劉燕秋, 余 波

( 三峽大學(xué) 理學(xué)院, 湖北 宜昌 443002)

關(guān)于矩陣的Frobenius內(nèi)積的一個推廣*

劉燕秋, 余 波

( 三峽大學(xué) 理學(xué)院, 湖北 宜昌 443002)

推廣了矩陣的Frobenius內(nèi)積的定義, 并在新的矩陣范數(shù)意義下, 證明了其矩陣空間是一個嚴格凸的賦范線性空間.

矩陣空間; 向量內(nèi)積; 矩陣內(nèi)積

0 引言

矩陣的Frobenius內(nèi)積是線性代數(shù)中的一個基本概念,在很多領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用.這些經(jīng)典的應(yīng)用包括凸優(yōu)化以及對稱半正定矩陣的規(guī)劃問題,[1-2]求解對稱矩陣特征值的界的問題[3]以及對對稱矩陣的反特征值的數(shù)值算法設(shè)計[4]等等.近年來,有學(xué)者利用矩陣的Frobenius內(nèi)積定義了旋轉(zhuǎn)矩陣群上的平均,[5]用奇異值分解方法和關(guān)于Frobenius內(nèi)積的正交補方法刻畫了Moore-Penrose逆的推廣.[6]根據(jù)矩陣的Frobenius內(nèi)積可以誘導(dǎo)出矩陣的Frobenius范數(shù),矩陣的Frobenius范數(shù)一樣應(yīng)用廣泛.比如,有學(xué)者利用矩陣的Frobenius范數(shù)定義了一類子空間上的矩陣反問題,[7]討論了矩陣方程Ax=B的反對稱正交對稱解的存在性的充要條件,[8]刻畫了稀疏矩陣的低秩逼近的誤差分析,[9]以及按照矩陣的Frobenius范數(shù)定義的度量研究了不足采樣下的低秩矩陣重構(gòu)問題[10]等等.

鑒于矩陣的Frobenius內(nèi)積和范數(shù)的重要性,在1960年,有學(xué)者曾將矩陣的Frobenius內(nèi)積推廣到了更一般的代數(shù)結(jié)構(gòu)上去.[11]本文將基于矩陣的Frobenius內(nèi)積的定義方法, 引入一個m×m階的對稱正定矩陣C, 并利用C定義一個新的矩陣內(nèi)積. 當C退化為m階單位矩陣時, 此推廣的矩陣內(nèi)積便為傳統(tǒng)意義下的Frobenius內(nèi)積. 根據(jù)推廣的矩陣內(nèi)積可以誘導(dǎo)出相應(yīng)的矩陣范數(shù), 并可以證明賦予該范數(shù)的矩陣空間為嚴格凸的.

1 新的定義及預(yù)備知識

首先推廣向量的內(nèi)積.

定義1 設(shè)C是給定的m×m對稱正定矩陣. 在實數(shù)域R上的m維向量空間Rm中, 對于任意的兩個向量x=(x1,x2,…,xm)T,y=(y1,y2,…,ym)T, 我們定義〈x,y〉C=xTCy為向量x和y關(guān)于C的一個關(guān)系.

下面我們證明上述關(guān)系滿足內(nèi)積的要求.

定理1 設(shè)x,y,z∈Rm,c為任意實數(shù), 則定義1中的關(guān)系滿足如下性質(zhì):

1)交換律: 〈x,y〉C=〈y,x〉C;

2)齊次性:〈cx,y〉C=c〈y,x〉C;

3)分配律: 〈x+y,z〉C=〈x,z〉C+〈y,z〉C;

4)非負性:〈x,x〉C≥0且〈x,x〉C=0當且僅當x=0.

2)〈cx,y〉C=(cx)TCy=cxTCy=c〈y,x〉C.

3)〈x+y,z〉C=(x+y)TCz=(xT+yT)Cz=xTCz+yTCz=〈x,z〉C+〈y,z〉C.

4)由C的正定性易見, 〈x,x〉C=xTCx≥0且xTCx=0當且僅當x=0. 證畢.

根據(jù)定理1, 可以看到(Rm,〈·,·〉C構(gòu)成了一個內(nèi)積空間. 類似的, 我們可以定義矩陣空間Rm×n上的一個關(guān)系.

定義2 設(shè)C是給定的m×m的對稱正定矩陣.A,B∈Rm×n，我們定義〈A,B〉C=tr(ABTCT)為矩陣A,B關(guān)于C的一個推廣的Frobenius關(guān)系, 其中tr(·)表示矩陣的跡.

我們將證明推廣的Frobenius關(guān)系滿足內(nèi)積的要求, 為此, 首先回顧如下兩個結(jié)果.[12]

引理1 設(shè)A∈Rm×n, C為m×m的對稱正定矩陣, 則AAT與CT的乘積的特征值非負.

引理2 若A,B是Rm×m中的對稱半正定矩陣,λ(·)表示矩陣的第i個特征值,i=1,2,…,m,且按遞減順序排列, 那么對任意的r+s≤m-1, 有

λm-r-s(AB)≥λm-r(A)λm-s(B)

(1)

現(xiàn)在可以證明如下定理.

