陶述兵

摘 要： 學(xué)生在數(shù)學(xué)課堂上的學(xué)習(xí)效果很大程度上取決于學(xué)生在課堂上思維參與的深度與廣度，取決于他們對(duì)數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)問題理解的程度.如何幫助學(xué)生理解、鞏固教學(xué)內(nèi)容？如何培養(yǎng)學(xué)生的理解力？問題是通向理解之路，好的問題是數(shù)學(xué)知識(shí)體系的生長(zhǎng)點(diǎn)，也是課堂教學(xué)的生長(zhǎng)點(diǎn)，而問題變式正是生產(chǎn)好問題的“法寶”.變式教學(xué)是課堂教學(xué)的一種重要的呈現(xiàn)形式，這種教學(xué)形式不僅能深刻地揭示教學(xué)內(nèi)容的數(shù)學(xué)本質(zhì)，而且能使數(shù)學(xué)課堂變得豐富而又精彩，有效調(diào)動(dòng)學(xué)生思維的積極性.

關(guān)鍵詞： 變式 以人為本 再創(chuàng)造

1.有效的變式問題必須有明確的目標(biāo)取向

變式問題要在學(xué)生已有的認(rèn)知基礎(chǔ)之上，并且要結(jié)合教學(xué)的內(nèi)容、目的和要求，要有助于學(xué)生對(duì)本節(jié)課學(xué)習(xí)內(nèi)容的深層理解和掌握.

【例1】（高二第二學(xué)期課本P45橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程例2）已知定點(diǎn)F（-4，0），F(xiàn)（-4，0）和動(dòng)點(diǎn)M（x，y），求滿足條件|MF| + |MF|=10的點(diǎn)M的軌跡方程.

變式1：已知定點(diǎn)F（-4，0），F(xiàn)（4，0）和動(dòng)點(diǎn)M（x，y），求滿足條件|MF|+|MF=8的點(diǎn)M的軌跡方程.

變式2：已知定點(diǎn)F（-4，0），F(xiàn)（4，0）和動(dòng)點(diǎn)M（x，y），求滿足條件|MF|+|MF|=2a（a>0）的點(diǎn)M的軌跡方程.

變式3：已知定點(diǎn)F（-4，0），F(xiàn)（4，0）和動(dòng)點(diǎn)M（x，y），求使得△FFM的周長(zhǎng)為18的點(diǎn)M的軌跡方程.

變式4：已知焦點(diǎn)F（-4，0），F(xiàn)（4，0），且經(jīng)過A（3，12/5）的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

變式5：已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)都在坐標(biāo)軸上，且關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，焦距為8，且經(jīng)過A（0，5），求它的標(biāo)準(zhǔn)方程.

變式1和變式2是為了展現(xiàn)橢圓概念的內(nèi)涵和外延，提示橢圓概念的本質(zhì)而設(shè)置的；變式3和變式4是為了讓學(xué)生有目的地開展思維活動(dòng)；變式5不僅將課本中的例題3融入其中，而且體現(xiàn)了橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的靈活應(yīng)用.這樣的變式處理能在不知不覺中喚起學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，有效地在短暫的時(shí)間內(nèi)提高學(xué)生運(yùn)用知識(shí)的能力和分析問題的能力，避免了計(jì)算的重復(fù)和浪費(fèi)，更有利于學(xué)生對(duì)概念的深層理解.

【例2】（高一第一學(xué)期課本P38其它不等式的解法例1）解不等式>2.

變式1：解不等式（x-1）（3x-2）（x+2）≤0.

變式2：解不等式≤0.

變式3：解不等式≤0.

變式4：解關(guān)于x的不等式>2（a∈R）.

課堂教學(xué)中設(shè)置變式1是為了引進(jìn)解答分式不等式的一般方法——標(biāo)根法；變式2與變式3是同一問題在不同角度、不同層面上的展現(xiàn)，考慮到學(xué)生在問題解決過程中可能產(chǎn)生的錯(cuò)誤，設(shè)置了“陷阱”；變式4引入?yún)?shù)增加了問題的難度，滲透了分類討論的思想.這樣的變式教學(xué)可使問題由淺入深，步步為營，達(dá)到一定的難度，而又不至于讓學(xué)生在學(xué)習(xí)時(shí)感到跨度太大，并可以有效發(fā)展學(xué)生思維的深度和廣度，培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)密性，在教學(xué)過程中有利于師生互動(dòng)，容易駕馭課堂.

