叢玉華，于梅菊，殷　爍

(通化師范學(xué)院 數(shù)學(xué)學(xué)院，吉林 通化 134002)

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地方高校轉(zhuǎn)型趨勢下概率論與數(shù)理統(tǒng)計課程教學(xué)改革探索與實踐*1

叢玉華，于梅菊，殷爍

(通化師范學(xué)院 數(shù)學(xué)學(xué)院，吉林 通化 134002)

摘要:文章在地方高校轉(zhuǎn)型的新形勢下，剖析了概率論與數(shù)理統(tǒng)計課程在應(yīng)用型人才培養(yǎng)目標中的地位和作用，構(gòu)建了合理的課程內(nèi)容體系，結(jié)合豐富的教學(xué)實例，提出了類比教學(xué)、案例教學(xué)、問題式教學(xué)、翻轉(zhuǎn)教學(xué)、探究式教學(xué)、多媒體輔助教學(xué)等多種教學(xué)改革方法，為了突出應(yīng)用型人才的培養(yǎng)，克服教學(xué)內(nèi)容的局限性，提出了在教學(xué)過程中引入新的科學(xué)研究成果的幾點思考.

關(guān)鍵詞:地方高校轉(zhuǎn)型；概率論與數(shù)理統(tǒng)計；教學(xué)改革

黨的十八大報告提出要加快發(fā)展現(xiàn)代職業(yè)教育，推動高等教育內(nèi)涵式發(fā)展．十八屆三中全會提出，要深化教育領(lǐng)域綜合改革，加快現(xiàn)代職業(yè)教育體系建設(shè)，深化產(chǎn)教融合、校企合作，培養(yǎng)高素質(zhì)勞動者和技能型人才．2014年，國務(wù)院發(fā)布了《關(guān)于加快發(fā)展現(xiàn)代職業(yè)技術(shù)教育的決定》也進一步指出采取試點推動和引領(lǐng)示范等方式，引導(dǎo)一批本科院校向應(yīng)用技術(shù)型高校轉(zhuǎn)型，重點舉辦本科職業(yè)教育．在這種地方高校的辦學(xué)定位和培養(yǎng)目標轉(zhuǎn)換的新形勢下，概率論與數(shù)理統(tǒng)計課程作為一門應(yīng)用型的課程，如何能夠抓住機遇，突出應(yīng)用技術(shù)型人才培養(yǎng)的目標，探索新的教學(xué)模式，是目前值得關(guān)注的問題．

1明確地位和作用，建立合理的課程內(nèi)容體系

1.1概率論與數(shù)理統(tǒng)計課程在學(xué)校人才培養(yǎng)目標中的地位和作用

概率論與數(shù)理統(tǒng)計是研究隨機現(xiàn)象統(tǒng)計規(guī)律的數(shù)學(xué)學(xué)科，是與實際聯(lián)系密切，應(yīng)用性較強的一門數(shù)學(xué)課程，它在統(tǒng)計分析、金融決策、保險精算和經(jīng)濟管理等領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用，特別是隨著統(tǒng)計軟件的普及，使其應(yīng)用已經(jīng)涵蓋到社會生活的方方面面，它是目前數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)大學(xué)本科階段乃至其他理工類專業(yè)的唯一一門隨機數(shù)學(xué)的必修課．由于其應(yīng)用的普遍性，為了突出學(xué)校應(yīng)用型人才的培養(yǎng)目標，該課程的教學(xué)目的是使學(xué)生初步掌握處理隨機現(xiàn)象的基本理論和基本方法，培養(yǎng)學(xué)生利用所學(xué)的概率統(tǒng)計方法分析和解決經(jīng)濟活動和實踐中出現(xiàn)的隨機問題，通過輔助開設(shè)統(tǒng)計軟件的實驗課，著重加強學(xué)生實踐應(yīng)用型能力的培養(yǎng)．

