陳乾+鐘儀華+張晴霞

[摘 要] 很多學生學習高等數學中無窮級數章節(jié)知識時存在以下困境：概念性質和方法定理多，易混淆、難理解；知識脫節(jié)，思維方法不當；學習目的不明，學習積極性不高；知識繁瑣、方法欠佳；自主學習不夠，內化學習能力不強。對策包括改變教學模式，讓學生感知“學有所用、學而不難”，調動學生學習的積極性；改變教學方法，提高學生的自主學習能力；引導學生找規(guī)律，化繁為簡，降低學習難度 ；引導學生進行章節(jié)總結，將知識系統(tǒng)化和條理化。主要剖析了學生學習困境產生的原因，然后以現代教育理論為指導，從“教”與“學”方面，提出了幫助學生擺脫學習困境的策略。

[關鍵詞]無窮級數；冪級數；學習困境；對策；應用

[中圖分類號] O13 [文獻標識碼] A [文章編號] 2095-3437（2016）06-0137-04

高等數學是高等院校非數學專業(yè)必修的一門重要基礎課，而無窮級數是高等數學的一個重要組成部分，它是表示函數、研究函數的性質以及進行數值計算的有力工具。[1-2]無窮級數的理論豐富，應用廣泛。它是高等數學的最后一章，也是大一學生第二學期臨近期末時的學習內容。雖然無窮級數沒有太大的計算量，沒有太多嚴密的證明推導，但有很大一部分學生在學習這章時遇到了諸多困難。本文嘗試從教師的角度出發(fā)，總結學生在本章學習時遇到的疑惑和困難，探索解決這些問題的方法，以期破除學生不知為什么要學、怎樣學及怎樣用的學習困境，從而幫助學生提高無窮級數的學習質量。

一、無窮級數的學習困境

在多年的教學實踐中，我們收集和歸納了學生在學習過程中所遇到的各種問題，常見的問題有以下幾種。

（一）概念性質和方法定理多，易混淆、難理解

無窮級數這章包括常數項級數、冪級數和傅里葉級數三部分內容，其中，數項級數是本章的基礎，冪級數是重點，傅里葉級數是難點。每部分都涉及大量的概念、性質、方法和定理。這些知識使學生理不清頭緒，茫然不知所措。比如，常數項級數的斂散性判斷是本章的一個重點和關鍵點，其中涉及很多類型級數斂散性的判定方法和定理。然而，學生往往將它們混淆，不能正確理解方法和定理，不能恰當地使用判定方法和定理判定級數的斂散性，典型的錯誤有如下兩類。

1. 用正項級數審斂法判斷任意項級數的斂散性

（二） 知識脫節(jié)，思維方法不當

從多元函數微積分的學習跳躍到無窮級數，學生容易出現知識脫節(jié)現象。多元函數的微積分是高等數學的重點，也是難點。部分學生學習無窮級數時，思維還停留在前面知識里；有的學生還處于微積分知識的復習總結過程中；甚至有的學生還在查漏補缺階段等。然而，新的一章開始了，學生已遺忘本章所需的預備知識——數列極限、泰勒公式、定積分的計算等，而且內容從連續(xù)變到離散、從有限變到無限。這些都讓相當一部分學生難以適應，從而導致學生學習本章知識時出現困難。

（三）學習目的不明，學習積極性不高

也許是大學數學課堂教學的教學模式不恰當，使學生沒有明確為什么要學， 相反的，卻常使學生對所學的內容感到枯燥乏味，感覺數學就是一系列的公式推導和邏輯推理，就像是在玩數字游戲，甚至有部分學生發(fā)出了這樣的疑惑：把數學問題用抽象的符號表達出來并進行相應的符號運算的確美，可是這種“美”究竟有沒有實際意義？無窮級數這一章在這方面體現得尤其明顯。學生在學習中沒有看到級數的價值所在，“學習級數到底有什么用”的疑問時常出現。再加上內容繁瑣，更增加了學習的難度，直接導致學生對無窮級數部分知識的學習目的不明確，學習積極性不高。