2.有效的變式問題的設(shè)計(jì)要適時(shí)適量

變式問題式是對(duì)教材理解的合理補(bǔ)充和拓展，變式應(yīng)在學(xué)生思維水平的“最近發(fā)展區(qū)”，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律和心理特征，有效的變式問題應(yīng)考慮不同學(xué)段的呈現(xiàn)形式.

例3.（高一第一學(xué)期課本P63函數(shù)的運(yùn)算例2）設(shè)f（x）=x，g（x）=，p（x）=f（x）+g（x），求p（x），并利用y=f（x）及y=g（x）的圖像作出y=p（x）的圖像.

變式1：判斷函數(shù)y=x+的奇偶性，并寫出它的單調(diào)區(qū)間.

變式2：如果函數(shù)f（x）=x+，（m>0）在區(qū)間（0，2]上單調(diào)遞減，在區(qū)間[2，+∞）上單調(diào)遞增，求m的值.

變式3：求函數(shù)f（x）=x+，（m>0）在（0，+∞）上的最小值.

變式4：已知不等式x-mx+4≥0在（0，+∞）上恒成立，求m的取值范圍.

變式5：設(shè)常數(shù)m∈[1，4]，求函數(shù)f（x）=x+（1≤x≤2）的最大值和最小值.

變式6：當(dāng)n是正整數(shù)時(shí)，研究函數(shù)g（x）=x+（m>0）的單調(diào)性，并說明理由.

教材安排原題的目的是為了讓學(xué)生理解兩個(gè)函數(shù)和的意義，體會(huì)用函數(shù)圖像疊加的方法作函數(shù)圖像的過程.如果我們?cè)谡n堂上應(yīng)用上述變式問題顯然是不適時(shí)的，但如果我們?cè)谕瓿珊瘮?shù)的基本性質(zhì)的教學(xué)任務(wù)后，將這組變式問題中的變式1到變式3安排在復(fù)習(xí)課或習(xí)題課上，這不僅給學(xué)生提供了問題研究的方向，而且讓學(xué)生充分體會(huì)了函數(shù)y=ax+（a，b∈R）的基本性質(zhì)的研究過程.由于學(xué)生在高一第一學(xué)期處于初、高中的過渡階段，同一問題的變式不宜過難、過量，故上述問題的另外三個(gè)變式可安排在高三復(fù)習(xí)課中實(shí)施.

3.有效的變式教學(xué)應(yīng)在問題解決的過程中激活數(shù)學(xué)思想方法

數(shù)學(xué)問題的解決過程實(shí)際上就是在數(shù)學(xué)思想的指導(dǎo)下，運(yùn)用合理的數(shù)學(xué)方法探求問題答案的過程.在教學(xué)過程中，我們常常會(huì)碰到這樣的情況：學(xué)生不僅具備了解決問題所需要的全部知識(shí)，而且知道了相應(yīng)的解題方法，但仍然苦思不得其解，但經(jīng)提示點(diǎn)撥后又恍然大悟，這說明學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解停留在記憶和機(jī)械操作的層面，只知其一，不知其二，稍有變化，就不知所云.合理使用變式教學(xué)，可以啟迪學(xué)生思維，開拓解題思路，激活數(shù)學(xué)思想方法.

例5.求函數(shù)y=2sin（2x-）的最大值，并指出函數(shù)取最大值時(shí)x的集合.

變式1：求函數(shù)y=sin2x-cos2x的最大值，并指出函數(shù)取最大值時(shí)x的集合.

變式2：求函數(shù)y=2sinxcosx-2cosx+的最大值，并指出函數(shù)取最大值時(shí)x的集合.

變式3：求函數(shù)y=2sin（2x-），x∈0，的最大值，并指出函數(shù)取最大值時(shí)x的集合.

本題涉及正弦函數(shù)的有界性，兩倍角公式和輔助角公式.變式1和變式2的問題解決過程中均隱含了化歸思想；對(duì)變式的教學(xué)可滲透換元法和數(shù)形結(jié)合的思想.