1.2建立合理的課程內(nèi)容體系

地方高校承擔著為所在區(qū)域經(jīng)濟社會發(fā)展培養(yǎng)高素質(zhì)的應(yīng)用型人才，提供教育、科技和文化支撐的重要職能．因此學(xué)校人才培養(yǎng)的目標一定要體現(xiàn)地方特色，立足于服務(wù)區(qū)域經(jīng)濟和當?shù)厣鐣陌l(fā)展．在地方高校轉(zhuǎn)型的新形勢下，我校進一步明確了人才培養(yǎng)的目標：立足于長白山區(qū)域社會，面向吉林，輻射全國，為基礎(chǔ)教育、地方經(jīng)濟建設(shè)和社會發(fā)展服務(wù)．為了適應(yīng)學(xué)校人才培養(yǎng)目標的調(diào)整，突出應(yīng)用技術(shù)型人才的培養(yǎng)，數(shù)學(xué)專業(yè)的概率論與數(shù)理統(tǒng)計Ⅱ課程從限選課變?yōu)槟壳暗谋匦拚n、學(xué)位課；很多非數(shù)學(xué)專業(yè)增加了學(xué)時，2014年物理學(xué)專業(yè)、制藥與食品專業(yè)，2015年數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)這門課分別增加了16學(xué)時．根據(jù)學(xué)時及學(xué)生解決實際問題的需要，在原有基礎(chǔ)上增加教學(xué)內(nèi)容，數(shù)學(xué)專業(yè)增加了次序統(tǒng)計量，非參數(shù)假設(shè)檢驗、多因子方差分析、多元回歸分析、Excel在統(tǒng)計分析中的應(yīng)用等內(nèi)容；物理學(xué)專業(yè)、制藥與食品專業(yè)增加了估計與檢驗等內(nèi)容.同時，學(xué)院開設(shè)了概率論與數(shù)理統(tǒng)計通識公選課.

2教學(xué)方法和手段的改革

地方高校中很多專業(yè)開設(shè)概率論與數(shù)理統(tǒng)計這門課程，這門課程的內(nèi)容較多，章節(jié)之間密切聯(lián)系，各專業(yè)設(shè)定的學(xué)時不同，講授內(nèi)容的深度、廣度也不同，為了提高教學(xué)效果，就需要打破傳統(tǒng)的教學(xué)模式，根據(jù)不同的內(nèi)容設(shè)置合理的教學(xué)方法與使用不同的教學(xué)手段.讓學(xué)生既掌握知識又能鍛煉思維能力，進而提高分析問題、解決問題的能力、培養(yǎng)創(chuàng)新能力.課程組在教學(xué)中針對不同內(nèi)容主要采用了類比教學(xué)、案例教學(xué)、問題式教學(xué)、翻轉(zhuǎn)教學(xué)、探究式教學(xué)、多媒體輔助教學(xué).

2.1類比教學(xué)

“類比作為一種推理形式,在數(shù)學(xué)的發(fā)展中有著重要作用,恰當?shù)剡\用類比可以有效地培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、解決問題的能力.而有意識地將類比思想運用到課堂教學(xué)中去,能培養(yǎng)學(xué)生自覺運用類比方法去探索、發(fā)現(xiàn),進而獲取新知識,提高數(shù)學(xué)的創(chuàng)新能力”.

數(shù)學(xué)家開普勒說:“我珍視類比勝于任何別的東西，它是我最可信賴的教師”．拉普拉斯也曾說:“甚至在數(shù)學(xué)里，發(fā)現(xiàn)真理的主要工具也是歸納和類比”．因此，在教學(xué)過程中恰當運用類比方法于概念理解、定理的證明、問題求解，對提高學(xué)生學(xué)習效率具有重要意義．

在概率論與數(shù)理統(tǒng)計課程教學(xué)中，根據(jù)章節(jié)的內(nèi)容，有多處適合類比教學(xué).例如，書中用離散型隨機變量去近似一個連續(xù)型隨機變量．通常稱“把連續(xù)的問題離散化”.通過離散化，可以把離散場合的許多概念和結(jié)論推廣到連續(xù)的場合．學(xué)習一維離散型與連續(xù)型隨機變量時，發(fā)現(xiàn)要把離散推廣到連續(xù)，相應(yīng)地要把對離散型隨機變量分布列pi求和變成對連續(xù)型隨機變量密度函數(shù)p(x)求積分．在離散型隨機變量的基礎(chǔ)上再研究連續(xù)型就容易得多．由此，把離散型和連續(xù)型隨機變量的有關(guān)概念和計算式進行類比是很有意義的.如表1所示．

表1　一維離散型與連續(xù)型隨機變量的類比

定理1若ξ是連續(xù)型隨機變量，密度函數(shù)為p(x)．又f(x)是實變量x的函數(shù)且

則有

類比兩個離散型隨機變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望可以相應(yīng)得到兩個連續(xù)型隨機變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望

再例如，連續(xù)型隨機變量數(shù)學(xué)期望性質(zhì)E(ξ+η)=Eξ+Eη的證明，前面給出了離散型隨機變量的數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)E(ξ+η)=Eξ+Eη的證明.根據(jù)二維離散型與連續(xù)型隨機變量的元素類比表2，由離散型的證明過程，容易給出連續(xù)情況的證明.

