王燈山 崔 琨

二維信號離散行為空間中的羊群行為

王燈山 崔 琨

[摘 要]筆者基于“離散行為空間導致羊群行為”模型，通過放松私人信號假設，引入二維不確定信號，分析此“二維信號離散行為空間”中的羊群行為的產生過程與產生機理。筆者運用數(shù)學建模來分析二維不確定信號——是否獲得信號以及信號是否準確，對羊群行為的產生時間以及概率的影響，推導出羊群行為產生時間以及產生概率與信號參數(shù)的具體關系式，并且運用MATLAB生成圖像分析二維不確定信號參數(shù)變化對羊群行為的影響趨勢。 研究發(fā)現(xiàn)，通過引入二維不確定信號，羊群行為不會像在“一維信號離散行為空間”中那樣確定產生，“二維信號離散行為空間”中羊群行為的產生與信號參數(shù)相關，并且獲得信息概率這一信號參數(shù)的單向變化，對羊群行為有促進和抑制兩方面的作用。研究結果對投資行為和市場監(jiān)管具有指導作用，在維護投資市場公平、有序、高效運行方面具有一定的現(xiàn)實意義。

[關鍵詞]二維信號 離散行為 羊群行為

一、引言

金融市場中的羊群行為，大部分是投資者在不對稱信息的前提下進行的盲目跟隨行為。

不對稱信息的產生可能是由投資信號的不確定性引起，如投資者是否能收到私人信號、投資者所收到的私人信號是否準確等；也可能是由于具體交易機制問題，如委托人-代理人機制導致委托人與代理人之間的信息不對稱等。

在研究羊群行為產生機理方面，主流的理論有：聲譽理論、支付外部性理論以及信息流理論。

Scharfstein和Stein(1990)[1]運用委托人-代理人模型分析羊群行為的產生，Sticke1(1990,1992)[2-3]、Trueman(1994)[4]、Rajan(1994)[5]、Zwiebel(1995)[6]、Prendergast和Stole(1996)[7]對該理論進行了繼承和發(fā)展，Graham(1999)[8]拓展了該模型，建立了羊群行為的聲譽模型。研究表明，由于委托人-代理人機制兩者之間存在信息的不對稱，這促使了羊群行為的產生。

Brennan(1990)[9]、Froot等(1992)[10]等對支付外部性導致羊群行為進行了研究。研究表明，當行為主體事先研究了他認為其他行為主體即將研究的信息，并希望其他行為主體按自己預期的方向交易資產時，羊群行為就會發(fā)生。

Banerjee提出了序貫決策模型，Banerjee(1992)[11]、Bikhchandani等(1992)[12]、Welch(1992)[13]等完善了信息流理論。Avery和Zemsky(1998)[14]修改了交易價格外生給定這一假設，并將模型應用于股票市場。研究表明投資者按順序依次進行決策，私人信號的不確定性導致信息的不對稱，序貫決策可以使投資者獲得并學習前人的決策信息，從而形成信息流。Banerjee(1992)[11]論證了非離散行為在二維信號空間中導致羊群行為。Bikhchandani等(1992)[12]論證了在離散行為空間中羊群行為的產生過程以及產生機理,通過引入一維不確定信號——投資者所收到的私人信號是否準確，從而產生投資者的信息不對稱，進而引發(fā)羊群行為。

在實證研究方面，李新路和韓志萍(2007)[15]認為我國股票市場個體投資者呈現(xiàn)出非常顯著的羊群行為，并且賣方羊群行為強于買方羊群行為，無論投資者是風險偏好還是風險厭惡，都表現(xiàn)出顯著的羊群效應，股票收益率和股票規(guī)模是影響投資者羊群行為的重要因素。李奇澤等(2013)[16]通過實證數(shù)據(jù)表明我國證券投資基金羊群行為的形成原因主要有兩方面。一方面，由于我國證券投資基金評價體系過分注重短期業(yè)績，這將促使基金經(jīng)理或者追逐熱點或者窗飾業(yè)績，誘發(fā)基金羊群行為。另一方面，基金公司治理結構中基金份額持有人大會存在內部人控制問題，導致中小投資者參與和監(jiān)督的動力不足，而基金托管人又由基金管理人選定而失去獨立性，導致托管人監(jiān)管缺位。這些公司治理的制度性缺陷將加重基金投資人與管理人之間的委托代理問題。理性的基金管理人為實現(xiàn)自身利益最大化會背棄投資人的利益，或者共同窗飾業(yè)績或者達成默契抱團取暖，從而產生基金業(yè)普遍的羊群行為。

