到外參數(shù)α=1,1.5,2,2.5,3，β=1，γ=-1。圖4(b)由五次Wang-Ball曲線組成的閉曲線花瓣圖形，曲線由內(nèi)到外參數(shù)α=2，β=2,0,0，γ=1,-2,-1。

圖4　花瓣圖形Fig.4　Petal pattern

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YANLL,ZHANGW,WENRS.TwoClassesofQuinticGeneralizedBallCurveswithAdustableShape[J].JournalofEngineeringGraphics,2011,32(6):16-20

責(zé)任編輯：田靜

doi:10.16055/j.issn.1672-058X.2016.0004.015

收稿日期：2015-02-02; 修回日期：2015-03-25.

*基金項(xiàng)目：安徽廣播電視大學(xué)科研資金項(xiàng)目(QN15-01).

作者簡介：張丹丹(1984-)，女，安徽安慶人，講師，碩士研究生，從事計(jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì)研究.

中圖分類號(hào)：TP391

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào)：1672-058X(2016)04-0091-04

Extension of Quintic Wang-Ball Curve of with Parameters

ZHANGDan-dan,WUHuan-huan

(AnqingBranch,AnhuiRadioandTelevisionUniversity,AnhuiAnqing246001,China)

Abstract：A class of quintic Wang-Ball curve with three shape parameters α,β,γ is defined in this paper. This class of curve not only realizes the transition from quintic Wang-Ball curve to quintic Said-Ball curve and quintic Bézier curve, but also inherits the geometrical properties of quintic Ball curve. The geometrical meaning of shape parameters α,β,γ is analyzed and the shape of the curve can be adjusted flexibly. Some examples demonstrate the effectiveness of this method.

Key words：Wang-Ball curve; Said-Ball curve ；Bézier curve ；shape parameter; curve design