表2　二維離散型與連續(xù)型隨機變量的類比

這樣可以通過類比給出結(jié)論的知識點還有很多，例如：一維、二維、 維連續(xù)型隨機變量的定義；邊際分布列與邊際分布密度的形式等等.進而引導(dǎo)學(xué)生“觸類旁通”，猜結(jié)論，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力.

2.2案例教學(xué)

案例教學(xué)有很多優(yōu)點，首先，由于案例來源于實際，所以實踐性強.其次選取恰當?shù)陌咐梢约ぐl(fā)學(xué)生的學(xué)習熱情，引起學(xué)生的探知欲. 同時深刻理解理論在實際中是如何應(yīng)用的，有助于提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力.例如，講大數(shù)定律時選用數(shù)學(xué)模型教材中的案例“報童的策略”：

“報童每天清晨從報社購進報紙零售，晚上將沒有賣掉的報紙退回．設(shè)報紙每份的購進購價為b，零售價為a，退回價為c，應(yīng)該自然地假設(shè)為a>b>c，這就是說，報童售出一份報紙賺a―b，退回一份賠b―c，報童每天如果購進的報紙?zhí)?，不夠賣的，會少賺錢；如果購進太多，賣不完，將要賠錢．請你為報童籌劃一下，他應(yīng)如何確定每天購進報紙的數(shù)量，以獲得最大的收入”．

這是一個非常實際的問題，因為需求量是隨機變量，所以每天的收益也是隨機變量，如何求收益的最大值？若以一段時間為期應(yīng)該求平均每天收益最大，而這個平均值應(yīng)該穩(wěn)定于一天收益的數(shù)學(xué)期望，這時我們求當n為多少時，收益期望取最大值就可以了.為什么呢？我們引入今天要學(xué)的大數(shù)定律來說明原因.定理講完后將這一問題利用實際數(shù)據(jù)圓滿解決.

現(xiàn)在兼職或以后準備做營銷的同學(xué)很多，涉及到利益話題，這是一個很多人感興趣的問題．大大地提高了同學(xué)的學(xué)習熱情，聽課效果也會提升.在講方差分析、回歸分析等內(nèi)容時都可以采用案例教學(xué).

案例教學(xué)法課前要先選擇案例．多年的教學(xué)經(jīng)驗告訴我們，選擇案例既要典型又要貼近學(xué)生生活實際．討論案例是案例教學(xué)過程的中心環(huán)節(jié)，教師應(yīng)設(shè)法調(diào)動學(xué)生的主動性，引導(dǎo)學(xué)生圍繞案例展開討論，促使學(xué)生綜合地運用所學(xué)知識主動發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題，從而提高教學(xué)效果．

案例教學(xué)對教師提出了更高的要求，教師必須透徹理解案例所涉及的焦點問題，同時還必須把握問題所涉及的一系列理論基礎(chǔ)，并由此得出結(jié)論．

2.3問題式教學(xué)

問題式教學(xué)就是在課堂上提出問題，啟發(fā)、激勵學(xué)生去“疑”去“問”，教學(xué)中以提出問題、分析問題、解決問題為線索，并把這一主線貫穿整個教學(xué)過程．目的在于掌握知識的同時培養(yǎng)學(xué)生的分析問題、解決問題的能力.例如，我們講事件的獨立性定義時，先給出了兩個事件的獨立性定義：若P(AB)=P(A)P(B)，則A,B獨立.提出問題：如何定義n(n≥3)個事件的獨立性呢？因為3是多之首，我們先考慮3個的情況，首先提出3個事件獨立應(yīng)該滿足的條件，即兩兩獨立且P(ABC)=P(A)P(B)P(C)，接著引導(dǎo)學(xué)生提出猜想：能不能由A,B,C兩兩相互獨立，即P(AB)=P(A)P(B)，P(BC)=P(B)P(C)，P(AC)=P(A)P(C)，推出P(ABC)=P(A)P(B)P(C).或者由A,B,C 兩兩相互獨立，推出P(ABC)=P(A)P(B)P(C)，通過引導(dǎo)同學(xué)列舉反例說明上述猜測都不成立，因此3個事件的獨立性應(yīng)該同時滿足上述的4個等式.這樣同學(xué)對事件的獨立性定義有了深刻的認識，n(n≥3)個事件的獨立性定義也就隨之給出了.