李平和曾勇(2004)[17]認為若市場上只存在信息的一維不確定性(資產價值的不確定性)以及所有的市場參與者均完全理性，那么證券的價格總是對市場上的信息進行合理的調整，羊群行為永遠不會發(fā)生，獲得不同私人信息的交易者總會選擇不同的交易行為，私人信息不斷被揭示。莊新田和王健(2007)[18]認為若信息交易者非理性則可能發(fā)生羊群行為。市場上羊群效應的產生需要具備一定條件，信息交易者的非理性程度達到某一臨界值時才發(fā)生羊群行為。

宋軍等(2003)[19]、楊文超和孟慶華(2008)[20]、劉陽(2011)[21]等對我國投資市場狀況作了具體的分析研究。宋軍等(2003)[19]認為目前我國證券市場中，機構投資者和個人投資者在資金信息上存在的明顯的不對稱以及隨之而來的莊家操縱市場，散戶捕風捉影而跟莊的短期行為對于市場的有效、穩(wěn)定的健康成長極為不利。楊文超和孟慶華(2008)[20]認為相較于發(fā)達國家的股票市場，我國股市起步較晚，不論機構投資者還是個人投資者，羊群行為現(xiàn)象表現(xiàn)得更為明顯，這在一定程度上可以解釋我國股票價格經(jīng)常出現(xiàn)的漲跌無常的異常波動現(xiàn)象。劉陽(2011)[21]認為在信息傳遞方面，我國股市信息披露的及時性、準確性、完整性等方面都存在缺陷，這使得投資者在信息上處于不對稱地位，誘使投資者觀察并追隨其他投資者，從而導致羊群行為。

以上研究表明，在我國由于投資交易市場信息披露并不及時、準確、完整，導致市場含有較強的羊群效應。相當一部分投資者沒有收到私人信號，還有一部分交易者雖然可以獲得各種信號，但是由于缺乏經(jīng)濟頭腦和投資敏感度，不能從各種信號中獲得準確的、能反映投資資產價值的信息。種種不確定性使得相當一部分投資者的決策往往只是跟隨他人行為。可見，整個交易市場的羊群效應影響還是非常大的。由于羊群效應不利于市場的穩(wěn)定，也與金融危機密切相關，所以研究不確定信號參數(shù)對羊群行為的影響，進而對整個市場進行分析和政策改善，具有重要的現(xiàn)實意義。

本文旨在通過理論模型，研究不確定信號參數(shù)對羊群行為造成的具體影響，推導羊群行為產生的充分條件，并且通過MATLAB生成圖像來形象地觀察不確定信號參數(shù)的變化對羊群行為的影響程度。

為此，我們放松Bikhchandani等(1992)[12]研究中簡單模型的假設——每個投資者均能收到私人信號。討論每個投資者不一定能收到信號，并且收到的信號不一定準確的“二維不確定信號”空間對羊群行為產生的影響。

直觀分析，如果引入每個投資者不一定能收到信號這個假設，沒有收到信號的投資者會盲目跟從大部分之前決策者們所做的決定，羊群行為更容易產生。但是對于收到信號的投資者而言，他會更加看重自己的信號，因為對他而言，之前投資者的一致行為有可能是由于他們沒有收到信號而產生的盲目跟從，自己所收到的信號相對于Bikhchandani等(1992)[12]的研究而言就更有價值(雖然有可能信號是不準確的)，這便會抑制羊群行為的產生。這兩方面對羊群行為產生了相反的作用。那么相對于Bikhchandani等(1992)[12]研究中的“一維不確定信號”空間，在“二維不確定信號”空間中，羊群行為是否更容易產生，以及“二維不確定信號”的參數(shù)變化對羊群行為產生的概率和時間有怎樣的確切影響，這是本文所要闡述的問題。

