倪迎鴿, 侯赤, 萬小朋, 趙美英

(西北工業(yè)大學 航空學院, 陜西 西安　710072)

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機翼折疊運動的瞬態(tài)動力學響應分析

倪迎鴿, 侯赤, 萬小朋, 趙美英

(西北工業(yè)大學 航空學院, 陜西 西安710072)

摘要：結(jié)合多體動力學中的浮動坐標系法和結(jié)構(gòu)動力學中的模態(tài)綜合法,建立了機翼折疊運動的動力學控制方程,預測了機翼折疊運動中的瞬態(tài)動力學特性。將有理函數(shù)近似導出的折疊運動中的非定常氣動力引入到動力學控制方程中,獲得了機翼折疊運動中在時變氣動力作用下的瞬態(tài)動力學響應。結(jié)果表明:機翼折疊過程越緩慢,得到的瞬態(tài)響應越平穩(wěn);機翼柔性對折疊變形過程中的瞬態(tài)響應影響較大;在一定的來流速度范圍內(nèi),來流速度越大,穩(wěn)態(tài)時翼尖位移響應的振蕩越小,越有助于機翼的折疊變形。

關(guān)鍵詞：折疊機翼;瞬態(tài)動力學響應;有理函數(shù)近似;浮動坐標系法;模態(tài)綜合法

變體飛機通過機翼折疊可實現(xiàn)機翼面積200%的變化[1]。這種大幅度變形必然會引起機翼的氣動力以及結(jié)構(gòu)動力學特性的變化。因此需要對變體飛機機翼在折疊變形過程中的動力學特性進行研究。Scarlett等[2]和Reich等[3]結(jié)合有限元方法、多體動力學、氣動力模型,建立了折疊機翼柔性多體動力學模型。韓景龍課題組[4]通過對偶極子網(wǎng)格法的有理近似,并結(jié)合MSC. NASTRAN與ADAMS,建立了多體動力學的瞬態(tài)響應。此時使用的商業(yè)軟件不便于結(jié)構(gòu)模型與氣動力模型的耦合。Selitrennik等[5]通過引入時變的坐標變換矩陣、虛質(zhì)量子結(jié)構(gòu)綜合方法以及CFD計算結(jié)果,形成了狀態(tài)空間下的氣動彈性模型,但是該模型中CFD的計算量較大。Zhao等[6]建立了機翼在折疊變形的動力學方程,預測了機翼在不同變形速度下的動力學響應,但是該模型沒有考慮氣動力的作用,因此無法預測氣動力對于機翼在折疊變形過程中動力學響應的影響。

本文采用多體動力學中的浮動坐標系法,結(jié)構(gòu)動力學中的模態(tài)綜合法,引入有理函數(shù)近似導出機翼折疊變形時非定常氣動力,建立了一組微分代數(shù)方程來模擬機翼的折疊運動,通過約束違約穩(wěn)定法[7]獲得了機翼折疊運動的動力學響應。該控制方程適用類似的多段機翼結(jié)構(gòu),并且可以改變約束方程,獲得不同變形方式下的動力學響應。

1機翼折疊變形過程中的動力學控制方程

機翼的幾何模型如圖1 所示。該模型由機身, 內(nèi)翼和外翼3個子結(jié)構(gòu)組成,分別記為子結(jié)構(gòu)A、B、C。機翼折疊運動的瞬態(tài)響應,可以看作是剛體運動和彈性變形的疊加。而浮動坐標系法就是將柔性體的運動分解為剛性運動和相對浮動坐標系的彈性變形[8]。另外,對于機翼這樣的復雜結(jié)構(gòu),采用有限元離散方法所得的自由度龐大,不利于動力學方程的求解。而子結(jié)構(gòu)模態(tài)綜合法是對復雜結(jié)構(gòu)進行動力學建模的有效手段。因此,多體動力學中浮動坐標系法和結(jié)構(gòu)動力學中的模態(tài)綜合法的結(jié)合是解決該問題比較好的方法[6]。如圖1所示,oxyz為慣性坐標系,用于描述系統(tǒng)的運動,oAxAyAzA、oBxByBzB、oCxCyCzC分別為浮動坐標系,用于描述柔性體的彈性變形。θA、θB、θC分別為子結(jié)構(gòu)A、B、C的折疊角。