2.4翻轉(zhuǎn)教學(xué)

在大學(xué)，課堂教學(xué)一般還是教師主講的傳統(tǒng)式教學(xué)方法，學(xué)生被動地汲取知識，目前這種方式的教學(xué)被越來越多的教學(xué)方法取代，翻轉(zhuǎn)教學(xué)是以學(xué)生為主，自主學(xué)習，培養(yǎng)認知能力的一個重要手段.根據(jù)教學(xué)內(nèi)容可以合理安排、設(shè)計翻轉(zhuǎn)教學(xué)的章節(jié).

例如，在假設(shè)檢驗的教學(xué)中，單個總體的參數(shù)假設(shè)檢驗與兩個正態(tài)總體的參數(shù)假設(shè)檢驗，右側(cè)檢驗與左側(cè)檢驗，另一個參數(shù)已知與另一個參數(shù)未知，在分析問題時是同一種模式，教師可以講授一種情況，另一種情況布置給學(xué)生，自己查閱資料，在課堂上讓學(xué)生講，讓學(xué)生一起討論，最后教師提點、小結(jié)得出結(jié)論. 既培養(yǎng)了學(xué)生自學(xué)能力，又能通過互動反應(yīng)學(xué)生的理解程度，了解學(xué)生對已學(xué)知識的掌握情況.置信區(qū)間這一節(jié)的教學(xué)同樣可以平行采用這樣的方法.特別是單側(cè)置信區(qū)間是書中沒有提到的內(nèi)容，與單側(cè)檢驗相對應(yīng)翻轉(zhuǎn)教學(xué)，可以得到“事半功倍”的效果.

2.5探究式教學(xué)

概率論與數(shù)理統(tǒng)計的教學(xué)中涉及很多概念，學(xué)生在學(xué)習中容易混淆，在教學(xué)中必須辨析清楚，例如，對立與互不相容、獨立與互不相容、隨機變量不相關(guān)與隨機變量相互獨立、依概率收斂與弱收斂等等，教學(xué)中我們讓同學(xué)推敲定義，反復(fù)舉例，舉反例，得出結(jié)論，進而加深對概念的理解．

還有我們的教學(xué)內(nèi)容中很多量是有關(guān)系的，探究它們之間的關(guān)系，可以加深對知識的認識，例如，假設(shè)檢驗中犯第一類錯誤與第二類錯誤關(guān)系，假設(shè)檢驗與置信區(qū)間的關(guān)系、置信度與置信區(qū)間的關(guān)系等等，在課堂上我們可以通過圖表，也可以通過推導(dǎo)讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)其中的關(guān)系，認清聯(lián)系所在.

例如，在講假設(shè)檢驗時我們提出問題：對于假設(shè)H0:μ=μ0,H1:μ≠μ0(1)如果在顯著性水平0.05下拒絕原假設(shè)，在0.01下結(jié)論如何？(2)在顯著性水平0.01下拒絕原假設(shè)，在0.05下結(jié)論如何？(3)在顯著性水平0.05下接受原假設(shè)，在0.01下結(jié)論如何？(4)在顯著性水平0.01下接受原假設(shè)，在0.05下結(jié)論如何？學(xué)生先討論，也可以針對具體問題得出結(jié)論，最好的方式是通過圖表得出結(jié)論.