二、理論模型

為了簡化和更有目的性地分析，我們更加關注于在第n個決策者之前所有人均有一致行為的情況下，第n個決策者是否會產生羊群行為，以及不確定信號的參數(shù)變化對羊群行為產生時間和概率的影響。

(一)模型假設

我們放松Bikhchandani等(1992)[12]的假設條件，假設不是每個人都能收到信號，收到的信號也不一定準確。從而形成“二維信號離散行為空間”，在二維信號空間中討論離散行為。

存在一系列的人，每一個人依次選擇接受或者拒絕投資一個項目。每一個人都有可能會收到關于投資價值的信號，而收到的信號有可能為真，也有可能為假。每一個人都能觀察到前人的決定，但是看不到前人的信號。

每一個人的投資成本是0.5。

投資收益V是以0.5的概率得0，以0.5的概率得1。

每個人以概率α收到信號，以概率1-α沒有收到信號,α∈(0,1)。

如果第i個人收到個人信號，記為Xi，Xi=H或者L。

當投資的真實值為1時，如果個人收到信號，信號Xi=H的概率為p，收到信號Xi=L的概率為1-p，其中p∈(0.5,1)。

當投資的真實值為0時，如果個人收到信號，信號Xi=L的概率為p，收到信號Xi=H的概率為1-p，其中p∈(0.5,1)。

對于個人i的決策規(guī)則是：

對于i=1而言，如果他收到信號，則按信號進行決策；如果他沒有收到信號，則以0.5的概率選擇接受，以0.5的概率選擇拒絕。

對于i≥2而言，如果他收到信號，則他所擁有的信息集為前人的選擇和自己的信號，他將根據(jù)已有的信息集進行決策。如果在觀測到前人的選擇S以及個人的信號Xi后，對于投資的期望值E[V|S,Xi] 有：E[V|S,Xi]>0.5時選擇接受；E[V|S,Xi]<0.5時選擇拒絕；E[V|S,Xi]=0.5時以0.5的概率選擇接受，以0.5的概率選擇拒絕。

如果他沒有收到信號，則選擇前人的決策中選擇人數(shù)較多的決策，也就是說如果前人中較多人選接受，則第i個人選擇接受，否則拒絕。如果前人中選擇接受和拒絕的人數(shù)相同，則第i個人以0.5的概率選擇接受，以0.5的概率選擇拒絕。

(二)模型分析

1.第1個人。

(1)如果第1個人沒收到信號，則以0.5的概率選擇接受，以0.5的概率選擇拒絕。

(2)如果第1個人收到的信號是H，我們記此事件為Φ1={X1=H}，得到

E[V|Φ1]=1×P(V=1|Φ1)+0×P(V=0|Φ1)

=P(V=1|Φ1)

=p>0.5

(1a)

則第1個人選擇接受。

(3)如果第1個人收到的信號是L，我們記此事件為Φ2={X1=L}，得到

E[V|Φ2]=1×P(V=1|Φ2)+0×P(V=0|Φ2)

=P(V=1|Φ2)

=(1-p)<0.5

(1b)

則第1個人選擇拒絕。

從而我們分析得：

P(S1=adopt|V=1)=0.5(1-α)+αp

(1c)

P(S1=adopt|V=0)=0.5(1-α)+α(1-p)

(1d)

2.第2個人。

(1)如果第1個人選擇接受，第2個人沒有收到信號，則他會模仿第1個人的行為選擇接受。

(2)如果第1個人選擇接受，第2個人收到的信號是H，我們記此事件為Φ3={S1=adopt,X2=H}，得到

E[V|Φ3]=1×P(V=1|Φ3)+0×P(V=0|Φ3)

=P(V=1|Φ3)

>0.5

(2a)

其中：

P(V=1)P(Φ3|V=1)

=0.5×[0.5(1-α)+αp]×αp

P(V=0)P(Φ3|V=0)

=0.5×[0.5(1-α)+α(1-p)]×α(1-p)

則第2個人選擇接受。

(3)如果第1個人選擇接受，第2個人收到的信號是L，我們記此事件為Φ4={S1=adopt,X2=L}，得到

E[V|Φ4]=1×P(V=1|Φ4)+0×P(V=0|Φ4)

=P(V=1|Φ4)

<0.5

(2b)

