王蓮花

(北京物資學(xué)院 信息學(xué)院，北京 101149)

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線性方程組考研題型分析

王蓮花

(北京物資學(xué)院 信息學(xué)院，北京 101149)

摘要：分析近幾年有關(guān)線性方程組考研試題，歸納相關(guān)題型及考核知識點(diǎn)，給出問題的一般解法，以期為學(xué)生考研復(fù)習(xí)、教師考研輔導(dǎo)及線性代數(shù)日常課堂教學(xué)提供參考.

關(guān)鍵詞：線性方程組；初等變換；線性相關(guān)；線性無關(guān)

線性方程組是線性代數(shù)課程的核心內(nèi)容之一，它是線性代數(shù)研究的具體模型.科學(xué)技術(shù)和經(jīng)濟(jì)管理中的許多問題，往往可以歸結(jié)為建立線性方程組的問題．每年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)一(或二和三)試題均會在解答題中第(20)題以各種形式呈現(xiàn)線性方程組這一知識點(diǎn)，其分?jǐn)?shù)均為11分，此外，有時(shí)還會配以選擇題，可見其重要性．因此，考研學(xué)生必須高度重視，考研輔導(dǎo)老師也要作為考試重點(diǎn)給予針對性的輔導(dǎo)，其中對重要知識的講解、解題思路的分析尤為重要．本文對有關(guān)線性方程組考研題型進(jìn)行分類，并結(jié)合近幾年數(shù)學(xué)考研試題進(jìn)行剖析，以期為學(xué)生考研復(fù)習(xí)和教師考研輔導(dǎo)提供參考，同時(shí)也為講授線性代數(shù)課程的教師提供指導(dǎo)．

1直接求線性方程組Ax=b的通解問題

這類考研題目往往系數(shù)矩陣中帶有參數(shù)，其解決問題的方法有兩種：初等行變換法和行列式法. 初等行變換法是利用初等行變換化方程組的增廣矩陣為行階梯矩陣，然后根據(jù)線性方程組有解判定定理確定方程組中的參數(shù)取何值時(shí)方程組有解，在有無窮多解時(shí)，求出方程組的通解．而行列式法則僅適合方程的個(gè)數(shù)與未知數(shù)的個(gè)數(shù)相等的情形，此方法是先計(jì)算系數(shù)行列式，然后根據(jù)參數(shù)的取值來進(jìn)一步討論方程組解的問題．看下面的兩個(gè)例子．

例1設(shè)

可知要使原方程組有無窮多解，必須使1-a4=0及-a-a2=0，得到a=-1.

此時(shí)原方程組的增廣矩陣為

例 2 設(shè)矩陣

且方程組Ax=β無解，1)求a的值；2)求方程組AΤAx=AΤβ的通解[2].

分析 由于該方程組是3個(gè)方程3個(gè)未知數(shù)，且系數(shù)中帶有參數(shù)，所以解此方程組時(shí)兩種方法均可采用，但結(jié)合問題2)，該題采用行列式法比較簡單.

知， r(A)=2≠r(A?β)=3，方程組Ax=β無解.

當(dāng)a=2時(shí)，

此時(shí)，r(A)=r(A?β)=2<3，方程組有無窮多解.故a=0.

由

當(dāng)a=2時(shí)，

由

此時(shí)，r(A)=r(A?β)=2<3，方程組無解.

2求線性方程組Ax=b的一般解，并結(jié)合向量組的線性相關(guān)性問題

這類考題除按照通常求解線性方程組一般解的方法外，還需要掌握判定線性向量組線性相關(guān)性的方法．判定n維向量組α1,α2,…,αs線性相關(guān)性的常見方法有如下幾種.

方法1定義法. 設(shè)k1α1+k2α2+…+ksαs=0，則α1,α2,…,αs線性相關(guān)的充要條件是該齊次線性方程組有非零解；α1,α2,…,αs線性無關(guān)的充要條件是該齊次線性方程組只有零解.

方法2求秩的方法.設(shè)A=(α1,α2,…,αs)，則α1,α2,…,αs線性相關(guān)的充要條件是r(A)

方法4設(shè)n維向量組α1,α2,…,αs，若s>n，則向量組α1,α2,…,αs線性相關(guān).

例3設(shè)

1)求滿足Aξ2=ξ1,A2ξ3=ξ1所有向量ξ2,ξ3；2)對1)中的任意向量ξ2,ξ3，證明：ξ1,ξ2,ξ3線性無關(guān)[3].

分析該題主要考核3個(gè)知識點(diǎn)：一是矩陣的乘法(乘冪)運(yùn)算；二是線性方程組一般解的求法；三是n個(gè)n維向量組線性相關(guān)性的判別方法：行列式法．這些都是線性代數(shù)的基本理論和基本方法，考研的同學(xué)應(yīng)該熟練掌握．

解 1)對增廣矩陣(A?ξ1)施行初等行變換.

2)由1)知，

所以ξ1,ξ2,ξ3線性無關(guān).

例4設(shè)向量組α1=(1,0,1)Τ,α2=(0,1,1)Τ,α3=(1,3,5)Τ不能由向量組β1=(1,1,1)Τ,β2=(1,2,3)Τ,β3=(3,4,a)Τ線性表出.

1)求a的值，2)將β1,β2,β3由α1,α2,α3線性表出[4].

