朱翠濤，呂興茹

(中南民族大學(xué) 電子信息工程學(xué)院， 武漢 430074)

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一種基于單調(diào)優(yōu)化的多小區(qū)分布式波束成形算法

朱翠濤，呂興茹

(中南民族大學(xué) 電子信息工程學(xué)院， 武漢 430074)

摘要提出了一種基于單調(diào)優(yōu)化的多小區(qū)分布式波束成形算法，該算法首先去耦合將集中式全局和速率最大化問題轉(zhuǎn)分布式優(yōu)化問題，然后通過將目標(biāo)函數(shù)構(gòu)造為兩個(gè)遞增函數(shù)之差，進(jìn)一步將其轉(zhuǎn)換為單調(diào)優(yōu)化問題.在此基礎(chǔ)上，利用Polyblock外逼近法對(duì)問題進(jìn)行了求解.仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明：該算法只需要使用本地信道信息，而收斂速率則更快.

關(guān)鍵詞分布式波束成形；單調(diào)優(yōu)化；加權(quán)和速率最大化；Polyblock外逼近法

共信道干擾問題是制約異構(gòu)、超密集蜂窩網(wǎng)絡(luò)發(fā)展的主要因素之一.多小區(qū)協(xié)同波束形成和功率控制是實(shí)現(xiàn)干擾抑制、提高系統(tǒng)吞吐量的有效方法，因此得到廣泛研究.文獻(xiàn)[1]利用上/下行鏈路間的對(duì)偶關(guān)系設(shè)計(jì)了一種以最大化最差用戶速率為優(yōu)化目標(biāo)，協(xié)同基站只需要交換數(shù)據(jù)信息的總功率約束條件下的兩層迭代分布式多點(diǎn)協(xié)同波束成形設(shè)計(jì)算法.文獻(xiàn)[2]將下行鏈路的波束成形問題轉(zhuǎn)化為線性最小均方誤差(LMMSE)估計(jì)問題，實(shí)現(xiàn)了分布式波束成形的迭代優(yōu)化，但該算法不能保證全局收斂性.文獻(xiàn)[3]僅利用本地的信道狀態(tài)信息(CSI)實(shí)現(xiàn)分布式的多小區(qū)協(xié)作波束成形設(shè)計(jì)，但其需要基站間共享數(shù)據(jù)信息，這在有限回程容量限制下很難實(shí)現(xiàn)；文獻(xiàn)[4]利用拉格朗日(Lagrange)對(duì)偶理論實(shí)現(xiàn)了小區(qū)間協(xié)作波束成形優(yōu)化，雖降低了基站間的信息交互，但它只能解決給定信干噪比(SINR)要求下的最小化總功率問題.文獻(xiàn)[5]利用高信噪比條件下的去耦合特點(diǎn)簡(jiǎn)化用戶速率表達(dá)式，從而將和速率最大化優(yōu)化問題轉(zhuǎn)成相對(duì)簡(jiǎn)單的優(yōu)化問題，但文中的每個(gè)基站只服務(wù)一個(gè)用戶.文獻(xiàn)[6]將多小區(qū)多用戶無線網(wǎng)絡(luò)中的協(xié)同波束成形問題建模成目標(biāo)函數(shù)為和速率、約束是每個(gè)基站功率的最優(yōu)化問題，利用Lagrange理論推導(dǎo)了優(yōu)化波束矢量的結(jié)構(gòu)，用 KKT 條件求解非凸問題的解，文中考慮的接收機(jī)只有一根天線，屬于多輸入單輸出干擾信道(MISO-IC).基于文獻(xiàn)[5]和[6]的研究結(jié)果，本文提出了針對(duì)多小區(qū)多用戶的分布式多點(diǎn)協(xié)作算法.首先利用參考文獻(xiàn)[6]和[7]的分布式分解方法，將原始優(yōu)化問題分解為多個(gè)并行子優(yōu)化問題；然后利用Polyblock外逼近法求解子問題[8]，進(jìn)而提出了一種新的、全局最優(yōu)的求解和速率最大化優(yōu)化問題的波束成形算法.

在多小區(qū)的環(huán)境下，由于基站的波束成形向量是相互耦合的，加權(quán)和速率(WSR)最大化問題變得非常復(fù)雜.為了簡(jiǎn)化這個(gè)問題，本文在SINR滿足門限值時(shí)，采用近似法把WSR最大化問題分解為分布式的僅與本地CSI相關(guān)的WSR子優(yōu)化問題，并提出了一種單調(diào)優(yōu)化框架來解決分布式子問題.在此基礎(chǔ)上，將分解之后的子問題轉(zhuǎn)換為在一個(gè)正常約束集上嚴(yán)格遞增的兩個(gè)函數(shù)之差，利用Polyblock外逼近方法對(duì)其進(jìn)行求解.