（四） 知識繁瑣，方法欠佳

無窮級數包含常數項級數和函數項級數兩大部分。前部分是后部分的基礎，后部分是前部分的推廣。常數項級數又包括其概念和性質，正項級數的審斂法、交錯級數和任意項級數的審斂法，它們的關系是從一般——特殊——一般；函數項級數包括冪級數及其性質、函數展成冪級數、傅里葉級數及其性質、函數展成傅里葉級數，它們的研究方法雷同，但它們的研究對象、性質和函數展成函數項級數的條件和方法都有許多不同。很多學生在學習時，沒有好的學習方法，不能理清它們之間的關系，在頭腦中未形成清楚的知識結構關系，結果發(fā)出了“無窮級數是高等數學里最難的一章”的感慨，并陷入了以下學習困境：對常數項級數的斂散性判斷，常常無從下手；對冪級數和函數，摸頭不知尾；對泰勒級數的冗長公式、函數的麥克勞林級數展開式，往往無所適從；對傅里葉級數更是“望而生畏”。

（五）自主學習不夠，內化學習能力不強

根據我們的調查情況顯示，學生在很大程度上存在著學習盲目、盲從現象，缺乏具體的學習目標和學習規(guī)劃。一方面，進入大學后，部分學生還沒有實現從中學到大學的學習轉變，還沒有掌握適合大學的、適合自己的學習方法和策略，特別是難以實現學習過程中的自我監(jiān)控、自我調節(jié)和自我評價，從而導致自主學習存在困難。大部分學生仍處于被動學習狀態(tài)，對自主學習缺乏明確的認識，往往只是為了應付考試，或習慣于跟著教師走。另一方面，臨近期末，學生既要學習新課，又要著手進行復習，學習內容比較多，思想上有些懈怠，總體上缺乏對內化學習的積極思考和創(chuàng)新，從而使無窮級數的學習陷入困境。當然，就目前高等教育的情況而言，大學生在一定程度上缺乏自主學習的大環(huán)境，學校缺乏對學生有效的自主學習的指導和幫助，在專業(yè)教學過程中缺乏自主學習教育的滲透，缺乏培養(yǎng)學生自主學習能力的導思、導疑、導研式教學方法。教師對大學生的考核評價方式單一，難以起到調動學生學習積極性，促使他們內化學習的作用。

二、對策

根據上文分析的學生在學習無窮級數時遇到的疑惑和困境，我們結合大一學生的思維特點，提出以下教學策略，以期培養(yǎng)學生的自主學習能力，提高學生的綜合素質。

（一）改變教學模式，讓學生感知“學有所用、學而不難”，調動學生學習的積極性

無窮級數是數學中的一個非常重要的內容，它的應用除了體現在近似計算方面外，在方法或性質等其他方面的應用也非常廣泛。例如，可以借助冪級數的展開形式，解決一些較為復雜的問題；巧妙地利用函數冪級數展開式及冪級數的性質，能夠把一個復雜的函數以及一些不容易把握的函數表達成形式最簡單、性質最好的級數形式，用它解題往往思路清晰、條理清楚。[3]在教學中，教師可按“引入、引例、概念、方法或性質等及其應用示例、啟發(fā)討論與拓展、內容小結等”進行教學的設計和組織。通過引入、啟發(fā)、討論與拓展，讓學生明白所學知識在數學、學生所學專業(yè)等的應用，調動他們學習的積極性；通過引例抽象出概念、方法或性質，讓學生理解、掌握知識；通過例題講解，降低學習的難度，增強學生學習的信心，讓學生愿意學習。在具體操作上，教師可以依據所講內容的知識點，適當舉例介紹級數的應用，讓學生看到它的價值所在。下面從三個方面舉例說明級數的應用。

1. 在數學上的應用

冪級數在數學上的應用非常廣泛。例如，利用冪級數可以求函數的近似值，求函數的極限，求某些定積分，解微分方程等。關于這些應用，大部分高等數學教材都有所涉及。下面我們選取常見的、大一學生在學習中遇到的、能充分體現冪級數作用的例子，說明冪級數的價值。