2.6多媒體輔助教學(xué)

在概率論與數(shù)理統(tǒng)計課程教學(xué)中，涉及很多試驗，如講頻率具有穩(wěn)定性時涉及擲硬幣試驗，蒲豐投針問題時涉及投針試驗，二項分布近似正態(tài)分布時涉及高爾頓釘板試驗，正是因為對這些試驗的研究，才有了后面的統(tǒng)計概率的定義、概率的性質(zhì)、π的一種近似計算公式以及中心極限定理的特殊情形．如果只是給出試驗結(jié)果，學(xué)生聽起來比較“乏味”，因此我們在課堂上通過多媒體對于上述試驗進行模擬，由于增強了直觀性，同時可以多次變換試驗參數(shù)或試驗次數(shù)，顯示不同的結(jié)果，可以讓學(xué)生對相應(yīng)問題有更深刻的理解，同時由于直觀性強，大大地提高了學(xué)生的學(xué)習興趣及求知欲，也培養(yǎng)了學(xué)生的創(chuàng)新意識.

在假設(shè)檢驗這一章的教學(xué)中，我們發(fā)現(xiàn)書中給的提法及例題、書后習題合起來都不夠“面面俱到”,為了讓學(xué)生更細致、全面地掌握這一部分知識，我們利用課件補全這部分內(nèi)容，上課時提出并展示分析、求解過程，增大了課堂教學(xué)容量和效果，完善了知識內(nèi)容體系.

概率論與數(shù)理統(tǒng)計課程教學(xué)中，為了更清楚地說明問題，往往離不開圖、表的使用.利用多媒體展示特別是動態(tài)效果展示，更能加深學(xué)生對知識的理解和掌握.

3注重實踐成果轉(zhuǎn)化教學(xué)

3.1學(xué)生相關(guān)畢業(yè)論文的展示拓寬學(xué)生的知識結(jié)構(gòu)

書本知識具有一定的局限性，章節(jié)內(nèi)容側(cè)重于理論，書后習題側(cè)重于計算，應(yīng)用類的題目很少，即使有應(yīng)用題型也是“半成品”.為了能讓學(xué)生學(xué)以致用，將理論應(yīng)用到實踐中去，拓寬學(xué)生的知識結(jié)構(gòu).在每一章的最后一節(jié)課我們都恰當?shù)剡x取往屆畢業(yè)論文中的相關(guān)問題，例如，概率論思想在疾病中的應(yīng)用，條件數(shù)學(xué)期望的應(yīng)用，特征函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用，高考數(shù)學(xué)成績對數(shù)學(xué)系三大基礎(chǔ)課影響的統(tǒng)計分析，父母身高對子女身高影響的統(tǒng)計分析，數(shù)理統(tǒng)計在教育統(tǒng)計中的應(yīng)用等，我們同學(xué)可以利用所學(xué)知識解決的問題．這樣既能開闊學(xué)生的視野，也可以讓學(xué)生效仿提出新的論文題目．

3.2講解建模競賽相關(guān)優(yōu)秀論文優(yōu)化學(xué)生的認知結(jié)構(gòu)

每一年我們學(xué)校都組織學(xué)生參加吉林省或全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽，競賽題目涉及到概率與統(tǒng)計知識的很多，在教學(xué)中我們對往屆競賽中涉及的本章節(jié)問題，利用多媒體進行展示，引導(dǎo)學(xué)生分析和建模，有時也帶領(lǐng)學(xué)生課外小組課下討論，題目如，彩票中的數(shù)學(xué)，零件的參數(shù)設(shè)計，葡萄酒的評價，施肥效果的分析等等．最后我們展示發(fā)表的優(yōu)秀論文，提出我們模型中的失誤與不足，極大地激起了學(xué)生的學(xué)習熱情與動力，深化了學(xué)生的知識結(jié)構(gòu)，同時也培養(yǎng)了學(xué)生分析問題、解決問題的能力，增強了學(xué)生參加競賽取得優(yōu)異成績的的自信心.

3.3利用數(shù)學(xué)軟件求解、解釋相關(guān)問題，優(yōu)化了處理問題的方法或手段

概率論與數(shù)理統(tǒng)計教學(xué)中有很多問題需要借助計算機處理以達到既省時又直觀的教學(xué)效果，例如，我們講二項分布近似泊松分布，我們又講二項分布近似正態(tài)分布，在什么情況下近似程度最好？這就需要利用計算機作出曲線圖，通過參數(shù)變化顯示近似程度，進而提升了學(xué)生的認知結(jié)構(gòu)，這個通常用Matlab軟件包來解決.在方差分析、回歸分析的教學(xué)中，由于數(shù)據(jù)量太大，在方法掌握之后利用板書或計算器求解都是不現(xiàn)實的，這時可以借助 Excel、Spss等軟件解決問題.

