曹雅玲

【摘要】作者根據(jù)在美國培育職前教師的教學(xué)經(jīng)驗，來探討及分享美國職前教師在小數(shù)學(xué)習(xí)的迷思概念，并且提出有效的教學(xué)方法.

【關(guān)鍵詞】美國職前教師；小數(shù)學(xué)習(xí)；小數(shù)迷思概念

[小數(shù)]這個主題在小學(xué)數(shù)學(xué)教育上是一個重要的教學(xué)重點，從過去的研究結(jié)果及文獻中發(fā)現(xiàn)，發(fā)現(xiàn)不只是學(xué)童學(xué)習(xí)小數(shù)有許多的迷思概念產(chǎn)生，即使是職前教師也無可避免.小數(shù)的意義是由分?jǐn)?shù)與整數(shù)概念之延伸與統(tǒng)整所建立起來的（Behr&Post，1988），小數(shù)也可用于為以10為基底的位值系統(tǒng)從兩個方向無限延伸到很小和很大的值（van de Walle，1998）.以此觀點看來，小數(shù)的意義是來自分?jǐn)?shù)；小數(shù)的結(jié)構(gòu)是來自整數(shù)的位值概念，也可說小數(shù)的位值系統(tǒng)是依據(jù)整數(shù)的位值系統(tǒng)而來的.但當(dāng)職前教師無法清楚掌握小數(shù)概念與問題時，往往會利用這些錯誤概念來解釋，例如將其所知的整數(shù)或分?jǐn)?shù)知識過度類推而產(chǎn)生教學(xué)的錯誤.

根據(jù)作者教學(xué)經(jīng)驗及文獻研究的發(fā)現(xiàn)，美國職前教師所產(chǎn)生對小數(shù)迷思概念可由以下幾方面來加以討論：小數(shù)的錯誤概念與迷思、先備知識不足和小數(shù)計算的迷思的幾方面來加以討論.

美國職前教師在小數(shù)概念上常出現(xiàn)的錯誤概念與迷思與先備知識不足

1.小數(shù)與整數(shù)的不同處

小數(shù)與整數(shù)的位值都是由左向右遞減，每一個位值都是其右邊的十倍；小數(shù)部分離小數(shù)點越遠，其位值越小，而整數(shù)部分則是離小數(shù)點越遠，其位值越大.如果職前教師理解不夠，就極易產(chǎn)生整數(shù)法則的迷思概念（Resnick，et al.，1989），誤認(rèn)為小數(shù)點后數(shù)字越多其值越大（如4.21會比4.8大）、或?qū)⑿?shù)點后的數(shù)位讀成整數(shù).如在比較小數(shù)的大小時，有的認(rèn)為小數(shù)點后的數(shù)字越多其值越大，也有的認(rèn)為其值越小，如0.7會小于0.48等錯誤想法.如在教學(xué)中且借由認(rèn)識小數(shù)與整數(shù)之間的異同，加強小數(shù)與整數(shù)結(jié)構(gòu)上的學(xué)習(xí)，教學(xué)的重點應(yīng)該著重在概念性的發(fā)展與小數(shù)符號的意義.

2.小數(shù)與分?jǐn)?shù)的不同處

小數(shù)可被視為不帶分母的十進制分?jǐn)?shù)，雖然小數(shù)和分?jǐn)?shù)都可以用來代表不滿一個單位量的量，但在其符號表征上，卻有著極大的不同：分?jǐn)?shù)的分母代表著一個單位量被切割的份數(shù)，而分子則代表得到的份數(shù)，但小數(shù)的數(shù)字卻只代表得到的份數(shù)，而其切割的份數(shù)則被隱藏在位值內(nèi)；分?jǐn)?shù)的分割量是隨著分母的不同而得到不同的分?jǐn)?shù)，但小數(shù)的分割則被限制在10的冪次方中，如果職前教師理解不夠，就極易產(chǎn)生分?jǐn)?shù)法則的迷思概念（Resnick，et al.，1989），誤以為小數(shù)點后數(shù)字越多其值越?。ㄈ?.45會比3.2?。?、或分?jǐn)?shù)與小數(shù)關(guān)系是由表面形式互換而成（如5.3和3/5相等）.在分?jǐn)?shù)與小數(shù)的轉(zhuǎn)換時，會將分母當(dāng)整數(shù)、分子當(dāng)小數(shù)或分子當(dāng)整數(shù)、分母當(dāng)小數(shù)，如5/8會當(dāng)成5.8或8.5；小數(shù)與分?jǐn)?shù)的不同處以及小數(shù)與整數(shù)的不同處，如果職前教師對小數(shù)的理解不夠，就極易產(chǎn)生迷思概念（Tsao，2005）.學(xué)生整數(shù)與分?jǐn)?shù)的先備知識一方面會幫助學(xué)習(xí)小數(shù)；而另一方面如先備知識不足時也會干擾學(xué)生建構(gòu)正確的小數(shù)概念.由此可見，小數(shù)的知識是從分?jǐn)?shù)和整數(shù)而來，而其迷思亦由分?jǐn)?shù)與小數(shù)而來；所以在教學(xué)時，應(yīng)對分?jǐn)?shù)與整數(shù)的概念進行澄清.在含有整數(shù)的小數(shù)中亦可用此種方式進行位元值的教學(xué)，如：8.437=8+4/10+3/100+7/1000.這種由分?jǐn)?shù)到小數(shù)的轉(zhuǎn)換可以幫助進行位值的教學(xué)；此方式不僅可以澄清其位值概念亦可對小數(shù)與分?jǐn)?shù)的轉(zhuǎn)換有更進一步的認(rèn)識，因此可藉由這三者（分?jǐn)?shù)、小數(shù)、整數(shù)）的連結(jié)加深其概念的理解，以避免美國職前教師將分?jǐn)?shù)和整數(shù)概念誤用.