（1）求函數的極限

1）利用函數的冪級數展開式求極限

對于某些較復雜的函數求極限問題，可以利用函數的冪級數展開式，使問題得以解決。這種方法很有效，是考研數學題中常見的一種求極限方法。

（2）利用冪級數求解微分方程

有關自然科學和工程技術中大量問題的研究，最后往往都被歸結為微分方程的求解問題。借助冪級數的形式，也可以求解部分微分方程。下面以二階線性微分方程為例加以說明。

能用初等函數的有限形式求解的微分方程只限于某些特殊的類型。因此，這種解的“有限形式”向“無限形式”的轉變，可以擴大微分方程的求解范圍。[4]

2. 在學生所學工程專業(yè)上的應用

大學數學是工科各專業(yè)重要的基礎課，工科各專業(yè)的學習離不開大學數學。無窮級數作為一個數學工具，在工程技術中的應用非常廣泛，在機電工程、橋梁工程、地質工程、水利水電工程、石油工程等方面尤其突出，特別是它以求解微分方程的形式被大量應用于上述各專業(yè)中。例如，利用三角級數等的推廣——分形級數來討論海洋工程與環(huán)境問題的分形級數解；利用無窮級數計算高陡邊坡橋梁基樁內力；傾斜荷載作用下單層均質土中基樁內力及位移的冪級數解；冪級數法用于感應透熱設備的渦流場計算及電溉設計；利用Fourier級數多尺度方法進行科學與工程計算，等等。

3. 在音樂上的應用

從畢達哥拉斯時代起，音樂在本質上就被認為是數學的，其最高成就屬于法國數學家傅里葉。傅里葉證明了所有的聲音，無論是噪音還是儀器發(fā)出的聲音，無論是復雜的聲音還是簡單的聲音，都可以用數學方式進行全面的描述。他得到了如下一個定理：任何周期性的聲音都可以表示為形如簡單的正弦函數表達式之和。這是傅里葉級數的一種特殊情況。

傅里葉的工作還有其哲學意義。通過傅里葉定理，人們清楚地意識到，藝術中最抽象的領域——音樂，能夠轉換成最抽象的科學——數學，最富有感情的藝術和最富有理性的學問有著密切的聯(lián)系。我們非常喜歡音樂，音樂與數學還有如此緊密的聯(lián)系。這難道不正是數學的魅力所在嗎？

（二）改變教學方法，提高學生的自主學習能力

目前，大多數大學教師采用“注入式”“滿堂灌”的教學模式，學生被動接受知識的現象依然大量存在，重知識傳授，輕能力培養(yǎng)的狀況仍未改變。這顯然不利于培養(yǎng)學生的自主學習能力。建構主義理論認為，教師要由知識的傳授者、灌輸者轉變?yōu)閷W生主動建構意義的幫助者、促進者，應當在教學中采取全新的教學模式、教學方法和教學設計思想，徹底摒棄以教師為中心、強調知識傳授、把學生當作知識灌輸對象的傳統(tǒng)教學模式。[5]在這一理論指導下，教師應當在教學過程中積極滲透自主學習的意義，把教學重心放在學生的“學”上，真正實現對學生的引導提升、幫助啟迪，與學生進行合作研究、探索交流。因此，在當今知識和信息爆炸的背景下，教師應采用啟發(fā)式、講練式、討論式的教學方法，積極推行探究式、研討式和因材施教的教學方法，培養(yǎng)學生自主學習、內化學習及進行創(chuàng)新研究的能力；對學生進行自主學習和主動學習方法的指導，培養(yǎng)學生獲取新知識的能力。

（三） 引導學生找規(guī)律，化繁為簡，降低學習難度

1. 抓住本質，化繁為簡

數學是一門高度抽象的學科。在學習數學時，定理、定義、性質等繁多內容往往讓我們無所適從，但只要我們抓住了本質，就把書讀薄了，就能理解、掌握知識，達到融會貫通、游刃有余的目的！