其中：

P(V=1)P(Φ4|V=1)

=0.5×[0.5(1-α)+αp]×α(1-p)

P(V=0)P(Φ4|V=0)

=0.5×[0.5(1-α)+α(1-p)]×αp

則第2個人選擇拒絕。

從而我們分析得：

P(S2=adopt|S1=adopt,V=1)=(1-α)+αp

(2c)

P(S2=adopt|S1=adopt,V=0)=(1-α)+α(1-p)

(2d)

3.第3個人。

(1)如果第1個人選擇接受，第2個人選擇接受，第3個人沒有收到信號，則第3個人會模仿前兩個人的選擇，選擇接受。

(2)如果第1個人選擇接受，第2個人選擇接受，第3個人的信號是H，我們記此事件為Φ5={S1=adopt,S2=adopt,X3=H}，得到

E[V|Φ5]=1×P(V=1|Φ5)+0×P(V=0|Φ5)

=P(V=1|Φ5)

>0.5

(3a)

其中：

P(V=1)P(Φ5|V=1)

=0.5[0.5(1-α)+αp][(1-α)+αp]αp

P(V=0)P(Φ5|V=0)

=0.5[0.5(1-α)+α(1-p)]

×[(1-α)+α(1-p)]α(1-p)

則第3個人選擇接受。

(3)如果第1個人選擇接受，第2個人選擇接受，第3個人的信號是L，我們記此事件為Φ6={S1=adopt,S2=adopt,X3=L}，得到

E[V|Φ6]=1×P(V=1|Φ6)+0×P(V=0|Φ6)

=P(V=1|Φ6)

(3b)

其中：

P(V=1)P(Φ6|V=1)

=0.5[0.5(1-α)+αp]

×[(1-α)+αp]α(1-p)

(3c)

P(V=0)P(Φ6|V=0)

=0.5[0.5(1-α)+α(1-p)]

×[(1-α)+α(1-p)]αp

(3d)

當式(3c)大于式(3d)時，式(3b)大于0.5，則第3個人選擇接受，即在第1個人選擇接受，第2個人選擇接受，無論第3個人是否收到信號，收到的信號是什么，第3個人總會會忽略自己的信號選擇接受。則我們有

P(S3=adopt|S2=adopt,S1=adopt,V=1)=1

(3e)

P(S3=adopt|S2=adopt,S1=adopt,V=0)=1

(3f)

從而第3個人開始產生羊群行為。

當式(3c)小于式(3d)時，式(3b)小于0.5，則第3個人選擇拒絕，即在第1個人選擇接受，第2個人選擇接受，第3個人的行為與自己接收到的信號相關，從而第3個人不會產生羊群行為。

當式(3c)等于式(3d)時，式(3b)等于0.5，則第3個人以相同的概率選擇接受或拒絕，此非羊群行為。

式(3c)減式(3d)等于(1-2p)[0.5(1-α)2-α2p×(1-p)]。由于假設p>0.5，則1-2p<0。由于0<α<1，當α足夠大時，0.5(1-α)2-α2p(1-p)<0，從而式(3c)大于式(3d)，E[V|Φ6]>0.5，第3個人選擇接受，產生羊群行為。我們可以想象當α無限向1逼近，相當于是否收到信號的不確定性趨于消失，二維信號趨于一維信號，此結果趨于Bikhchandani等(1992)[12]的結論：第3個人開始產生羊群行為。當α足夠小時0.5(1-α)2-α2p(1-p)>0，從而式(3c)小于式(3d)，E[V|Φ6]<0.5，第3個人選擇拒絕，不會產生羊群行為。

我們分析此與Bikhchandani等(1992)[12]結論不同的原因。因為α為公共已知，當α足夠小時，即人們很難收到信號。此刻作決定的人面對前面所有人選擇接受，分析其原因很有可能是因為沒有收到信號而選擇的跟隨行為，如果此刻做決定的人收到了信號，則這個人必然更加看中從自己信號中所獲得的信息，盡管信息有真有假，但收到信號的概率相對于信息真假的概率要小得多。所以這個人會依據(jù)自己的信息做決定，不會產生羊群行為。

