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基于BiSAR制導(dǎo)的戰(zhàn)斗機(jī)最優(yōu)引導(dǎo)律及導(dǎo)彈最優(yōu)制導(dǎo)律設(shè)計(jì)

2016-07-22 11:21黃偉徐建城李俊兵吳華興
關(guān)鍵詞:導(dǎo)引頭制導(dǎo)方位

黃偉, 徐建城, 李俊兵, 吳華興

(1.西北工業(yè)大學(xué) 電子信息學(xué)院, 陜西 西安 710072; 2.空軍工程大學(xué) 航空航天工程學(xué)院, 陜西 西安 710038)

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基于BiSAR制導(dǎo)的戰(zhàn)斗機(jī)最優(yōu)引導(dǎo)律及導(dǎo)彈最優(yōu)制導(dǎo)律設(shè)計(jì)

黃偉1, 徐建城1, 李俊兵2, 吳華興2

(1.西北工業(yè)大學(xué) 電子信息學(xué)院, 陜西 西安710072; 2.空軍工程大學(xué) 航空航天工程學(xué)院, 陜西 西安710038)

摘要:針對半主動(dòng)自尋的合成孔徑雷達(dá)制導(dǎo)導(dǎo)彈發(fā)射后,戰(zhàn)斗機(jī)、導(dǎo)彈的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)如何同時(shí)滿足成像分辨率和脫靶量要求的問題,提出一種基于逆最優(yōu)控制方法的戰(zhàn)斗機(jī)引導(dǎo)律和導(dǎo)彈制導(dǎo)律。將成像分辨率對戰(zhàn)斗機(jī)及導(dǎo)彈運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的雙邊約束,轉(zhuǎn)化為對戰(zhàn)斗機(jī)目標(biāo)線角速度的單邊約束;將脫靶量轉(zhuǎn)化為對導(dǎo)彈目標(biāo)線角速度的約束,從而實(shí)現(xiàn)導(dǎo)彈運(yùn)動(dòng)的自主性;建立含有待定權(quán)值系數(shù)的性能指標(biāo)函數(shù),根據(jù)所建立的戰(zhàn)斗機(jī)引導(dǎo)系統(tǒng)和導(dǎo)彈制導(dǎo)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)調(diào)節(jié)時(shí)間確定該系數(shù),逆向得出最優(yōu)引導(dǎo)律和最優(yōu)制導(dǎo)律,仿真結(jié)果驗(yàn)證了該算法的有效性。

關(guān)鍵詞:空對面導(dǎo)彈;雙平臺合成孔徑雷達(dá);傳感器;目標(biāo);制導(dǎo)律;方位向分辨率;脫靶量;運(yùn)動(dòng)方程;約束優(yōu)化;角速度;閉環(huán)控制系統(tǒng);狀態(tài)方程;反饋控制;控制器;動(dòng)態(tài)響應(yīng)

雙平臺合成孔徑雷達(dá)(bistatic synthetic aperture radar,BiSAR)制導(dǎo)技術(shù)是先進(jìn)成像制導(dǎo)技術(shù)極為重要的發(fā)展方向,相比單平臺SAR制導(dǎo)模式,由于戰(zhàn)斗機(jī)可配置大功率發(fā)射機(jī),有效提高了導(dǎo)引頭發(fā)現(xiàn)目標(biāo)的距離,且導(dǎo)引頭在作戰(zhàn)使用過程中工作于靜默狀態(tài),隱蔽性好、抗干擾和生存能力強(qiáng)[1]。

