余榮軍 王建榮

“釘子板上的多邊形”是蘇教版五年級(jí)《數(shù)學(xué)》的教學(xué)內(nèi)容，教學(xué)這一課時(shí)，余榮軍老師使學(xué)生在探索規(guī)律、發(fā)現(xiàn)規(guī)律和表達(dá)規(guī)律的過程中，進(jìn)一步感受數(shù)學(xué)抽象的意義，培養(yǎng)比較、分析和簡(jiǎn)單推理的能力，增強(qiáng)發(fā)現(xiàn)問題、提出問題的意識(shí)，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。下面筆者擷取三個(gè)教學(xué)片段與同仁共賞。

【片段一】激趣生疑，引發(fā)猜想

師：你能在釘子板上圍一圍多邊形嗎？ 要求每人圍3個(gè)不同的多邊形。

師：你圍了哪些圖形？

生：長方形、正方形、梯形、五邊形、不規(guī)則圖形……

師：請(qǐng)你用數(shù)學(xué)的眼光仔細(xì)觀察自己圍的3個(gè)多邊形，你有什么想說或想問的嗎？

……

師：今天這節(jié)課我們就重點(diǎn)研究釘子板上多邊形的面積問題。

師：這是圍在釘子板上的多邊形，你覺得它們的面積大小可能會(huì)與什么有關(guān)系呢？猜猜看。

生1：跟釘子有關(guān)。

生2：可能與邊上的釘子數(shù)有關(guān)，因?yàn)槲野l(fā)現(xiàn)多邊形邊上的釘子越多，面積就越大。

生3：也可能跟里面的釘子數(shù)有關(guān)。

…………

【賞析】在本教學(xué)片段中，余老師開門見山地引入新課，直接問學(xué)生關(guān)于釘子板上多邊形的情況，顯得干凈利落。通過觀察引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行合理猜想，引出學(xué)習(xí)內(nèi)容，為新知的探究奠定了基礎(chǔ)。

【片段二】引導(dǎo)探究， 探尋規(guī)律

1.研究里面有一個(gè)釘子的多邊形面積

師：為了研究的方便，我們用點(diǎn)子圖來代替釘子板，這里的點(diǎn)子就相當(dāng)于釘子板上的釘子。

（教師隱去釘子板，顯示點(diǎn)子圖。）

師：今天的研究活動(dòng)，我們從簡(jiǎn)單的圖形入手，這3個(gè)圖形在圍法上有什么相同的地方？

（教師出示教材中3個(gè)圖形。）

生：里面都是一個(gè)釘子。

師：那么邊上的釘子數(shù)一樣嗎？（不一樣）

師：數(shù)數(shù)看，這個(gè)三角形的邊上有幾個(gè)釘子？

師：為了便于分析，我們把這些數(shù)據(jù)以表格（表格略）的形式呈現(xiàn)出來。

師：梯形呢？第三個(gè)多邊形呢？

師：你能求它們的面積嗎？三角形的面積是多少？你是怎么想的？

師：剛剛我們通過對(duì)圖形的觀察與思考得到了這3組數(shù)據(jù)，現(xiàn)在請(qǐng)大家仔細(xì)觀察、比較表格里的數(shù)據(jù)，你能有什么新的發(fā)現(xiàn)？

（板書：觀察。）

生：它們的面積都是邊上釘子數(shù)的兩倍。

師：如果用S表示這些多邊形的面積，n表示它們邊上的釘子數(shù)，你能用一個(gè)簡(jiǎn)單的式子把它們的關(guān)系表示出來嗎？

（板書：S=n÷2。）

師：是不是所有里面有一個(gè)釘子的多邊形都會(huì)有這樣的發(fā)現(xiàn)呢？

師：不能確定，是吧？那對(duì)我們來說這樣的發(fā)現(xiàn)就只是一種猜想，現(xiàn)在你認(rèn)為應(yīng)該怎么辦？

（板書：猜想、驗(yàn)證。）

師：那你們打算怎樣驗(yàn)證？

生：畫一個(gè)中間只有一個(gè)釘子的多邊形，先數(shù)出邊上的釘子數(shù)，求出它的面積，再看看邊上的釘子數(shù)是不是面積數(shù)的兩倍。

【賞析】學(xué)生很容易發(fā)現(xiàn)里面有一個(gè)釘子的多邊形面積規(guī)律，因此這個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)的著力點(diǎn)，教師重在讓學(xué)生領(lǐng)悟“觀察—猜想—驗(yàn)證—結(jié)論”這樣的規(guī)律探究的科學(xué)方法上，抓住數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的本質(zhì)，讓課堂充滿了“數(shù)學(xué)味”。