從而我們分析得：

如果式(3c)大于式(3d)，則

P(S3=adopt|S2=adopt,S1=adopt,V=1)=1

P(S3=adopt|S2=adopt,S1=adopt,V=0)=1

如果式(3c)小于式(3d)，則

P(S3=adopt|S2=adopt,S1=adopt,V=1)

=(1-α)+αp

P(S3=adopt|S2=adopt,S1=adopt,V=0)

=(1-α)+α(1-p)

如果式(3c)等于式(3d)，則

P(S3=adopt|S2=adopt,S1=adopt,V=1)

=(1-α)+α[p+0.5(1-p)]

P(S3=adopt|S2=adopt,S1=adopt,V=0)

=(1-α)+α[(1-p)+0.5p]

4.第4個人。

當式(3c)大于式(3d)時，我們分析如Bikhchandani等(1992)[12]的研究，結果也與其相同，從第3個決策者開始以后的人均會產生羊群行為。

我們重點分析當式(3c)小于式(3d)時的情況。

(1)如果第1個人選擇接受，第2個人選擇接受，第3個人選擇接受，第4個人沒收到信號，則會模仿前人選擇接受。

(2)如果第1個人選擇接受，第2個人選擇接受，第3個人選擇接受，第4個人收到信號H，我們記此事件為Φ7={S1=adopt,S2=adopt,S3=adopt,X4=H}，則

E[V|Φ7]=1×P(V=1|Φ7)+0×P(V=0|Φ7)

=P(V=1|Φ7)

>0.5

(4a)

其中：

P(V=1)P(Φ7|V=1)

=0.5[0.5(1-α)+αp][(1-α)+αp]2αp

P(V=0)P(Φ7|V=0)

=0.5[0.5(1-α)+α(1-p)]

×[(1-α)+α(1-p)]2α(1-p)

從而第4個人選擇接受。

(3)如果第1個人選擇接受，第2個人選擇接受，第3個人選擇接受，第4個人收到信號L，我們記此事件為Φ8={S1=adopt,S2=adopt,S3=adopt,X4=L}，則

E[V|Φ8]=1×P(V=1|Φ8)+0×P(V=0|Φ8)

=P(V=1|Φ8)

(4b)

其中：

P(V=1)P(Φ8|V=1)

=0.5[0.5(1-α)+αp]

×[(1-α)+αp]2α(1-p)

(4c)

P(V=0)P(Φ8|V=0)

=0.5[0.5(1-α)+α(1-p)]

×[(1-α)+α(1-p)]2αp

(4d)

分析同對第3個決策者的分析過程。

如果式(4c)大于式(4d)，則E[V|Φ8]>0.5，第4個人選擇接受，產生羊群行為。

如果式(4c)小于式(4d)，則E[V|Φ8]<0.5，第4個人選擇拒絕，不會產生羊群行為。

如果式(4c)等于式(4d)，則E[V|Φ8]=0.5，第4個人以相同的概率選擇接受或拒絕，此非羊群行為。

式(4c)減式(4d)等于(1-2p)[0.5(1-α)3-α2p×(1-p)(2.5-1.5α)]

我們不難發(fā)現(xiàn)在式(3c)小于式(3d)的情況下,式(4c)小于式(4d)比式(3c)小于式(3d)更加難以實現(xiàn)，即更容易產生羊群行為。

5.第n個人。

當?shù)趎-1個決策者產生了羊群行為，我們分析如Bikhchandani等(1992)[12]的研究，第n個決策者也一定產生羊群行為。

我們重點分析當?shù)趎-1個決策者沒有產生羊群行為的情況下，第n個決策者的行為決策。

(1)如果前n-1個決策者均選擇接受，第n個決策者沒收到信號，則會模仿前人選擇接受。

(2)如果前n-1個決策者均選擇接受，第n個決策者收到信號H，我們記此事件為Φ2n-1={S1，…，Sn-1=adopt,Xn=H}，則

E[V|Φ2n-1]

=1×P(V=1|Φ2n-1)+0×P(V=0|Φ2n-1)

=P(V=1|Φ2n-1)

=[P(V=1)P(Φ2n-1|V=1)]/[P(V=1)

×P(Φ2n-1|V=1)+P(V=0)

×P(Φ2n-1|V=0)]>0.5

(5a)

其中：

P(V=1)P(Φ2n-1|V=1)