3.4滲透學(xué)科新成果，探尋更合理更適合的教學(xué)模式

在二維離散型隨機變量的教學(xué)中，判斷兩個隨機變量是否獨立，是解決問題的第一步，離散型隨機變量相互獨立的判別方法，教材上給了兩種，一種是定義，利用聯(lián)合分布函數(shù)等于各自分布函數(shù)的乘積；一種是利用定義給出的等價公式，對于任意的xi,yj有P(X=xi,Y=yj)=P(X=xi)·P(Y=yj).對于(X,Y)取值較少的聯(lián)合分布律而言,利用等價公式判斷較容易些,但對于(X,Y)取值較多的聯(lián)合分布律而言,則計算量很大,造成了解題的繁冗;課本之外期刊上給出了另一種等價公式：

設(shè)(X,Y)是二維離散型隨機變量,其聯(lián)合分布律為

P(X=xi,Y=yj)=Pij,

i=1,2,…,m;j=1,2,…,n

矩陣P=(Pij)m×n稱為聯(lián)合概率矩陣.則X與Y相互獨立的充分必要條件為rank(P)=1.

通過矩陣的初等變換，判斷矩陣的秩是否為1,便可直接對隨機變量的獨立性作出相應(yīng)的判斷,使問題的研究得以簡化.例如，已知二維離散型隨機變量(X,Y)的聯(lián)合分布律為

XY-10200.10.050.110.10.050.120.20.10.2

驗證X與Y相互獨立.易看出rank(P)=1，可知X與Y相互獨立.

把握學(xué)科前沿，將科研成果及時引進教材，引進課堂，以科研成果促進教學(xué)，對鍛煉學(xué)生的思維能力、綜合分析能力、創(chuàng)新能力有重要意義.

總之，地方本科院校的轉(zhuǎn)型發(fā)展為概率論與數(shù)理統(tǒng)計課程的發(fā)展帶來了新的機遇和新的挑戰(zhàn)，我們應(yīng)該以服務(wù)區(qū)域經(jīng)濟為宗旨，培養(yǎng)真正適應(yīng)市場需求的應(yīng)用型人才為目標，加快概率論與數(shù)理統(tǒng)計的教學(xué)改革．本文從創(chuàng)新人才培養(yǎng)模式的角度，探討了如何加強概率論與數(shù)理統(tǒng)計課程實踐性和應(yīng)用性的具體方法，希望能夠為高校轉(zhuǎn)型過程中其他課程的教學(xué)改革提供借鑒和參考.

參考文獻：

[1]劉彥軍.地方本科高校轉(zhuǎn)型發(fā)展模式研究[J].中國高教研究,2015(10):82-86.

[2]張大良.把握“學(xué)校主體、地方主責”工作定位積極引導(dǎo)部分地方本科高校轉(zhuǎn)型發(fā)展[J].中國高等教育,2015(10):23.

[3]湯克棣.淺談新課程中類比教學(xué)[J].數(shù)學(xué)教學(xué)通訊,2011(12):25-27.

[4]羅小兵.類比建構(gòu)在數(shù)學(xué)分析教學(xué)中的應(yīng)用初探[J].荊州師范學(xué)院學(xué)報,2001,24(2):112-114.

[5]波利亞.數(shù)學(xué)與猜想[M].北京:科學(xué)出版社,2001.

[6]叢玉華.類比建構(gòu)在概率論教學(xué)中的應(yīng)用[J].通化師范學(xué)院學(xué)報,2008,29(4):86-88.

[7]姜啟源,謝金星,葉俊.數(shù)學(xué)模型(第四版)[M].北京:高等教育出版社,2010.

[8]叢玉華,殷爍,袁志奇.離散型隨機變量相互獨立的判別方法[J].通化師范學(xué)院學(xué)報,2006,27(2):18 -20.

(責任編輯:陳衍峰)

DOI:10.13877/j.cnki.cn22-1284.2016.04.026

*收稿日期：2015-12-20

基金項目：吉林省教育科學(xué)規(guī)劃項目“地方高校轉(zhuǎn)型趨勢下概率論與數(shù)理統(tǒng)計課程教學(xué)改革探索與實踐”(GH14398)

作者簡介：叢玉華,女,吉林四平人,副教授.

中圖分類號：G642

文獻標志碼：A

文章編號：1008-7974(2016)02-0083-05