2.研究里面有兩個(gè)釘子的多邊形面積

師出示合作研究要求：

（1）在學(xué)習(xí)研究單上畫一個(gè)里面有2個(gè)釘子的多邊形，并完成表格；

（2）將所得數(shù)據(jù)填在小組研究單上；

（3）組內(nèi)觀察、比較每組數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)規(guī)律。

（小組匯報(bào)。選擇第三小組和第五小組的研究單，組長進(jìn)行匯報(bào)。第三小組的結(jié)論：S=n÷2+1。第五小組的結(jié)論：n=2S-2。）

得出規(guī)律，板書：S=n÷2+1。

【賞析】里面有兩個(gè)釘子的多邊形面積規(guī)律是本課的教學(xué)難點(diǎn)，教師讓學(xué)生運(yùn)用前面得出的研究方法嘗試著探尋規(guī)律，采用獨(dú)立思考與小組合作相結(jié)合的方式得出初步結(jié)論，探究既有挑戰(zhàn)性，又有激勵(lì)性，充分激活了學(xué)生的潛能。

3.引導(dǎo)類推，發(fā)現(xiàn)規(guī)律

師：現(xiàn)在我們一起觀察黑板上的兩個(gè)發(fā)現(xiàn)，請(qǐng)你先讀一讀，上下聯(lián)系起來比一比，再靜靜地想一想：如果想接著寫下去，當(dāng)里面有3個(gè)釘子、4個(gè)釘子時(shí)，S又會(huì)等于什么呢？有什么新的想法嗎？

師：大家都有想法是嗎？先不說出來，請(qǐng)同桌兩人一組一人驗(yàn)證里面有3個(gè)釘子的猜想，另外一人驗(yàn)證里面有4個(gè)釘子的猜想，驗(yàn)證好后再互相交流一下自己的想法，看看是不是跟你的猜想是一致的，好嗎？

師：都跟你的猜想一致嗎？誰愿意交流一下？

（師生交流發(fā)現(xiàn)：里面有3個(gè)釘子時(shí)，S=n÷2+2；里面有4個(gè)釘子時(shí)，S=n÷2+3。板書：S=n÷2+2，S=n÷2+3。）

師：再次觀察這些發(fā)現(xiàn)，現(xiàn)在你還能接著寫下去嗎？

師：這樣寫下去寫得完嗎？有什么新的想法？

生：用一個(gè)式子表示。

師：說出你的想法。

生：用字母表示里面的釘子數(shù)，面積數(shù)等于邊上的釘子數(shù)除以2加上里面的釘子數(shù)減1。

師：如果用字母b表示里面的釘子數(shù)，面積S等于什么呢？

生：S=n÷2+b-1。

【賞析】教師引導(dǎo)學(xué)生用類比推理的方法初步得出里面是3個(gè)及4個(gè)釘子的多邊形面積，再進(jìn)行驗(yàn)證，發(fā)現(xiàn)規(guī)律。并再次讓學(xué)生通過觀察、討論、驗(yàn)證得出釘子板上多邊形面積的規(guī)律，層次分明，充盈著濃濃的“數(shù)學(xué)味”。

【片段三】文化滲透，總結(jié)評(píng)價(jià)

1. 回顧：今天學(xué)習(xí)了什么內(nèi)容？

2. 整理：通過什么方法進(jìn)行研究的？

3.文化滲透：介紹奧地利數(shù)學(xué)家喬治·皮克與“皮克定理”；介紹我國著名數(shù)學(xué)家閔嗣鶴所著的《格點(diǎn)和面積》，了解正方形格點(diǎn)多邊形，拓展三角形格點(diǎn)多邊形。

【賞析】縱觀余老師這節(jié)數(shù)學(xué)課，關(guān)注的是營造濃濃的“數(shù)學(xué)味”。教師能以數(shù)學(xué)內(nèi)容為源泉，以數(shù)學(xué)問題為紐帶，以數(shù)學(xué)思考為靈魂，以數(shù)學(xué)思想為核心，以數(shù)學(xué)文化為背景構(gòu)建有“數(shù)學(xué)味”的課堂。