=0.5[0.5(1-α)+αp][(1-α)+αp]n-2αp

P(V=0)P(Φ2n-1|V=0)

=0.5[0.5(1-α)+α(1-p)][(1-α)

+α(1-p)]n-2α(1-p)

從而第n個人選擇接受。

(3)如果前n-1個決策者均選擇接受，第n個人收到信號L，我們記此事件為Φ2n={S1，…，Sn-1=adopt,Xn=L}，則

E[V|Φ2n]=1×P(V=1|Φ2n)+0×P(V=0|Φ2n)

=P(V=1|Φ2n)

(5b)

其中：

P(V=1)P(Φ2n|V=1)=0.5[0.5(1-α)+αp]

×[(1-α)+αp]n-2α(1-p)

(5c)

P(V=0)P(Φ2n|V=0)=0.5[0.5(1-α)+α

×(1-p)][(1-α)+α(1-p)]n-2αp

(5d)

分析同對第3個決策者的分析過程。

如果式(5c)大于式(5d)，則E[V|Φ2n]>0.5，第n個人選擇接受，產生羊群行為。

如果式(5c)小于式(5d)，則E[V|Φ2n]<0.5，第n個人選擇拒絕，不會產生羊群行為。

如果式(5c)等于式(5d)，則E[V|Φ2n]=0.5，第n個人以相同的概率選擇接受或拒絕，此非羊群行為。

(三)模型結論

第1個人、第2個人不會產生羊群行為，從第3個人開始，羊群行為有可能產生。對于某時刻做決策的個人而言，產生羊群行為的概率與α和p的大小有關。

如果第n個決策者(n≥3)產生了羊群行為，這件事情的發(fā)生除式(5c)大于式(5d)外，還需要第n個決策者之前所有決策者均做出一致選擇。

P(S1，…，Sn-1=adopt)

=P(V=1)P(S1，…，Sn-1=adopt|V=1)

+P(V=0)P(S1，…，Sn-1=adopt|V=0)

=0.5[0.5(1-α)+αp]

×[(1-α)+αp]n-2

+0.5[0.5(1-α)+α(1-p)]

×[(1-α)+α(1-p)]n-2

(6)

P(S1，…，Sn-1=reject)

=P(V=1)P(S1，…，Sn-1

=reject|V=1)

+P(V=0)P(S1，…，Sn-1=reject|V=0)

=0.5[0.5(1-α)+αp][(1-α)+αp]n-2

+0.5[0.5(1-α)+α(1-p)]

×[(1-α)+α(1-p)]n-2

(7)

我們整理得，對于一個序列決策模型，已知信號參數(shù)α和p的具體值，我們可以通過式(5c)大于式(5d)，即

[0.5(1-α)+αp][(1-α)+αp]n-2(1-p)>[0.5(1-α)+α(1-p)][(1-α)+α(1-p)]n-2p

(8)

計算出產生羊群行為的最小的n值，記為羊群行為觸發(fā)值N。

N=minn|[0.5(1-α)+αp]

×[(1-α)+αp]n-2(1-p)

>[0.5(1-α)+α(1-p)]

×[(1-α)+α(1-p)]n-2p

(9)

注意N為滿足條件的最小n值，這保證了第N個決策者之前所有的人均不會產生羊群行為，這符合我們之前論證的前提條件。

將此n=N值代入式(6)、(7)，計算出此序列決策模型產生羊群行為的概率。

定理：一個序列決策模型產生羊群行為的概率為

P(herding)=[0.5(1-α)+αp][(1-α)+αp]N-2

+[0.5(1-α)+α(1-p)]

×[(1-α)+α(1-p)]N-2

(10)

其中,

N=minn|[0.5(1-α)+αp]

×[(1-α)+αp]n-2(1-p)

>[0.5(1-α)+α(1-p)]

×[(1-α)+α(1-p)]n-2p

(9)

信號參數(shù)α和p為外生變量，N為內生變量，由參數(shù)α和p共同決定。

對于式(9)，當α→1時(由于式(9)是在α≠1的情況下分析得到)，計算得N→3，即當前兩個人行為一致時，計算結果趨向于第三個人開始所有人進行羊群行為，這與 Bikhchandani等(1992)[12]中的簡單模型一致。