1系統(tǒng)模型

考慮由多個(gè)基站組成的多小區(qū)多用戶MISO無線網(wǎng)絡(luò)下行鏈路協(xié)同波束成形系統(tǒng).假設(shè)系統(tǒng)有B個(gè)基站，每個(gè)基站(BS)均有M根發(fā)射天線且服務(wù)K個(gè)單天線用戶.各基站的發(fā)送波束和功率需進(jìn)行協(xié)作優(yōu)化設(shè)計(jì)，以有效抑制小區(qū)間干擾并提升系統(tǒng)性能.系統(tǒng)模型如圖1所示.

圖1　系統(tǒng)模型(Tx代表基站，Rx代表用戶)Fig.1　System model

(1)

SINRbk(vij)=

(2)

由香農(nóng)公式可以得出用戶Ubk的速率為：

rbk(vij)=log2(1+SINRbk(vij).

(3)

基站b的加權(quán)和速率為：

(4)

本文的目的是在滿足每個(gè)基站到每個(gè)用戶的功率約束條件下，使下行鏈路系統(tǒng)的加權(quán)和速率最大化，其中優(yōu)化變量為發(fā)射波束矢量.數(shù)學(xué)模型為：

(5)

由于優(yōu)化問題(P)的目標(biāo)函數(shù)是非凸的且優(yōu)化變量間相互耦合，直接求解比較復(fù)雜.集中優(yōu)化存在魯棒性差以及通信負(fù)載過大等缺陷，本文提出了一種基于單調(diào)優(yōu)化的全分布式聯(lián)合優(yōu)化方法.

2問題分解

這部分將分3步對(duì)問題(P)進(jìn)行求解：首先采用迫零波束成形[9]的多用戶調(diào)度算法對(duì)目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行轉(zhuǎn)化；然后當(dāng)每個(gè)用戶的SINR大于預(yù)設(shè)的門限值SINRth時(shí)，利用近似法對(duì)目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行簡(jiǎn)化分解，從而對(duì)波束矢量和功率分配進(jìn)行解耦；最后將優(yōu)化問題(P)分解為B個(gè)并行的WSR優(yōu)化子問題，實(shí)現(xiàn)了基于本地CSI的分布式多小區(qū)協(xié)作波束成形，在系統(tǒng)性能和回程鏈路開銷之間取得良好的的折中.具體分解步驟如下.

以基站b為例，假設(shè)所有基站(除b外)均采用迫零(ZF)預(yù)編碼消除本基站對(duì)基站b的干擾，然后在信噪比滿足門限值時(shí)，基站b的僅與小區(qū)內(nèi)干擾有關(guān)的WSR為：

(6)

為了評(píng)估基站b對(duì)其他基站造成的小區(qū)間干擾，其他基站n(n≠b)均采用迫零波束成形，此時(shí)基站n的WSR為：

(7)

N0)],

(8)

其中等式右邊的第二項(xiàng)代表基站b的波束成形向量對(duì)基站n造成的速率損耗.累計(jì)其他所有基站的速率損耗，則由基站b的波束成形向量vb1,…,vbK造成的總速率損耗為：

N0)].

(9)

Step 3：重定義基站b的有效加權(quán)和速率fm(vbj).

重新定義基站b的僅與本地CSI有關(guān)的有效加權(quán)和速率為：

(10)

其中等式右邊第一項(xiàng)和第二項(xiàng)分別代表基站b的波束成形向量對(duì)系統(tǒng)WSR的貢獻(xiàn)項(xiàng)和破壞項(xiàng).結(jié)合基站b的有效加權(quán)和速率(10)式和優(yōu)化問題(P)的單基站功率約束條件，可以把原問題分解為B個(gè)并行的子問題，每一個(gè)子問題(Pb)在每一個(gè)小區(qū)局部的求解.基站b的分布式子優(yōu)化問題為：

(11)

與問題(P)相比，子問題(Pb)的目標(biāo)函數(shù)仍然是非凸的，但其每個(gè)子優(yōu)化都僅與本基站的波束成形向量有關(guān).通過仔細(xì)觀察，優(yōu)化問題(11)具有隱藏的單調(diào)性，可以將其轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)的單調(diào)優(yōu)化問題.