導(dǎo)引頭的高分辨率成像是實(shí)現(xiàn)對目標(biāo)精確打擊的前提,在雙平臺同側(cè)斜視的情況下,其距離向分辨率主要由發(fā)射信號的帶寬決定,通過戰(zhàn)斗機(jī)發(fā)射大帶寬的線性調(diào)頻信號以獲得高的距離向分辨率,在技術(shù)上已不難實(shí)現(xiàn)。而方位向分辨率不僅與成像時(shí)間有關(guān),還與制導(dǎo)平臺相對目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)有關(guān)[2]。BiSAR雙平臺的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)如何在滿足導(dǎo)引頭方位向分辨率的同時(shí),有效減小脫靶量,是BiSAR制導(dǎo)技術(shù)亟待解決的問題。目前,國內(nèi)外對于SAR制導(dǎo)平臺制導(dǎo)律的研究尚處于起步階段,F(xiàn)raooq、Jeremy等[3-4]對含有成像約束條件的空地SAR導(dǎo)彈的制導(dǎo)律問題進(jìn)行了研究;謝華英、張剛、王杰等[5-7]應(yīng)用遺傳算法、SQP、Radau偽譜法對SAR制導(dǎo)平臺的飛行軌跡進(jìn)行了優(yōu)化設(shè)計(jì),以上研究成果所提出的制導(dǎo)律算法重點(diǎn)解決單基SAR的成像分辨率問題,性能指標(biāo)函數(shù)中主要包含成像約束,未涉及脫靶量約束。文獻(xiàn)[8]對BiSAR成像分辨率問題進(jìn)行了研究,但雙平臺的運(yùn)動(dòng)僅限于特定軌跡。

BiSAR雙平臺的引導(dǎo)律及制導(dǎo)律設(shè)計(jì)可描述為多約束條件下的最優(yōu)控制問題,其技術(shù)難點(diǎn)主要體現(xiàn)在:如何將成像分辨率對戰(zhàn)斗機(jī)、導(dǎo)彈運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的雙邊約束,轉(zhuǎn)化為對戰(zhàn)斗機(jī)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的單邊約束,有效減小導(dǎo)彈脫靶量;如何使所建立的引導(dǎo)及制導(dǎo)系統(tǒng)具備給定的動(dòng)態(tài)特性。基于此,本文通過分析BiSAR制導(dǎo)雙平臺運(yùn)動(dòng)狀態(tài)與方位向分辨率之間的關(guān)系,將方位向分辨率和脫靶量約束分別轉(zhuǎn)化為對戰(zhàn)斗機(jī)和導(dǎo)彈運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的約束。基于逆最優(yōu)控制,建立含有待定時(shí)變權(quán)值系數(shù)的性能指標(biāo)函數(shù),根據(jù)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)調(diào)節(jié)時(shí)間計(jì)算該系數(shù),得出最優(yōu)線性反饋控制器,使BiSAR雙平臺的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)同時(shí)滿足成像分辨率和脫靶量要求。

1聚束式BiSAR方位向分辨率分析

典型的空地半主動(dòng)SAR制導(dǎo)導(dǎo)彈發(fā)射后,戰(zhàn)斗機(jī)連續(xù)照射目標(biāo)成像區(qū)域,SAR導(dǎo)引頭根據(jù)目標(biāo)回波信號高分辨率成像。戰(zhàn)斗機(jī)發(fā)射的線性調(diào)頻信號歸一化形式為

(1)

式中,Tp為脈沖時(shí)間寬度,τ=t-nTr為脈內(nèi)時(shí)間,Tr為脈沖重復(fù)周期,n為脈沖數(shù),fc為載波頻率,γ為信號線性調(diào)頻率,rect()為矩形函數(shù)。導(dǎo)引頭接收的回波信號為[9]

(2)

式中,σn為目標(biāo)散射系數(shù),Ts為合成孔徑時(shí)間,td=R(t)/c表示回波信號時(shí)延,設(shè)雷達(dá)波長為λ,回波信號經(jīng)檢波去除高頻項(xiàng)可得[9]

(3)

式中,rect(t/Ts)e-j2πR(t)/λ項(xiàng)反映了戰(zhàn)斗機(jī)、導(dǎo)彈相對目標(biāo)運(yùn)動(dòng)的距離和史,決定了導(dǎo)引頭的方位向分辨率。為便于分析,以戰(zhàn)斗機(jī)發(fā)射導(dǎo)彈所在空間位置在地面上的投影點(diǎn)為原點(diǎn)建立地理坐標(biāo)系OXYZ,戰(zhàn)斗機(jī)和導(dǎo)彈構(gòu)成非平行軌跡、收發(fā)平臺不同速的一般雙站構(gòu)形[8],如圖1所示。

圖1 戰(zhàn)斗機(jī)、導(dǎo)彈與目標(biāo)幾何關(guān)系

(4)