對比Bikhchandani等(1992)[12]中的簡單模型，可以見得，在之前投資者行為一致的情況下，隨著不確定信號α的減小，羊群行為不那么容易產生，即N的值變大，這便是引言中提到的抑制羊群行為產生。而對于n=2,3,…,N-1投資者而言，每個人行為一致的概率1-α+αp、1-α+α(1-p)，由于α的減小而變大，這便是引言中提到的促進羊群行為產生。兩者相互作用，對羊群行為產生的影響體現(xiàn)在了式(10)、(9)中。

三、圖像分析

我們首先分析對于每一決策者而言，通過式(8)，我們可以得到如果第n個決策者進行羊群行為，那么所需要滿足的α和p的取值范圍圖像如圖1所示。

圖1 激發(fā)羊群行為所需α和p的取值范圍

我們可以很清楚地看到，所有圖像右邊界完全覆蓋了p∈(0.5,1)，換句話說，在α→1時(由于式(8)中α≠1)，只要p∈(0.5,1)，結果趨向于從第3個人開始，所有人都進行羊群行為。這與Bikhchandani等(1992)[12]中的簡單模型結論一致。

通過圖1，可以得到，隨著n的增大，羊群行為所需要的α和p的取值范圍越來越大。對于外生變量α和p(α和p既定)，隨著每個決策者依次進行決策，越往后，α和p越有可能落入滿足羊群行為所需的取值范圍內，從而產生羊群行為。換句話說，隨著n的增大，羊群行為越來越容易產生。

接下來通過式(9)，我們分析對于已知值的α和p時，從第幾個決策者開始產生羊群行為，詳見表1。

表1 不同信號參數(shù)對應的羊群行為觸發(fā)值N

通過表1，我們可得隨著α的增大與p的減小，N的值越來越小，即羊群行為越早產生。

α、p、N的三維關系圖如圖2所示。

我們最后分析羊群行為產生概率P(herding)與參數(shù)α、p的關系(N為內生變量)，根據(jù)式(10)、(9)，我們得到三維關系圖(圖3)。

圖2 α、p、N的三維關系圖

圖3 α、p、P(herding)的三維關系圖

我們研究圖3的橫截面性質。例如，當p=0.6與p=0.9時的三維圖像橫截面，即當p=0.6與p=0.9時α與P的關系如圖4所示。

圖4 p=0.6與p=0.9時的三維圖像橫截面

我們接下來具體研究無數(shù)個橫截面中的任意一個。例如當p=0.6時的三維圖像橫截面，即當p=0.6時α與P的關系如圖5所示。

圖5 p=0.6時α與P(herding)的關系圖

圖5中，隨著α的減小，B→C、D→E、F→G等表示P(herding)的減小，此即為上文中提到的抑制羊群行為作用，它的產生是由于隨著α的減小，式(9)得到的N越來越大，從而導致了式(10)的減小。如B→C，α的值只是相當微小的變化，但N的值由3增大為4,。雖然α的變化量非常小，對1-α+αp與1-α+α(1-p)的影響非常小，但是由于N的值由3增大為4，這對式(10)的影響非常大，所以出現(xiàn)了如圖中斷崖式的變化。

隨著α的減小，A→B、C→D、E→F等表示P(herding)的增大，此即為上文中提到的促進羊群行為作用，它的產生是由于式(10)中1-α+αp與1-α+α(1-p)的增大，從而導致P(herding)的增大。如A→B，這一過程中雖然α有變化，但是式(9)始終等于3，P(herding)的增大，完全是因為1-α+αp與1-α+α(1-p)的增大。

例如在H點到I點的整個變化過程中，促進作用大于抑制作用，最終I點羊群行為概率增大。再如在H點到J點的整個變化過程中，促進作用小于抑制作用，最終J點羊群行為概率減小。

N由式(9)決定，顯然N有一個取整的過程，所以隨著α與p的連續(xù)變化，N的變化是不連續(xù)的，是整數(shù)的變化，所以抑制羊群行為作用是不連續(xù)的、斷崖似的作用。然而α與p卻是連續(xù)的變化，所以促進羊群行為作用是連續(xù)的作用。兩者相互作用，α與p對P的影響變化如上文圖3所示。