3形成單調(diào)優(yōu)化子問題

經(jīng)過分析，每個(gè)分布式子問題又可以轉(zhuǎn)換為標(biāo)準(zhǔn)的單調(diào)優(yōu)化問題，即將優(yōu)化問題的目標(biāo)函數(shù)構(gòu)造為兩個(gè)遞增函數(shù)之差，通過引入?yún)?shù)進(jìn)一步將其等價(jià)地轉(zhuǎn)換為標(biāo)準(zhǔn)的單調(diào)優(yōu)化問題.在此基礎(chǔ)上，等價(jià)的優(yōu)化問題可以通過Polyblock外逼近方法來有效求解.

(1)利用結(jié)合性，目標(biāo)函數(shù)可以表示為：

(12)

則優(yōu)化問題可以寫成max{f(vbj)-g(vbj)?j=1,…,K}形式.

(13)

(14)

max{F(z)|z∈D}.

(15)

此時(shí)優(yōu)化問題(15)為規(guī)范的單調(diào)優(yōu)化問題，可以利用Polyblock外逼近法求解.

4問題求解

Polyblock外逼近法的核心思想是：通過一個(gè)已知頂點(diǎn)的多胞體Pk不斷逼近問題(MP)的可行域D.

4.1計(jì)算上邊界點(diǎn)πD(zn)

如果對(duì)于任意的z=(y,t)?D，πD(z)=λz,λ=max{α|αz∈D},則定義πD(z)為z在D上的投影.很明顯0<λ<1,λ=min{λ1,λ2}，λ1=max{α|αy|∈G},λ2=max{α|g(αy)≤g(b)(1-αt)}.

令zn為使目標(biāo)函數(shù)F(z)在Pn上的最大頂點(diǎn)，為了求解πD(zn)，需要解決下面的一維優(yōu)化問題：

λn=max{α>0}αzn∈D}=min{λ1,λ2}=min{max{α>0|αyn∈G},max{α>0|g(αyn)+αtn≤g(b)}},

(16)

算法1：計(jì)算上邊界點(diǎn)πD(zn).

Step1：求解λ2.對(duì)于任意的α>0，函數(shù)Pz(α):=g(αyn)+αg(b)tn是單調(diào)遞增的，且Pz(0)g(b)，則λ2是方程Pz(λ)=g(b)的唯一根.

Step2：求解λ1.

step3：比較λ1和λ2的大小，得到λn，代入公式即可求解上邊界點(diǎn)πD(zn).

4.2構(gòu)造新Pn+1的序列

4.3Polyblock外逼近算法

在外逼近的第n次迭代中，令zn為Pn中使F(z)最大的頂點(diǎn)，其可以由下式獲得：

(18)

其中Tn是Pn的合適頂點(diǎn)集，通過搜索Tn的有限條目可以簡(jiǎn)單獲得zn.如果zn∈D，那么其為(MP)的最優(yōu)解；否則在Pn{zn}?D中找到下一個(gè)polyblockPn+1，算法繼續(xù)，具體步驟如算法2所示.

算法2：Polyblock外逼近法.

Step2：令Pn+1=Pn∩{z∈n|t+g(y)≤g(b)}，其中t+g(y)≤g(b)是定義D的一個(gè)約束.

Step4：令n:=n+1,返回Step1.

終止條件：Tn=?.

5仿真分析

圖2　CBV的變化Fig.2　Evolution of the CBV

接下來將對(duì)有限反饋多用戶MISO下行鏈路中的迫零(ZF)算法和本文所提算法(Proposed)進(jìn)行性能仿真和比較.

圖3給出了B=2且各基站具有對(duì)稱加權(quán)系數(shù)的條件下，所提算法和ZF算法的和速率隨加權(quán)系數(shù)和信噪比變化的規(guī)律.從圖中可以看出，總得來說，ZF方案的和速率要低于所提方案的和速率.在SNR較低時(shí)，ZF方案的和速率和所提方案的和速率差距較小，當(dāng)SNR逐漸增大時(shí)兩者的差距逐漸增加，在高SNR區(qū)域，ZF方案和所提方案在和速率上差異隨著SNR的增加而減小.此外，迫零算法在多用戶MISO干擾信道中，雖然能克服多用戶之間的同頻干擾達(dá)到最大的信道容量，但是算法的實(shí)現(xiàn)需要全局的信道狀態(tài)信息，對(duì)設(shè)備要求較高.而所提分布式算法不僅性能優(yōu)于迫零算法，而且不需要全局的信道狀態(tài)信息.