假設(shè)合成孔徑時(shí)間內(nèi)Vc和VP均為常值,由(4)式可得多普勒調(diào)頻率為

(5)

(6)

方位向分辨率為[9]

(7)

(8)

(8)式建立了戰(zhàn)斗機(jī)及導(dǎo)彈運(yùn)動(dòng)參數(shù)與導(dǎo)引頭方位向分辨率之間的關(guān)系,假設(shè)導(dǎo)引頭所需方位向分辨率為ρa(bǔ)T,將(8)式中的ρa(bǔ)設(shè)定為常值ρa(bǔ)c(ρa(bǔ)c≤ρa(bǔ)T),并假設(shè)已知ωp、Vp和Vc,方位向分辨率要求可轉(zhuǎn)化為對戰(zhàn)斗機(jī)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的約束

(9)

式中,ωcT是戰(zhàn)斗機(jī)為滿足導(dǎo)引頭方位向分辨率要求所對應(yīng)的理想目標(biāo)線角速度。

2最優(yōu)引導(dǎo)律及制導(dǎo)律設(shè)計(jì)

考慮到雙平臺運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的復(fù)雜性,為簡化問題,假設(shè)制導(dǎo)過程中戰(zhàn)斗機(jī)、導(dǎo)彈和目標(biāo)均位于空間不變的方位向平面內(nèi),根據(jù)三者之間相對運(yùn)動(dòng)關(guān)系的數(shù)學(xué)模型以及制導(dǎo)過程的各項(xiàng)指標(biāo)要求,將BiSAR制導(dǎo)問題轉(zhuǎn)化為最優(yōu)控制問題,以戰(zhàn)斗機(jī)及導(dǎo)彈的目標(biāo)線法向加速度為控制量,建立含有待定系數(shù)的性能指標(biāo)函數(shù),根據(jù)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)調(diào)節(jié)時(shí)間計(jì)算該系數(shù),逆向得出最優(yōu)控制量(戰(zhàn)斗機(jī)最優(yōu)引導(dǎo)律和導(dǎo)彈最優(yōu)制導(dǎo)律),從而保證成像分辨率和有效減小脫靶量。

2.1戰(zhàn)斗機(jī)、導(dǎo)彈與目標(biāo)的相對運(yùn)動(dòng)關(guān)系建模

空地半主動(dòng)SAR制導(dǎo)導(dǎo)彈主要用于攻擊地面固定或慢速移動(dòng)的目標(biāo),由此可忽略目標(biāo)運(yùn)動(dòng)的影響,并假設(shè)戰(zhàn)斗機(jī)和導(dǎo)彈均為質(zhì)點(diǎn),在方位向平面內(nèi),戰(zhàn)斗機(jī)、導(dǎo)彈與目標(biāo)的相對運(yùn)動(dòng)關(guān)系如圖2所示。

圖2 戰(zhàn)斗機(jī)、導(dǎo)彈相對目標(biāo)運(yùn)動(dòng)關(guān)系

圖2中,以戰(zhàn)斗機(jī)發(fā)射導(dǎo)彈所在的空間位置為原點(diǎn)建立方位向平面坐標(biāo)系OXY。當(dāng)前時(shí)刻,戰(zhàn)斗機(jī)位于Oc點(diǎn),導(dǎo)彈位于Op點(diǎn),Oa為地面目標(biāo)點(diǎn),θc與εc分別為戰(zhàn)斗機(jī)偏航角及目標(biāo)線角,θp與εp分別為導(dǎo)彈偏航角及目標(biāo)線角。將戰(zhàn)斗機(jī)速度矢量Vc投影到目標(biāo)線OcOa及其法線上,可得

(10)

(11)

(12)

上式即為戰(zhàn)斗機(jī)與導(dǎo)彈相對目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程,jc和jp分別為戰(zhàn)斗機(jī)及導(dǎo)彈在方位向平面的目標(biāo)線法向加速度。

2.2引導(dǎo)律和制導(dǎo)律算法的建立

假設(shè)方位向平面內(nèi)所有量測都準(zhǔn)確、理想,控制量僅為戰(zhàn)斗機(jī)和導(dǎo)彈在方位向平面的目標(biāo)線法向加速度。根據(jù)(12)式可得狀態(tài)方程標(biāo)準(zhǔn)形式

