岳毅蒙,王　欣,趙　銳

(1.商洛學(xué)院 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)應(yīng)用學(xué)院,陜西 商洛　726000;

(2.商洛學(xué)院 經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院,陜西 商洛　726000)

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帶注資和交易費(fèi)用的擴(kuò)散模型的最優(yōu)分紅

岳毅蒙1,王欣2,趙銳1

(1.商洛學(xué)院 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)應(yīng)用學(xué)院,陜西 商洛726000;

(2.商洛學(xué)院 經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院,陜西 商洛726000)

摘要在帶注資和交易費(fèi)用的擴(kuò)散模型基礎(chǔ)上,以股東的折現(xiàn)分紅減去懲罰折現(xiàn)注資的差的期望值最大化為目標(biāo),討論了模型的最優(yōu)分紅策略問題。由隨機(jī)控制理論建立相應(yīng)的HJB方程,得到了相應(yīng)的解及最優(yōu)分紅策略。

關(guān)鍵詞擴(kuò)散模型；注資；HJB方程；分紅

分紅問題最早是由De Finetti在1957年精算大會(huì)上首次提出,隨后便成為許多學(xué)者研究討論的熱點(diǎn)問題。文獻(xiàn)[1]中討論了最小盈余下經(jīng)典風(fēng)險(xiǎn)模型的最優(yōu)分紅和注資策略。文獻(xiàn)[2]中討論了帶注資和管理費(fèi)用的風(fēng)險(xiǎn)模型的最優(yōu)分紅和注資策略。我們?cè)谇叭搜芯縖3-11]的基礎(chǔ)上,討論帶注資和交易費(fèi)用擴(kuò)散風(fēng)險(xiǎn)模型的最優(yōu)分紅問題,為保險(xiǎn)公司的分紅和注資提供一定的理論指導(dǎo)作用。

1模型構(gòu)建

動(dòng)態(tài)方程可描述為

(1) {Dt}是右連左極的,增的適應(yīng)的過程,且滿足D0-=0;

(2) {Zt}是左連右極的,增的適應(yīng)的過程,且滿足Z0=0。

假設(shè)保險(xiǎn)公司有最低盈余要求m>0,如果赤字太大,注資不合理,破產(chǎn)時(shí)刻定義為

對(duì)每個(gè)可行策略(D,Z,π,b),定義性能指標(biāo):

其中:β<1是分紅交易費(fèi)用的比例因子;δ>0是折扣因子;φ>1是罰金因子。我們的目標(biāo)就是最大化V(D,Z,π,b)(x),定義值函數(shù):

則盈余過程轉(zhuǎn)化為

只考慮有約束的分紅策略,即假設(shè)分紅率為Ut,且

0≤Ut≤u0<∞。

2HJB方程和最優(yōu)策略

引理1值函數(shù)V(x)在[a,∞)上是凹函數(shù)。

類似于文獻(xiàn)[3],我們可以得到HJB方程:

(θ-η)μ-u]V′(x)+βu-δV(x)+

(1)

其中:u是線性的,所以最優(yōu)分紅策略應(yīng)滿足:

(2)

其中:x0∶=inf{x∶V′(x)≤β}。

證明由f是增的、有界的,假設(shè)f收斂到f(∞)<∞。這里存在xn→∞滿足f′(xn)→0。令un=u(xn),由最優(yōu)分紅策略的定義,假設(shè)un=u0,令n→∞,得到

0=[mπ+λ[θE(r(Y,b))-(θ-η)μ]+βu0-

βu0-δf(∞),

現(xiàn)令U=U*表示由式(2)給出的分紅策略,相應(yīng)的Z*=ZU*。由引理和HJB方程可得

是一個(gè)期望為0的鞅。所以

令t→∞,則f(x)≥VU(x)。

所以f(x)=V(x)。

3結(jié)語

在擴(kuò)散模型的基礎(chǔ)上考慮注資和交易費(fèi)用因素,利用隨機(jī)控制理論求出相應(yīng)的解及最優(yōu)分紅策略。這一研究推廣了前人的理論,使風(fēng)險(xiǎn)模型更加符合實(shí)際,更具現(xiàn)實(shí)意義,這些結(jié)論能為保險(xiǎn)公司的穩(wěn)健性經(jīng)營(yíng)提供理論支持。

參考文獻(xiàn):

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Optimal Dividends of Diffusion Model with Capital Injection and Transaction Cost

Yue Yimeng1,Wang Xin2,Zhao Rui1

(1.Faculty of Mathematics and Computer Application,Shangluo University,Shangluo 726000,China;2.Faculty of Economics and Management,Shangluo University,Shangluo 726000,China)

Key wordsDiffusion model;Capital injection;HJB equation;Dividends

AbstractIssues about optimal dividends strategies of the model are discussed based on diffusion model with capital injection and transaction cost and by realizing the difference of maximization of value of expectation which equals to discounted dividends of shareholders minus punishment discounting capital injection as a target.The corresponding solutions and optimal dividend strategies are deduced through related HJB equation built by stochastic control theory.

doi:10.16468/j.cnki.issn1004-0366.2016.03.003.

收稿日期:2015-08-17;修回日期:2015-10-09.

基金項(xiàng)目:陜西省教育科學(xué)“十二五”規(guī)劃課題(SGH13406)；商洛學(xué)院科研項(xiàng)目(15SKY011).

作者簡(jiǎn)介:岳毅蒙(1984-),男,陜西富平人,碩士,講師,研究方向?yàn)榻鹑跀?shù)學(xué).E-mail:18740586401@126.com.

中圖分類號(hào):O211.6

文獻(xiàn)標(biāo)志碼:A

文章編號(hào):1004-0366(2016)03-0013-03

引用格式:Yue Yimeng,Wang Xin,Zhao Rui.Optimal Dividends of Diffusion Model with Capital Injection and Transaction Cost[J].Journal of Gansu Sciences,2016,28(3):13-15.[岳毅蒙,王欣,趙銳.帶注資和交易費(fèi)用的擴(kuò)散模型的最優(yōu)分紅[J].甘肅科學(xué)學(xué)報(bào),2016,28(3):13-15.]