四、結論

本文在Bikhchandani等(1992)[12]中的“離散行為空間導致羊群行為”模型基礎上，通過引入二維不確定信號，分析此“二維信號離散行為空間”下的羊群行為的產生過程與產生機理。二維不確定信號的引入，使得模型更加符合實際，并且適用于現(xiàn)實生活。與羊群行為在“一維信號離散行為空間”中那樣確定產生不同，“二維信號離散行為空間”下羊群行為的產生與信號參數(shù)相關。本文通過數(shù)學建模推導出羊群行為產生時間以及產生概率與信號參數(shù)的具體關系式，并且發(fā)現(xiàn)獲得信息概率這一信號參數(shù)的單向變化，對羊群行為有促進和抑制兩方面的作用。最后我們運用MATLAB生成圖像分析二維不確定信號參數(shù)變化對羊群行為的影響趨勢。

以往的研究結果，例如宋軍等(2003)[19]、萬志華(2008)[22]、楊文超和孟慶華(2008)[20]表明信號的質量越差投資者越傾向于發(fā)生羊群行為，噪音交易者在投資者中的比率越大投資者越傾向于發(fā)生羊群行為，研究結論與對我國證券投資基金羊群行為的實證結果和對我國房地產羊群行為的實證結果是一致的。

本文的研究結果與以往的研究結果不同之處在于指出獲得信息概率這一信號參數(shù)的單向變化，對羊群行為有促進和抑制兩方面的作用，并且推導出具體表達式。這對現(xiàn)實投資市場起到一定的指導作用。管理者可以通過政策措施來影響信號參數(shù)的變化，如通過規(guī)范投資市場中的信息披露制度來提高投資信號的準確性，通過大力培養(yǎng)機構投資者、開展投資教育來提高交易者分析投資信號的能力等，進而降低羊群行為產生的概率。

但本文也有一定的局限性，為了建立數(shù)學模型，本文將龐大且復雜的投資市場交易行為進行了簡單化處理。例如本文模型基于投資市場序貫交易，并且僅對一種投資產品的兩種外生給定價格進行分析。我們可以通過拓展本文模型，如允許交易價格變化等，使之與實際的市場交易更加契合。

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Herd Behavior in Two-Dimensional Signal and Discrete Action Space

WANG Deng-shan CUI Kun

Abstract:This paper is based on the herd behavior due to discrete action space which is discussed in Bikhchandani et al.(1992).We relax the assumption about individual signal,introduce the two-dimensional uncertain signal,and investigate the process and mechanism of herd behavior in two-dimensional signal and discrete action space.The two dimensions of the uncertain signal indicate whether the individual receives a signal or not and whether the signal is true or not.We obtain the definite relationship between the generation of herd behavior and signal parameters by using mathematical modeling.The effect on herd behavior can be analyzed by changing signal parameters through the graph generated in MATLAB.Our result shows that in contrast to Bikhchandani et al.(1992),herd behavior can not arise in two-dimensional signal and discrete action space certainly.The monotone change of the parameter which indicates the probability of receiving a signal has both positive and negative effects on herd behavior.This new finding not only has the role of guidance on individual investment and financial market supervision,but also has the practical significance to maintain fair,orderly,and efficient investment market.

Key words：Two-dimensional signal Discrete action Herd behavior

[中圖分類號]F224.0

A

1000-1549(2016)11-0028-11

[收稿日期]2016-06-23

[作者簡介]王燈山，男，1980年11月生，中央財經(jīng)大學中國經(jīng)濟與管理研究院副教授，博士，研究方向為應用數(shù)學、數(shù)理經(jīng)濟與數(shù)理金融；崔琨，男，1990年6月生，中央財經(jīng)大學中國經(jīng)濟與管理研究院研究生，研究方向為數(shù)理金融。

[基金項目]教育部人文社會研究青年基金項目“基于不完全契約理論的PPP模式最優(yōu)機制設計研究”(項目編號:16YJCZH110)；2015年北京市社會科學基金項目“北京市人口膨脹演變與資源壓力趨勢預測研究”。

感謝匿名評審人提出的修改建議，筆者已做了相應修改，本文文責自負。

韓 嫄 張安平)