分析首先，根據(jù)已知，判定向量組β1,β2,β3線性相關(guān)性，以確定參數(shù)a. 其次，利用向量的線性表示方法，即解非齊次線性方程組，求出線性表示式. 特別注意：這里還考核到一個(gè)重要結(jié)論：如果向量組α1,α2,…,αs線性無關(guān)，而向量組α1,α2,…,αs,β線性相關(guān)，則向量β必可由α1,α2,…,αs線性表示[5].

解 1)4個(gè)3維向量β1,β2,β3,αi線性相關(guān)(i=1,2,3). 若β1,β2,β3線性無關(guān)，則αi可由β1,β2,β3線性表示(i=1,2,3)，這與已知矛盾. 于是β1,β2,β3線性相關(guān).從而

于是，a=5. 此時(shí)αi不能由β1,β2,β3線性表示.

2)令A(yù)=(α1,α2,α3?β1,β2,β3)，對A施行初等行變換

從而β1=2α1+4α2-α3,β2=α1+2α2,β3=5α1+10α2-2α3.

3利用解線性方程組求滿足等式關(guān)系的未知矩陣

此類問題往往給出一個(gè)矩陣方程，然后根據(jù)已知矩陣求出未知矩陣．這種矩陣方程一般不能由可逆矩陣直接求出未知矩陣，而是需要設(shè)出未知矩陣，根據(jù)已知等式關(guān)系轉(zhuǎn)化成非齊次線性方程組，然后利用求齊次非線性方程組一般解的方法求出未知矩陣．下面的例5和例6就是屬于這種類型的考題．

即

所以

化簡增廣矩陣為

所以,當(dāng)1+a=0,b=0，即a=-1,b=0時(shí)，矩陣C存在. 此時(shí)增廣矩陣為

1)求方程組AX=0的一個(gè)基礎(chǔ)解系；2)求滿足AB=E的所有矩陣B[7].

解 1)對方程組的系數(shù)矩陣作初等行變換，得

令x4=1，得方程組AX=0的一個(gè)基礎(chǔ)解系為α=(-1,2,3,1)Τ，其全部解為kα=k(-1,2,3,1)Τ，k為任意常數(shù).

相當(dāng)于

綜上所述，解線性方程組是全國研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)試題每年必考到的內(nèi)容，而且常常是以解答題的形式呈現(xiàn)，這類題目不僅涉及行列式和矩陣的基本知識，而且還與向量組的線性相關(guān)性理論等知識緊密相連，考生要想做好此類題，必須熟練掌握以下幾方面的基本內(nèi)容和做題方法：①簡單行列式的計(jì)算；②矩陣的乘法；③利用初等行變換化非齊次線性方程組的增廣矩陣為行階梯矩陣或行最簡矩陣的方法及線性方程組解的結(jié)構(gòu)理論；④向量組線性相關(guān)性的一些重要判定方法. 同時(shí)，還要具有較扎實(shí)的基本功和靈活的解題技巧，以確保在計(jì)算時(shí)既快又準(zhǔn)，只有這樣，才能取得理想的成績.

參考文獻(xiàn)

[1]文都教育.2012年全國研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)三試題[EB/OL].[2016-01-03].http://www.chinakaoyan.com/info/article/id/18551.shtml.

[2]萬學(xué)教育.2016年全國研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)三試題[EB/OL].[2015-11-02].http://edu.qq.com/a/20151227/014535.htm#p.

[3]中國教育在線考試頻道.2009年全國研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)三試題[EB/OL].[2015-11-02].http://kaoyan.eol.cn/math_3947/20091113/t20091113_421083_4.shtml.

[4]文都教育.2011年全國研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)三試題[EB/OL].[2015-11-02].http://www.233.com/kaoyan/math/zhenti/20110117/150917913-6.html.

[5]楊子胥. 高等代數(shù)習(xí)題解[M].濟(jì)南：山東科學(xué)技術(shù)出版社，2002.

[6]跨考教育.2013年全國研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)三試題[EB/OL].[2015-11-03]http://kaoyan.eol.cn/shuxue_3976/20130106/t20130106_890383_3.shtml.

[7]新東方在線.2014年全國研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)三試題[EB/OL].[2015-11-03]http://kaoyan.koolearn.com/20131227/801315_3.html.

Topic Analysis on System of Linear Equations of the National Master’s Entrance Examination

WANG Lianhua

(College of Information, Beijing Wuzi University, Beijing 101149, China)

Abstract:The test questions on system of linear equations of the national master’s entrance examination are analyzed. The related topic and the test of knowledge points are summarized, and give general solution of the problem, in order to provide references for the students review of postgraduate exam, teacher guidance of postgraduate exam and the daily classroom teaching of liner algebra.

Key words:system of linear equations; elementary transformation; linear dependence; linear independence

收稿日期：2016-01-22

基金項(xiàng)目：039專業(yè)建設(shè)—專業(yè)群建設(shè)(市級)(PXM2015_014214_000039)；2015年北京物資學(xué)院教學(xué)質(zhì)量工程項(xiàng)目(項(xiàng)目分類編號及名稱：7-1 教學(xué)團(tuán)隊(duì)建設(shè))

作者簡介：王蓮花(1964—)，女，河南寧陵人，北京物資學(xué)院教授，碩士生導(dǎo)師，主要研究方向：代數(shù)教學(xué)與研究.

doi：10.3969/j.issn.1007-0834.2016.02.012

中圖分類號：G642.0;O172.2

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號：1007-0834(2016)02-0050-06