(13)

式中

建立性能指標(biāo)函數(shù)基于如下考慮:①為滿足導(dǎo)引頭方位向分辨率要求,制導(dǎo)過程中戰(zhàn)斗機(jī)實(shí)際目標(biāo)線角速度ωc應(yīng)趨近于(9)式表示的理想目標(biāo)線角速度ωcT;②為有效減小導(dǎo)彈脫靶量,導(dǎo)彈實(shí)際目標(biāo)線角速度ωp應(yīng)趨于零[10];③控制過程的經(jīng)濟(jì)性。由此,建立二次型性能指標(biāo)函數(shù)

(14)

式中

Q(t)和R(t)均為待定權(quán)值系數(shù)矩陣。不難證明,(13)式所表示的系統(tǒng)狀態(tài)方程是能控的,根據(jù)最優(yōu)控制理論,可得最優(yōu)控制量為

(15)

P(t)滿足黎卡提方程及邊值條件

(16)

考慮到結(jié)束控制時(shí)刻tk難以準(zhǔn)確估計(jì)以及黎卡提方程求解的復(fù)雜性,有關(guān)學(xué)者在進(jìn)行大量的裝備驗(yàn)證之后,在文獻(xiàn)[11]中指出:由于導(dǎo)彈與目標(biāo)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的劇烈變化,制導(dǎo)過程的每一時(shí)刻t都可能對應(yīng)結(jié)束時(shí)刻tk,即t→tk,在引導(dǎo)律或制導(dǎo)律設(shè)計(jì)過程中,可直接應(yīng)用P(t)的穩(wěn)態(tài)解[11]

(17)

由(9)式、(13)~ (17)式可得含有待定系數(shù)的最優(yōu)控制量分別為

(18)

(19)

2.3待定系數(shù)的計(jì)算

2.3.1系數(shù)q22/k22的計(jì)算

設(shè)Rp0和Rpk分別為彈目初始距離和結(jié)束控制時(shí)刻距離,令λ1=q22/k22。假設(shè)導(dǎo)彈自動(dòng)駕駛儀無遲滯的響應(yīng)jp,將(19)式代入(13)式,可得導(dǎo)彈閉環(huán)制導(dǎo)系統(tǒng)狀態(tài)方程為

(20)

(21)

由上式進(jìn)一步推導(dǎo)可得

(22)

(23)

(24)

由于制導(dǎo)初始距離Rp0遠(yuǎn)大于結(jié)束距離Rpk,實(shí)際應(yīng)用過程中(24)式可簡化為經(jīng)典的比例導(dǎo)引算法式j(luò)p=NpVpmωp,根據(jù)作戰(zhàn)使用的具體要求可調(diào)整比例系數(shù)Np,并滿足jp≤jpmax的限制條件,jpmax為導(dǎo)彈最大目標(biāo)線法向加速度。

2.3.2系數(shù)q11/k11的計(jì)算

(25)

(25)式所表示的一階微分方程的解為

(26)

對(26)式進(jìn)一步推導(dǎo)可得

(27)

(28)

(29)

(30)

比例系數(shù)Nc的取值應(yīng)著重考慮作戰(zhàn)使用的具體要求并滿足jc≤jcmax的限制條件,jcmax為戰(zhàn)斗機(jī)最大目標(biāo)線法向加速度。

通過上述分析知,本文所建立的控制算法是成像分辨率、制導(dǎo)準(zhǔn)確性、控制經(jīng)濟(jì)性及動(dòng)態(tài)性能綜合最優(yōu)的。應(yīng)該注意到,比例系數(shù)Np和Nc的取值不僅影響控制量系數(shù),而且影響性能指標(biāo)函數(shù)的權(quán)值系數(shù),其原因在于所建立的性能指標(biāo)函數(shù)本身含有待定系數(shù),根據(jù)條件確定待定系數(shù)后,控制量和性能指標(biāo)函數(shù)隨之確定。也就是說,根據(jù)作戰(zhàn)使用的具體要求調(diào)整比例系數(shù)不會(huì)影響所得到控制量的最優(yōu)性,從而體現(xiàn)出該控制算法的適用性。