例6.1993年高考數(shù)學(xué)試題（理工農(nóng)醫(yī)類）的第18題：已知異面直線a與b所成的角為50°，P為空間一點(diǎn)，則過P點(diǎn)且與a，b所成的角都是30°的直線有且僅有（ ）

（A）1條 （B）2條 （C）3條 （D）4條

變式1：已知異面直線a與b所成的角為50°，P為空間一點(diǎn)，則過P點(diǎn)且與a，b所成的角都是25°的直線有且僅有（ ）

（A）1條 （B）2條 （C）3條 （D）4條

變式2：已知異面直線a與b所成的角為50°，P為空間一點(diǎn)，則過P點(diǎn)且與a，b所成的角都是65°的直線有且僅有（ ）

（A）1條 （B）2條 （C）3條 （D）4條

變式3：已知異面直線a與b所成的角為50°，P為空間一點(diǎn)，則過P點(diǎn)且與所成的角都是75°的直線有且僅有（ ）

（A）1條 （B）2條 （C）3條 （D）4條

變式4：已知異面直線a與b所成的角為50°，P為空間一點(diǎn)，則過P點(diǎn)且與a，b所成的角α（0°≤a≤90°）都是的直線有且僅有？搖 ？搖？搖？搖條.

變式5：已知異面直線a與b所成的角為θ（0<θ<■），P為空間一點(diǎn)，則過P點(diǎn)且與a，b所成的角都是α（0°≤a≤90°）的直線有且僅有？搖？搖？搖 ？搖條.

這是一道源于課本又高于課本，既考查基礎(chǔ)知識(shí)又考查能力的好題，解決問題的方法是緊扣兩條異面直線所成角的定義，通過平移把問題轉(zhuǎn)化為過點(diǎn)的三條直線的位置關(guān)系的討論.教學(xué)中把它應(yīng)用于課堂，進(jìn)行變式訓(xùn)練，可使學(xué)生經(jīng)歷由特殊到一般的思維過程，學(xué)會(huì)“數(shù)學(xué)的思維”.

4.有效的變式教學(xué)應(yīng)關(guān)注學(xué)生的參與度

要突出以“教師為主導(dǎo)，學(xué)生為主體”的新課程理念，強(qiáng)化課堂教學(xué)效果很大程度上取決于學(xué)生的參與情況，這就首先要求學(xué)生有參與意識(shí).如何加強(qiáng)學(xué)生在課堂教學(xué)中的參與意識(shí)，使學(xué)生真正成為課堂教學(xué)的主人.一個(gè)理想、有效的變式問題，一組切實(shí)可行的變式題組，可體現(xiàn)課堂教學(xué)對(duì)象中各層次的現(xiàn)實(shí)需求，這是教科書無法達(dá)到的.

例7.（高一第一學(xué)期課本P70函數(shù)的基本性質(zhì)例7（1））求二次函數(shù)y=2x-3x+1的最小值.

變式1：求函數(shù)y=2x-3x+1，x∈[-1，1]的最小值.

變式2：求函數(shù)y=-2x-3x+1，x∈[-1，1]的最小值.

變式3：求函數(shù)y=2x-3x+1，x∈[-1，a]（a>-1）的最小值.

變式4：求函數(shù)y=2x-ax+1，x∈[-1，1]的最小值.

變式5：已知函數(shù)y=2x-ax+1，x∈[-1，1]的最小值為3，求a的值.

變式6：已知不等式2x-ax+1≥3，x∈[-1，1]在上恒成立，求a的取值范圍.

本題采用了由特殊到一般，由具體到抽象的動(dòng)態(tài)變式方法，由淺入深，設(shè)置了一連串的變式問題，不僅把二次函數(shù)在給定區(qū)間上的最大值與最小值的各種情況得以展現(xiàn)，突破了二次函數(shù)相關(guān)問題的教學(xué)難點(diǎn)，而且保證了不同層次學(xué)生的需求.這樣的變式教學(xué)可使不同層次學(xué)生的理解力得以相應(yīng)提高，真正體現(xiàn)了“以人為本”的關(guān)懷取向.

進(jìn)入終身學(xué)習(xí)的時(shí)代，學(xué)習(xí)能力更突出地成為人才的核心素質(zhì)，理解力是學(xué)習(xí)能力的最關(guān)鍵的指標(biāo).優(yōu)質(zhì)的變式問題，鮮活的課堂變式教學(xué)正是對(duì)學(xué)生理解力培養(yǎng)的有效途徑.讓我們共同努力，使變式教學(xué)成為數(shù)學(xué)的學(xué)術(shù)形態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)榻虒W(xué)形態(tài)的自然通道，使學(xué)生的學(xué)習(xí)過程成為在教師引導(dǎo)下的“再創(chuàng)造”過程.

參考文獻(xiàn)：

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