圖1　機翼的幾何示意圖以及坐標系

結(jié)合浮動坐標系法[8]以及模態(tài)綜合法[9],機翼的子結(jié)構(gòu)的動力學方程為

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1.1機翼結(jié)構(gòu)的模態(tài)綜合中的模態(tài)集選取

對于機翼結(jié)構(gòu),需要采用有限元方法對結(jié)構(gòu)進行離散,提取模態(tài)信息,創(chuàng)建廣義質(zhì)量矩陣中柔性體彈性變形的慣性項,再根據(jù)柔性多體動力學理論建立動力學控制方程。子結(jié)構(gòu)模態(tài)綜合將復雜結(jié)構(gòu)劃分為若干子結(jié)構(gòu),建立子結(jié)構(gòu)的模態(tài)集及模態(tài)坐標,利用界面的協(xié)調(diào)條件將各個子結(jié)構(gòu)組裝得到整體結(jié)構(gòu)動力學方程。此時所選取的模態(tài)集直接決定著柔性體變形量的準確性。因此,這里詳細給出模態(tài)集的確定。采用有限元離散化形成的無阻尼動力學方程為

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(5)

式中,φn為固定界面的主模態(tài)矩陣,φc為約束模態(tài)矩陣。此時模態(tài)矩陣包含子結(jié)構(gòu)的6個剛體模態(tài),不能直接應用于機翼折疊變形的瞬態(tài)響應分析。因此,需要進行矩陣變換。為了求得變換矩陣,對下列公式進行特征值求解

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此時剛體模態(tài)就會顯式地表達出來,剔除這些剛體模態(tài),便可以建立機翼的結(jié)構(gòu)動力學方程。在工程中,阻尼矩陣可以通過模態(tài)阻尼比給出。此時,引入阻尼矩陣,機翼子結(jié)構(gòu)結(jié)構(gòu)動力學方程為

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1.2機翼折疊變形過程中的時變氣動載荷

采用偶極子法可以獲得頻域下的非定常氣動力,通過有理近似可以導出任意運動情況下的非定常氣動力。因此給時域非定常氣動力的模擬提供了思路。作為機翼折疊變形中的氣動載荷初步研究,本文采用偶極子網(wǎng)格法獲得了機翼的氣動力。根據(jù)虛功原理,可以得到作用在結(jié)構(gòu)網(wǎng)格節(jié)點的等效力

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1.3機翼折疊變形的動力學控制方程

引入作用在結(jié)構(gòu)網(wǎng)格節(jié)點的等效力

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此時Q為頻域氣動力。為了進行機翼折疊變形時的瞬態(tài)響應分析,這里采用最小狀態(tài)法進行頻域氣動力的有理函數(shù)近似獲得時域內(nèi)的氣動力。此時有

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式中,A0、A1、A2、Ds和Es,均為最小狀態(tài)法近似中的未知矩陣,可以通過最小二乘法求得,Rs為氣動力滯后矩陣。qa為氣動力狀態(tài)變量。

對于機翼的折疊變形運動,存在著運動約束和驅(qū)動約束,可以表達成如下形式

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式中

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式中,M=blockdiag(MA,MB,MC),D=blockdiag(DA,DB,DC),K=blockdiag(KA,KB,KC)?？梢钥闯鲈搫恿W控制方程是微分代數(shù)方程,對于該方程可以采用約束違約穩(wěn)定法來求解[8]。將約束方程對時間進行2次求導,可以得到約束加速度方程,此時可以得到

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2機翼折疊變形中的瞬態(tài)動力學響應分析

為了預測機翼折疊變形的動力學響應,令折疊角θB的變化符合以下規(guī)律

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式中,120°代表機翼折疊變形結(jié)束時,子結(jié)構(gòu)B所要達到的角度。Ts代表變形結(jié)束時所需要的時間。