3仿真實(shí)例

仿真過程中,假設(shè)戰(zhàn)斗機(jī)、導(dǎo)彈和目標(biāo)均為質(zhì)點(diǎn),戰(zhàn)斗機(jī)和導(dǎo)彈飛行控制系統(tǒng)無遲滯的響應(yīng)(24)式和(30)式給出的指令加速度,由于戰(zhàn)斗機(jī)比例系數(shù)Nc的取值決定戰(zhàn)斗機(jī)趨近于理想運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的快慢程度,與導(dǎo)彈運(yùn)動(dòng)狀態(tài)無關(guān),所以為說明Nc對方位向分辨率的影響,選取Nc=4和Nc=15進(jìn)行對比仿真驗(yàn)證。

在圖2所示的方位向平面坐標(biāo)系中,戰(zhàn)斗機(jī)與導(dǎo)彈的初始位置坐標(biāo)均為(0,0),初始速度分量均為Vx=0.2 km/s、Vy=0.6 km/s,地面目標(biāo)點(diǎn)位置坐標(biāo)為(40km,40km),其他參數(shù)如表1所示。

表1 仿真參數(shù)

仿真實(shí)例1:戰(zhàn)斗機(jī)比例系數(shù)Nc=4(簡稱N4)。仿真結(jié)果如圖3所示。

圖3 N4控制算法仿真結(jié)果

圖3a)給出了當(dāng)Nc=4時(shí),戰(zhàn)斗機(jī)與導(dǎo)彈在方位向平面的運(yùn)動(dòng)軌跡,仿真初始時(shí)刻戰(zhàn)斗機(jī)位于坐標(biāo)原點(diǎn)并發(fā)射導(dǎo)彈,制導(dǎo)過程中戰(zhàn)斗機(jī)為滿足導(dǎo)引頭成像分辨率要求,運(yùn)動(dòng)軌跡較導(dǎo)彈彎曲。圖3b)對應(yīng)制導(dǎo)過程中戰(zhàn)斗機(jī)與導(dǎo)彈的目標(biāo)線法向過載,由圖可知,戰(zhàn)斗機(jī)和導(dǎo)彈的過載均在容許范圍內(nèi),導(dǎo)彈過載隨制導(dǎo)時(shí)間不斷減小,這將有利于制導(dǎo)過程中成像平臺的穩(wěn)定。

圖3c)給出了戰(zhàn)斗機(jī)與導(dǎo)彈的目標(biāo)線角速度變化情況。由圖可知,導(dǎo)彈目標(biāo)線角速度不斷減小,而戰(zhàn)斗機(jī)目標(biāo)線角速度不斷增大,制導(dǎo)結(jié)束時(shí)刻ωp=0.001rad/s,經(jīng)計(jì)算可得理想脫靶量為h=0.21m,滿足導(dǎo)彈脫靶量要求。圖3d)給出了實(shí)際方位向分辨率ρa(bǔ)的變化情況,ρa(bǔ)隨制導(dǎo)時(shí)間不斷增大,在制導(dǎo)末段ρa(bǔ)>ρa(bǔ)T,說明當(dāng)Nc=4時(shí)戰(zhàn)斗機(jī)的引導(dǎo)律不滿足導(dǎo)引頭的分辨率要求。

仿真實(shí)例2:戰(zhàn)斗機(jī)比例引導(dǎo)系數(shù)Nc=15(簡稱N15)。仿真結(jié)果如圖4所示。

圖4 N15控制算法仿真結(jié)果

圖4a)和圖4b)分別給出了當(dāng)Nc=15時(shí),戰(zhàn)斗機(jī)與導(dǎo)彈的運(yùn)動(dòng)軌跡及過載變化情況,對比N4的仿真結(jié)果,戰(zhàn)斗機(jī)N15軌跡相比N4彎曲,過載量也較大,N15結(jié)束制導(dǎo)時(shí)刻戰(zhàn)斗機(jī)與目標(biāo)的距離相對較小。圖4c)和圖4d)分別給出了戰(zhàn)斗機(jī)與導(dǎo)彈的目標(biāo)線角速度和實(shí)際方位向分辨率ρa(bǔ)的變化情況。由圖4d)可知,整個(gè)制導(dǎo)過程中ρa(bǔ)<ρa(bǔ)T,滿足導(dǎo)引頭方位向分辨率要求。