1.創(chuàng)設(shè)情境，生成問題。愛因斯坦指出：提出一個(gè)問題往往比解決一個(gè)問題更重要。我們的理解是：解決一個(gè)問題也許只是一項(xiàng)技能的形成，而提出新的問題，卻需要有創(chuàng)造性的想象力，是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力的有效路徑。怎樣讓學(xué)生提出有價(jià)值的數(shù)學(xué)問題呢？以本課的“激趣生疑，引發(fā)猜想”這一環(huán)節(jié)為例，教師創(chuàng)設(shè)了讓學(xué)生圍多邊形的活動(dòng)情境，一方面旨在激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，另一方面使學(xué)生在“動(dòng)手做”的過程中初步感受到圍的圖形不同，邊上的釘子數(shù)不同，里面的釘子數(shù)也就不同，能主動(dòng)提出有價(jià)值的數(shù)學(xué)問題，增強(qiáng)提出問題的意識(shí)。如果教師不加以引導(dǎo)，學(xué)生會(huì)提出許多非數(shù)學(xué)本質(zhì)性的問題，因此課堂上余老師特別指出：請(qǐng)你用數(shù)學(xué)的眼光去觀察所圍的圖形，你有什么想說或想問的？這樣淡化了情境的“生活味”，放大了情境的“數(shù)學(xué)味”，課堂上生成的問題更具指向性，激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)探究的內(nèi)驅(qū)力。

2.方法引領(lǐng)，探究規(guī)律。蘇霍姆林斯基說：只有能夠激發(fā)學(xué)生去進(jìn)行自我教育的教育，才是真正的教育。本課在“引導(dǎo)探究，探尋規(guī)律”的環(huán)節(jié)中，教師主要采取由扶到放的方法，讓學(xué)生學(xué)會(huì)自主學(xué)習(xí)，進(jìn)行自我教育。這一環(huán)節(jié)共分為4個(gè)層次，其中第一個(gè)層次是師生共研多邊形里面有1個(gè)釘子的多邊形面積規(guī)律，規(guī)律的發(fā)現(xiàn)并不難，所以教師的教學(xué)重點(diǎn)定位在“你是怎樣發(fā)現(xiàn)這樣的規(guī)律”的話題研討上，課堂上充分給予學(xué)生回顧反思的時(shí)間，讓學(xué)生形成探尋規(guī)律的方法，即觀察—猜想—驗(yàn)證—結(jié)論。在學(xué)生初步領(lǐng)悟探尋規(guī)律的方法后，余老師放手讓學(xué)生自主探究多邊形里面有2個(gè)釘子的面積規(guī)律，進(jìn)入第二層次的學(xué)習(xí)。這是本節(jié)課的學(xué)習(xí)難點(diǎn)，學(xué)習(xí)具有挑戰(zhàn)性，但有了前面方法的引領(lǐng)以及小組之間的同伴互助，課堂上學(xué)生研究的熱情很高，大多數(shù)學(xué)生已儼然像個(gè)小小數(shù)學(xué)家，學(xué)會(huì)了在觀察中思考，在思考中提出猜想，并進(jìn)行驗(yàn)證。探究的過程中學(xué)生經(jīng)歷著困惑與頓悟，享受著成功的愉悅，“數(shù)學(xué)味”充滿了探究活動(dòng)的整個(gè)過程，充分激活了學(xué)生的學(xué)習(xí)潛能。

3.史料呈現(xiàn)，彰顯文化味。《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出：“數(shù)學(xué)是人類文化的重要組成部分?！睉?yīng)該說課堂上一切有效的活動(dòng)都是數(shù)學(xué)文化的融入。數(shù)學(xué)文化，可憑生活體現(xiàn)它的價(jià)值，可借活動(dòng)詮釋它的本質(zhì)，可用美學(xué)展示它的魅力。而本節(jié)課中教師除了滲透數(shù)學(xué)文化，還充分推介數(shù)學(xué)史料，以彰顯它的內(nèi)涵。教學(xué)中，教師通過史料呈現(xiàn)與問題提及，使學(xué)生在受到文化熏陶的過程中感受到了規(guī)律的有趣與實(shí)用，同時(shí)許多新的問題也在學(xué)生的頭腦中膨脹，盡管本節(jié)課結(jié)束了，但學(xué)生的神情告訴筆者，他們探究的熱情不減，行動(dòng)不止，“數(shù)學(xué)味”在“文化味”的烘托下繼續(xù)延展。

（作者單位：江蘇省鹽城市新河實(shí)驗(yàn)小學(xué)）

□責(zé)任編輯 周瑜芽

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