圖3　具有對(duì)稱系數(shù)的2×(3×2) MISO系統(tǒng)的WSR性能Fig.3　WSR performance in 2×(3×2) MISO system with symmetric weights

圖4給出了B=2且各基站具有非對(duì)稱加權(quán)系數(shù)的條件下，所提算法和ZF算法的和速率隨加權(quán)系數(shù)和信噪比變化的規(guī)律.與圖3相比，所提算法優(yōu)于ZF算法更加明顯.且在高SNR區(qū)域，ZF方案和所提方案在和速率上差異并沒有明顯的減小.

圖4　具有非對(duì)稱系數(shù)的 2×(3×2) MISO系統(tǒng)的WSR性能Fig.4　WSR performance in 2×(3×2) MISO system with asymmetric weights

圖5給出了B=3時(shí)所提算法和ZF算法的和速率隨加權(quán)系數(shù)和SNR變化的規(guī)律.與2基站協(xié)作相比，3基站協(xié)作的用戶速率性能稍微有所下降，這是因?yàn)樗崴惴m然考慮了用戶間的干擾抑制，但沒有完全消除小區(qū)間的干擾，而ZF算法可以完全消除小區(qū)間的干擾信號(hào).從圖中也可以發(fā)現(xiàn)，隨著協(xié)作基站的數(shù)量增加，兩者之間的性能差異也隨之增加，且當(dāng)SNR增大到一定程度時(shí)，兩者之間的和速率差距急劇減小，ZF算法的用戶速率呈現(xiàn)出超過所提算法的用戶速率的趨勢(shì).可以推斷，隨著加權(quán)系數(shù)的差異增大，這兩種方案在高SNR區(qū)域的和速率差距會(huì)逐漸縮小.此時(shí)迫零算法的反饋總量隨用戶數(shù)線性增加，在實(shí)際系統(tǒng)中，當(dāng)出現(xiàn)大量用戶請(qǐng)求接入系統(tǒng)時(shí)，反饋總量的急劇增加將嚴(yán)重地降低反饋鏈路的頻譜利用率.

圖5　具有對(duì)稱系數(shù)的3×(3×2) MISO系統(tǒng)的WSR性能Fig.5　WSR performance in 3×(3×2) MISO system with symmetric weights

6結(jié)論與展望

本文通過采用高信干噪比近似法把加權(quán)和速率最大化問題分解為分布式的僅與本地信道狀態(tài)信息相關(guān)的加權(quán)和速率問題，然后利用單調(diào)優(yōu)化方法解決分布式加權(quán)和速率最大化問題.仿真結(jié)果表明，所提算法僅需要本地信道信息且收斂速度更快.考慮到小區(qū)邊緣用戶由于距基站較遠(yuǎn)而離干擾小區(qū)較近，其鏈路可靠性差，不滿足高信干噪比的條件，下一步的研究重點(diǎn)是在低信噪比條件下的分布式多小區(qū)協(xié)作波束成形技術(shù).

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A Distributed Multicell Beamforming Algorithm Based on Monotonic Optimizaton

ZhuCuitao,LüXingru

(College of Electronic and Information Engineering, South-Central University for Nationalities, Wuhan 430074, China)

AbstractThe algorithm based on monotonic optimization for distributed multicellular beamforming techniques proposed. The first step of the proposed algorithm is to simplify the objective function with the decouping characteristics and then decompose the WSR maximization problem into parallel single-cell sub problems which involve only local channel state information(CSI ).Moreover,the main idea is to rewrite the objective functions so that methods for monotonic can be used. After formulating the problem as a monotonic program(MP),a polyblock outer approximation algorithm is devised to search for the optimal MP solution. Numerical simulation shows that the proposed algorithm has better convergence behavior and each base station utilizes only the local CSI to computer its beamforming vectors.

Keywordsdistributed beamforming;monotonic optimization; weighted sum-rate maximization ;outer polyblock approximation

收稿日期2016-01-30

作者簡(jiǎn)介朱翠濤(1967-)，男，教授，博士，研究方向：認(rèn)知無線電網(wǎng)絡(luò)及分布式計(jì)算，E-mail: cuitaozhu@scuec.edu.cn

基金項(xiàng)目國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(61103248)；中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費(fèi)專項(xiàng)(CZW15046)

中圖分類號(hào)TN911

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼A

文章編號(hào)1672-4321(2016)02-0085-06