本文將各個子結(jié)構(gòu)簡化為等厚度的鋁板,在MSC.NASTRAN中被離散成四節(jié)點的CQUAD4單元,其單元屬性為PSHELL,這樣單元的每個節(jié)點有6個自由度,即3個平動自由度ux、uy、uz,以及3個轉(zhuǎn)動自由度θx、θy、θz。機翼的有限元模型如圖2所示。通過DMAP語言來獲得子結(jié)構(gòu)的質(zhì)量矩陣和剛度矩陣,對于每個子結(jié)構(gòu)均保留6階模態(tài),每階所對應的模態(tài)阻尼比為0.01。因此最終得到機翼折疊變形的動力學控制方程,即公式(14)有46個方程,采用約束違約穩(wěn)定法解進行求解,本文中取α=5,β=10,整個程序的編制均在MATLAB中完成。

圖2　機翼的有限元模型

2.1柔性機翼在重力作用下瞬態(tài)響應

首先,不考慮氣動力的作用。即在公式(14)中忽略與氣動力有關(guān)的項。翼尖法向位移響應如圖3所示。

圖3　翼尖法向位移響應

當Ts=2 s,Ts=6 s時,分別在1.27 s、3.81 s附近,θB=90°,此時子結(jié)構(gòu)B與子結(jié)構(gòu)A與C垂直,翼尖法向位移達到最大值。明顯地,柔性對翼尖法向位移響應有較大影響。在整個變形中,翼尖的位移衰減收斂,并且變形結(jié)束時,位移穩(wěn)定值要比剛性機翼時的位移穩(wěn)定值要小。由于在公式(14)中引入了結(jié)構(gòu)阻尼,位移響應呈收斂的趨勢。Ts越大,意味著變形越緩慢,翼尖的法向位移變化也較緩慢。

對于剛性機翼,作用在子結(jié)構(gòu)B上合力在機翼折疊變形開始和結(jié)束時的值均等于子結(jié)構(gòu)B的重力,即4.89 N。而作用在子結(jié)構(gòu)B上的合力矩,在變形運動開始時大約為341.36 Nmm,在變形結(jié)束時保持在-157.18 Nmm。初始值和穩(wěn)定值均等于子結(jié)構(gòu)B的重力產(chǎn)生的力矩。作用在子結(jié)構(gòu)C上的合力,初值和穩(wěn)定值基本為子結(jié)構(gòu)C的重力,即11.564 N。作用在子結(jié)構(gòu)C上的力矩,其初值和穩(wěn)定值基本一樣,均為2 885 Nmm。這是因為機翼在折疊變形的過程中,子結(jié)構(gòu)C始終保持水平,所以子結(jié)構(gòu)C的重心相對于其浮動坐標系沒有很大的變化。在變形的過程中,無論是作用在子結(jié)構(gòu)B上的合力、合力矩,還是作用在子結(jié)構(gòu)C的力、力矩,均發(fā)生變化。

柔性對作用在子結(jié)構(gòu)B上的合力、合力矩,以及作用在子結(jié)構(gòu)C上的力、力矩有較大的影響。與剛性相比,作用在柔性子結(jié)構(gòu)B上的合力有較大振蕩,已經(jīng)改變了在剛性狀態(tài)下的變化趨勢,但是隨著時間的增加,合力呈收斂的趨勢。對于合力矩而言,也有一定的震蕩。作用在柔性子結(jié)構(gòu)C上的合力、合力矩有較大的振蕩,均呈衰減收斂的趨勢。重力是一種體力,柔性體重力產(chǎn)生的廣義力與彈性變形有關(guān)。所以在折疊變形時彈性變形發(fā)生變化,另外,彈性力與阻尼力也會對合力和合力矩產(chǎn)生一定的影響。

圖4　柔性機翼在重力作用下的力學響應

2.2柔性機翼在重力和氣動力作用下瞬態(tài)響應

其次,考慮在重力和氣動力同時作用下柔性機翼的瞬態(tài)響應,在公式(14)中,ρ=1.226kg/m3,M∞=0.0,分別計算了不同來流速度下的瞬態(tài)響應如圖5和圖6所示。