定理2 設(shè)A,B,D∈Rm×n,C為m×m的對稱正定矩陣,c為任意實數(shù), 則推廣的Frobenius關(guān)系滿足如下性質(zhì):

1)交換律: 〈A,B〉C=〈B,A〉C;

2)齊次性: 〈cA,B〉C=c〈A,B〉C;

3)分配律:〈A+B,D〉C=〈A,D〉C+〈B,D〉C;

4)非負性:〈A,A〉C≥0 且〈A,A〉C=0當且僅當A=0.

注意到CT=C, 有〈A,B〉C=〈B,A〉C.

2) 設(shè)A,B∈Rm×n,C∈Rm×m且CT=C,c為任意常數(shù), 則 〈cA,B〉C=tr(cABTCT)=ctr(ABTCT)=c〈A,B〉C.

3) 設(shè)A,B,D∈Rm×n,C∈Rm×m且 CT=C, 則〈A+B,D〉C=tr[(A+B)DTCT]=tr(ADTCT+BDTCT)=tr(ADTCT)+tr(BDTCT)=〈A,D〉C+〈B,D〉C.

4)設(shè)A∈Rm×n,C∈Rm×m且CT=C, 則〈A,A〉C=tr(AATCT)≥0. 最后我們運用引理1和引理2來證明〈A,A〉C=0當且僅當A=0. 一方面，A=0當然意味著〈A,A〉C=0. 另一方面,

(2)

注1：由定理2可知,(Rm×n,〈·,·〉C)構(gòu)成了一個內(nèi)積空間. 當m×m的正定矩陣C取為單位陣時, 〈·,·〉C便為傳統(tǒng)意義下的Frobenius(也叫Euclid)內(nèi)積, 即

〈A,B〉C=tr(ABTCT)=tr(ABT)

(3)

在本節(jié)的最后, 我們回顧一個將在下一節(jié)中應(yīng)用的結(jié)論.

引理3 設(shè)A,B,C∈Rm×m, 則

tr(ABC)=tr(BCA)=tr(CAB).

2 主要結(jié)果

下面我們將證明(Rm×n,‖·‖C)為嚴格凸的賦范線性空間. 為了證明這一結(jié)果，我們首先回顧如下定義.

定義3 賦范線性空間(Rm×n,‖·‖)稱為嚴格凸的，是指任意A,B∈Rm×n,A≠B必有‖A‖=‖B‖=1,意味著‖αA+βB‖<1(任意α,β>0,α+β=1).

根據(jù)此定義可以證明如下結(jié)論.

定理3 賦范線性空間(Rm×n,‖·‖C)是嚴格凸的.

證明:我們只要證明對任意A,B∈Rm×n,A≠B必有‖A‖C=‖B‖C=1，意味著‖αA+βB‖C<1(任意α,β>0,α+β=1 ). 反設(shè)‖αA+βB‖C=1，由簡單的計算得

‖αA+βB‖C=

(4)

α2+2αβtr(ABTCT)+β2=1

(5)

由α+β=1有

α2+2αβ+β2=1

(6)

將(5)式與(6)式相減得到

2αβ[tr(ABTCT)-1]=0,

因為αβ≠0，所以tr(ABTCT)-1=0,即tr(ABTCT)=1. 因此就有

tr(ABTCT)=tr(AATCT)=tr(BBTCT)=1

(7)

下面我們將分兩種情況證明(7)式蘊含著結(jié)論A=B,得到矛盾.

1)若正定矩陣C取為m階單位矩陣，有

tr(ABT)=tr(AAT)=tr(BBT)=1,

設(shè)A=(aij)m×n,B=(bij)m×n,

另一方面, 由Cauchy不等式有

其中等號成立，當且僅當

aij=kbij,i=1,…,m,j=1,…,n

(8)

2)若C為一般的m×m正定矩陣, 則存在實可逆m×m矩陣P, 使得PTCTP=E,即CT=(P-1)TP-1.令G=P-1A,H=P-1B,則由引理3有

tr(AATCT)=tr[AAT(P-1)TP-1]

=tr[P-1AAT(P-1)T]=tr(GGT)

(9)

類似地, 有tr(BBTCT)=tr(HHT),tr(ABTCT)=tr(GHT) . 這樣,類似(1)的證明過程可以得到G=H, 即P-1A=P-1B, 因此A=B.

綜合上面兩種情況都可以得到A=B,與條件中A≠B矛盾. 故‖αA+βB‖C<1. 證畢.

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[責任編輯 蘇 琴]

[責任校對 黃招揚]

An Extension of the Frobenius Inner Product for Matrices

LIU Yan-qiu, YU Bo

(CollegeofScience,ChinaThreeGorgesUniversity,Yichang443002,China)

An extension of the Frobenius inner product for matrices is introduced, from which the corresponding norm for matrices is defined. Under this new matrix norm, the matrix space is proved to be a strictly convex normed linear space.

matrix space; inner product for vectors; inner product for matrices

2016-06-20.

國家自然科學(xué)基金資助(11301296).

劉燕秋(1991-)，女，三峽大學(xué)理學(xué)院碩士研究生，研究方向: 逼近論. 通信作者：余波(1979-)，男，博士，三峽大學(xué)副教授，研究方向: 計算與應(yīng)用調(diào)和分析,逼近論.

O151.21

A

1673-8462(2016)04-0064-03