王志福，劉佳瑞

(渤海大學(xué) 數(shù)理學(xué)院，遼寧 錦州 121013)

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綜合c-K條件嶺估計(jì)及其優(yōu)良性

王志福*，劉佳瑞

(渤海大學(xué) 數(shù)理學(xué)院，遼寧 錦州 121013)

摘要：對(duì)齊次等式約束的線性回歸模型回歸系數(shù)提出一個(gè)新的有偏估計(jì)-綜合c-K條件嶺估計(jì).研究綜合c-K條件嶺估計(jì)的性質(zhì)，并證明存在一定條件，使其在均方誤差意義下優(yōu)于約束最小二乘估計(jì)、條件嶺估計(jì)、廣義條件嶺估計(jì)以及綜合c-K條件嶺估計(jì).

關(guān)鍵詞：綜合c-K條件嶺估計(jì)；線性回歸模型；約束最小二乘估計(jì)；均方誤差

0引言

下面為帶有齊次線性等式約束的線性回歸模型

(1)

因?yàn)楫?dāng)設(shè)計(jì)矩陣X存在復(fù)共線性時(shí)，RLSE的均方誤差會(huì)變得很大，性質(zhì)很不理想.為改進(jìn)RLSE，降低其均方誤差，許多學(xué)者相繼提出多種帶齊次等式約束的有偏估計(jì)，并都得以證明這些估計(jì)是可容許估計(jì)且在均方誤差意義下改進(jìn)了RLSE〔2-5〕.宋永霞對(duì)無(wú)約束的線性回歸模型

Y=Xβ+e,E(e)=0,Cov(e)=σ2In

(2)

1綜合c-K條件嶺估計(jì)定義及性質(zhì)

定義1齊次等式約束線性回歸模型回歸系數(shù)的綜合c-K條件嶺估計(jì)為

HS-1,S=X′X.

引理1〔7〕在模型(1)下，W=W′,WSW=WSW′=W,其中

W=S-1-S-1H′(HS-1H′)-1HS-1

引理2〔7〕在模型(1)下，W為半正定矩陣，且W的秩為p-q.

引理4〔9〕在模型(1)下，令α=Q′β=(α1，α2，…，αp)，則αp-q+1=αp-q+2=…=αp=0.

證明由于W為對(duì)稱矩陣，且F(K)=diag(f1(k1),f2(k2),…fp(kp))為對(duì)稱矩陣，故(QF(K)Q′W+cI)-1為對(duì)稱矩陣，且(QF(K)Q′W+cI)-1W=W(QF(K)Q′W+cI)-1，則有

Q′W(QF(K)Q′W+cI)-1X′Y=Q′WQQ′(QF(K)Q′W+cI)-1X′Y=

ΛQ′(QF(K)Q′W+cI)-1X′Y

由Λ的定義可知性質(zhì)4成立.

引入模型(1)的典則形式

(3)

其中Z=XQ，α=Q′β，L=HQ，從而Z′Z=Q′X′XQ=Q′SQ.故α的約束最小二乘估計(jì)(RLSE)為

Q′[S-1-S-1H′(HS-1H′)-1HS-1]-1QZ′Y=Q′WQZ′Y=ΛZ′Y

σ2(QF(K)Q′W+cI)-1[(QF(K)ΛQ′+cI)W(QF(K)ΛQ′W+cI)-W](QF(K)Q′W+cI)-1=σ2(QF(K)Q′W+cI)-1[(QF(K)ΛQ′)W(QF(K)ΛQ′)+2cWQF(K)ΛQ′+(c2-1)W]×(QF(K)Q′W+cI)-1

因?yàn)镼是正交矩陣，W≥0且fi(ki)≥0，則

(QF(K)ΛQ′)W(QF(K)ΛQ′)+2cWQF(K)ΛQ′+(c2-1)W≥0

2綜合c-K條件嶺估計(jì)的優(yōu)良性

σ2tr(F(K)Λ+cI)-1Λ(F(K)Λ+cI)-1+‖[(F(K)Λ+cI)-1-I]α‖2=

根據(jù)以上證明，可以得出以下推論.

參考文獻(xiàn)：

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〔3〕栗麗,趙偉.王志福.在解決多重共線性問(wèn)題上嶺回歸法比LS法的優(yōu)越性〔J〕.渤海大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2006,27(2): 124-126.

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The integrated c-K conditional ridge estimation and superiority

WANG Zhi-fu，LIU Jia-rui

(College of Mathematics and Physics，Bohai University，Jinzhou 121013，China)

Abstract：A new biased estimation of regression coefficient in a regression model with homogeneous equality constraints,the integrated c-K conditional ridge estimation,is proposed.The properties of the Integrated c-K conditional ridge estimation are studied,and under some conditions,it is proved that it′s better than the constrained least square estimation,the conditional ridge estimation,the generalized conditional ridge estimation and the integrated c-K conditional ridge estimation in the sense of the mean square error.

Key words：integrated c-K conditional ridge estimation; regression model; restricted least squares estimation; mean squares error

收稿日期：2015-08-10.

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(No:11671070).

作者簡(jiǎn)介：王志福(1960-),男,教授,主要從事應(yīng)用概率與統(tǒng)計(jì)方面的研究.

通訊作者：liujiarui_169@163.com.

中圖分類號(hào)：O212.2

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào)：1673-0569(2016)02-0097-04