圖5　不同來流速度下翼尖法向位移響應

不同來流速度下翼尖法向位移響應如圖5所示。當Ts=2s時,在1.27s附近,θB=90°,翼尖法向位移達到最大值。與柔性機翼的位移響應有些類似,在不同的來流速度下翼尖的法向位移有一定的振蕩。但從局部的放大圖中可以看出,隨著來流速度的增加,折疊變形結(jié)束時的振蕩減小。這主要是由于氣動阻尼的存在,也表明氣動力有輔助折疊變形的作用。

從圖6中可以看出,在氣動力的作用下,隨著來流速度的增加,作用在子結(jié)構(gòu)B上的合力、合力矩,以及作用在子結(jié)構(gòu)C上的力、力矩均呈衰減振蕩?？紤]氣動力時,氣動力與彈性位移相關(guān),且是分布力,因此相對于重力產(chǎn)生的力矩而言,是較小的,因此與柔性機翼的結(jié)果類似。由于氣動阻尼的存在,力與力矩均有所減小。在一定的來流速度范圍內(nèi),氣動力有助于機翼的折疊變形。

圖6　柔性機翼在重力和氣動力作用下的力學響應

3結(jié)論

結(jié)合多體動力學中的浮動坐標系法與結(jié)構(gòu)動力學中模態(tài)綜合法,本文建立了機翼折疊變形過程中的動力學控制方程,該控制方程考慮了一些非線性項,如與速度二次方有關(guān)的廣義慣性力,可以用于分析機翼在緩慢變形和快速折疊變形的瞬態(tài)響應。分析了機翼柔性對瞬態(tài)響應的影響。將有理函數(shù)近似導出的折疊變形運動中的非定常氣動力近似表達式引入到動力學控制方程中,分析了柔性機翼的瞬態(tài)氣動彈性響應?？梢缘贸鲆韵陆Y(jié)論:

1) 運用浮動坐標系法與模態(tài)綜合法建立的折疊機翼動力學控制方程。該控制方程適用類似的多段機翼結(jié)構(gòu),并且可以改變約束方程,可以獲得不同變形方式下的瞬態(tài)響應;

2) 對機翼折疊變形過程越緩慢,得到的瞬態(tài)響應越平穩(wěn);對于柔性折疊機翼而言,柔性對機翼在折疊變形過程的瞬態(tài)響應影響較大;

3) 考慮氣動力時,在一定的流速范圍內(nèi),來流速度越大,在變形結(jié)束后翼尖位移響應的振蕩越小。因此氣動力在一定的程度上有助于機翼的折疊變形運動。

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收稿日期：2015-05-19

作者簡介：倪迎鴿(1987—),女，西北工業(yè)大學博士研究生,主要從事變體飛機一體化設(shè)計的研究。

中圖分類號：V271.4

文獻標志碼：A

文章編號:1000-2758(2016)03-0418-06

Transient Dynamic Response Analysis of a Wing in the Folding Motion

Ni Yingge, Hou Chi, Wan Xiaopeng, Zhao Meiying

(College of Aeronautics, Northwestern Polytechnical University, Xi′an 710072, China)

Abstract:A set of equations which govern the time evolutions of a wing in the folding motion are developed to predict the transient dynamic responses by integration the floating frame approach in multibody dynamics with component modal synthesis in structural dynamics. The developed equations are further integrated with unsteady aerodynamics in the folding motion which is obtained by rational function approximation to carry out the transient dynamic responses with time-varying aerodynamics. Results demonstrate that the transient responses are more stable in a slower folding motion. The flexible wing has a great effect on the responses. Within a certain flow velocity a greater velocity means a smaller oscillation of the tip displacement and contributes to the folding motion.

Keywords:folding wing;transient dynamic responses;rational function approximation;floating frame approach;component modal synthesis;unsteady aerodynamics; dynamics; time varying systems