2. 歸納比較，找出異同

歸納、對比是學習知識、獲取知識的一種重要方法，也是學習高等數學的一種常用方法。通過歸納，可以把書讀薄，化繁為簡，掌握本質；通過對比，可以發(fā)現知識的共性與特性，從而抓住特點，掌握知識。比如，在常數項級數的斂散性判定中，學生容易混淆正項級數的三種審斂法：比較審斂法、比值審斂法和根值審斂法。它們的共同點是判斷的級數只能是正項級數，而且判定定理都是充分不必要條件。它們的區(qū)別在于各種方法適用的正項級數的一般項的形式特點不同。

3. 抓住重點，提高效率

大學里需要學習的知識內容很多，學生不可能對每個知識點平均分配時間，沒必要“事事”掌握，也不可能“事事”弄明白。如果我們抓住重點，學習就可以達到事半功倍的效果。在此基礎上，再去了解、理解其他知識，就容易很多。比如，學生普遍對“函數的冪級數展開式”這一部分內容感到比較棘手。實際上，我們只需要重點掌握ex，sinx， 的冪級數展開式。利用這些已知的展開式，根據冪級數和函數的四則運算性質和分析性質，再結合代數變形等相關技巧，就可以將常見的ax，cosx，ln（1+x），（1+x）α，arctanx等函數間接展開成冪級數，而對于直接展開法，我們只需要理解就行了。

（四）引導學生進行章節(jié)總結，將知識系統(tǒng)化和條理化

數項級數的斂散性判斷方法有很多， 學生使用時往往容易混淆，不能根據級數的類型、特點采用相應的斂散性判定方法；冪級數的收斂性與數項級數的斂散性有關，其和函數有很好的四則運算性質和分析性質，它們是函數展成冪級數方法的理論基礎，學生不能靈活使用冪級數的和函數及函數展成冪級數的方法，通常不知怎么選用相應方法；傅里葉級數的收斂性及函數展成傅里葉級數由于涉及三角函數系的正交性、定積分的計算以及函數類型眾多，與函數展成冪級數似乎有類同之處，學生如果不認真對內容進行分析、總結，找出其異同點，就會感到雜亂無章、難以理解。因此，學生只有在學懂的基礎上，歸納本章的知識要點，從各知識點的定義、性質、判定定理等進行總結，特別對數項級數斂散性的判斷方法、冪級數和傅里葉級數的收斂性的判定、冪級數的和函數的求法、函數展成冪級數及傅里葉級數的方法等進行分析，理清各種方法的條件、結論及它們的關系，對比分析它們的異同點，將知識系統(tǒng)化和條理化，在頭腦中形成清楚的知識結構關系圖。

三、結束語

本文從具有豐富高等數學教學經驗的教師角度出發(fā)，首先詳細分析了大一新生在一學年快結束時，在學習無窮級數部分知識遇到的種種疑惑和困境，剖析了其產生的原因；然后以現代教育理論和觀念為指導，從“教”與“學”方面，提出了幫助學生破除學習困境的策略。本文的分析和提出的策略，可為無窮級數的“教”與“學”提供有益的指導和幫助，也可為其他知識的“教”與“學”提供借鑒和參考。

[ 參 考 文 獻 ]

[1] 郭大立，謝祥俊，涂道興等.高等數學：下冊[M].北京：高等教育出版社，2009：130.

[2] 西北工業(yè)大學高等數學教研室.高等數學中的典型問題與解法[M].上海：同濟大學出版社，2001：586.

[3] 朱明星.冪級數的應用[J].中國科技信息，2011（10）.

[4] 丁同仁，李承治.常微分方程教程[M].北京：高等教育出版，2003：224-228.

[5] 余泓，郭進峰.基于建構理論的大學數學教學[J].青海師專學報（教育科學），2008（5）.

[責任編輯：鐘偉芳]