分析N4和N15情況下的仿真結(jié)果可知,由于加大了戰(zhàn)斗機(jī)的引導(dǎo)比例系數(shù),使實(shí)際方位向分辨率ρa(bǔ)趨近于設(shè)定值ρa(bǔ)c,由于ρa(bǔ)c的取值比導(dǎo)引頭所需分辨率ρa(bǔ)T小,從而保證了制導(dǎo)過程中ρa(bǔ)<ρa(bǔ)T。但應(yīng)注意到,增大系數(shù)Nc將導(dǎo)致末制導(dǎo)階段戰(zhàn)斗機(jī)與目標(biāo)距離相對較小,戰(zhàn)斗機(jī)極易遭受敵防空火力的打擊,作戰(zhàn)過程中應(yīng)根據(jù)導(dǎo)引頭所需分辨率和實(shí)際作戰(zhàn)環(huán)境確定Nc的取值。

4結(jié)論

本文提出的算法有效解決了對于空地BiSAR制導(dǎo)平臺而言,較為特殊的軌跡控制問題,研究總結(jié)如下:①算法綜合考慮了制導(dǎo)過程中成像分辨率和脫靶量要求,經(jīng)仿真驗(yàn)證,滿足各項(xiàng)指標(biāo)要求;②導(dǎo)彈制導(dǎo)律算法的建立僅基于脫靶量要求,與成像分辨率及戰(zhàn)斗機(jī)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)無關(guān),體現(xiàn)了導(dǎo)彈運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的自主性,提高了攻擊目標(biāo)的準(zhǔn)確性;③戰(zhàn)斗機(jī)引導(dǎo)律比例系數(shù)可根據(jù)導(dǎo)引頭成像分辨率要求及實(shí)際戰(zhàn)場環(huán)境調(diào)整,體現(xiàn)了該算法的適用性。

為實(shí)現(xiàn)該算法,戰(zhàn)斗機(jī)和導(dǎo)彈在硬件上應(yīng)具備數(shù)據(jù)鏈功能,導(dǎo)彈實(shí)時(shí)將運(yùn)動(dòng)參數(shù)回傳至戰(zhàn)斗機(jī)。如果攻擊大型目標(biāo),對目標(biāo)方位向分辨率要求較低時(shí),可預(yù)先估計(jì)導(dǎo)彈的運(yùn)動(dòng)參數(shù),此時(shí)戰(zhàn)斗機(jī)可以按照預(yù)先規(guī)劃的航線飛行。

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收稿日期:2015-10-27

基金項(xiàng)目:國家自然科學(xué)基金 (61472441)資助

作者簡介:黃偉(1980—),西北工業(yè)大學(xué)博士研究生,主要從事SAR成像制導(dǎo)技術(shù)的研究。

中圖分類號:V249;TJ765.3

文獻(xiàn)標(biāo)志碼:A

文章編號:1000-2758(2016)03-0367-07

Design of Optimal Guidance Laws of Fighter and Missile Based on BiSAR Guidance

Huang Wei1, Xu Jiancheng1, Li Junbing2, Wu Huaxing2

1.School of Electronics Information,Northwestern Polytechnic University,Xi'an 710072,China2.Aeronautics and Astronautics Engineering College,Air Force Engineering University,Xi'an 710038,China

Abstract:To meet the requirements of resolution at the azimuth and miss distance for motion states of Bi-SAR platforms which indicates the fighter aircraft and the semi-active homing SAR-guided missile after launch, guidance laws for the aircraft and missile based on inverse control algorithm are proposed. Two-sided constraints due to resolution for their motion states is converted to one-sided constraint for the aircraft's angular velocity of line of sight, and miss distance is considered as only constraint for the missile's angular velocity of line of sight to implement its autonomy of motion. Performance index function containing undetermined coefficients is build and the coefficients are calculated according to dynamic tuning time for both guiding systems, and their optimal guidance laws are derived inversely. Simulation results demonstrate the validity of the algorithm.

Keywords:air to surface missiles; bistatic synthetic aperture radar; sensors; targets; guidance law; resolution at the azimuth; miss distance; equations of motion; constrained optimization; angular velocity; closed loop control systems; equations of state; feedback control; controllers; dynamic response

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