3.缺乏小數(shù)稠密性的概念

也有不少美國職前教師缺乏小數(shù)稠密性的概念，也就是不知數(shù)與數(shù)之間可以無限制的被分割等.從分?jǐn)?shù)的角度切入，不難了解有限小數(shù)是由[十等分]分割產(chǎn)生的.百分之一的份量可從十分之一的份量再分割十等分產(chǎn)生的，而千分之一的份量可從百分之一的份量再分割十等分產(chǎn)生的……，因此，十等分的活動可任意無限制繼續(xù)下去.而此無限制被分割的觀念正可用來說明小數(shù)稠密性的性質(zhì)，亦即，任意兩個小數(shù)之間有無限多個小數(shù)存在.教師可利用數(shù)線的無限制分割，加強小數(shù)稠密性的概念，因為0.1是由1切割成十等份而來、0.01是由0.1割成十等份而來的、0.001是由0.01割成十等份而來的……，有助于理解小數(shù)稠密性的概念并且有助于小數(shù)知識的建構(gòu).在教學(xué)進行時，透過等分割的概念，去解釋小數(shù)的十等分與整數(shù)的十倍不同的地方，以解釋小數(shù)點后面的數(shù)值為什么不能精讀的原因.

4.小數(shù)與數(shù)線對應(yīng)的困難

美國職前教師在數(shù)在線讀小數(shù)或標(biāo)小數(shù)時，常見會弄錯兩格之間的單位，如0.01與0.02分成十格時，不知兩小格間代表的是0.001；且在小數(shù)與數(shù)線對應(yīng)的理解的確有其困難.錯誤的主要原因是無法判斷每一小間隔所代表的大小，習(xí)慣以1、0.1或0.01當(dāng)作每一小間隔的大小，再點數(shù)間隔來做答.此反映出美國職前教師在小數(shù)與數(shù)線對應(yīng)關(guān)系時，未能引用分?jǐn)?shù)思考.在小數(shù)教學(xué)時，是需先透過分?jǐn)?shù)的意義來幫助學(xué)生了解小數(shù)的意義，除了強調(diào)小數(shù)和分?jǐn)?shù)之間的關(guān)系（1被十等分割后每一等份是0.1和0.1=1[]10；1被百等分割后每一等份是0.01和0.01=1[]100）需作加強外，也要進一步透過整數(shù)的十進制記數(shù)系統(tǒng)，讓學(xué)生了解1、0.1以及0.01彼此的關(guān)系，也就是說10個0.1等于1和10個0.01等于0.1.教師透過多元化的情境教學(xué)，使用不同教具來表征小數(shù)符號表示單位被等分割后的結(jié)果和了解1、0.1以及0.01彼此的關(guān)系.教學(xué)中也應(yīng)強調(diào)數(shù)在線所給定相關(guān)的參考點數(shù)值，才能得知數(shù)線中的起始點與透過兩個參考點間等分割的情況以判斷每一間隔的大小，進而能正確標(biāo)示出數(shù)在線各點的小數(shù)數(shù)值.

5.度量衡單復(fù)名數(shù)的轉(zhuǎn)換問題

美國職前教師在度量衡單復(fù)名數(shù)轉(zhuǎn)換時，易未考慮到大單位與小單位間的轉(zhuǎn)換關(guān)系，常以小數(shù)點來當(dāng)作大單位與小單位的分界，易放錯小數(shù)點，如1公尺20公分轉(zhuǎn)換到1.2公尺時，不能順利的進行轉(zhuǎn)換；將小數(shù)點做為大單位與小單位的區(qū)隔，如下列錯誤的發(fā)生；8.9公斤是8公斤9公克、

5公尺9公分是5.9公尺，在進行度量衡單復(fù)名數(shù)轉(zhuǎn)換教學(xué)時，復(fù)習(xí)度量衡單復(fù)名數(shù)之間的關(guān)系，以減少此類的錯誤出現(xiàn)，

美國職前教師在小數(shù)計算上的迷思

1.小數(shù)乘法

由于小數(shù)加減法是對齊小數(shù)點后計算，而小數(shù)乘法是向右對齊后來計算，兩者間的差異容易讓學(xué)生感到困惑，因而混用.美國職前教師常見小數(shù)乘法迷思有：（1）職前教師最易放錯積的小數(shù)點，尤以被乘數(shù)與乘數(shù)的積都是相同小數(shù)字的題目最明顯；常見的錯誤例子如：0.2×0.4=0.8、1.27×2.35=298.45；（2）職前教師計算前先將被乘數(shù)與乘數(shù)的小數(shù)點對齊，計算后再將小數(shù)點放下；（3）有[乘變大]的錯誤迷思.由于小數(shù)加減法是對齊小數(shù)點后計算，而小數(shù)乘法是向右對齊后來計算，兩者間的差異容易讓學(xué)生感到困惑，因而混用.針對這類錯誤迷思問題，建議教師利用先將小數(shù)換成數(shù)、利用分?jǐn)?shù)的分?jǐn)?shù)倍概念進行解題后，再將分?jǐn)?shù)換成小數(shù)，再借此引導(dǎo)學(xué)生小數(shù)相乘會變小的概念.如：0.2=2/10；0.4=4/10；0.2×0.4=2/10×4/10=8/100=0.08

在小數(shù)乘法計算的教學(xué)方面，建議教師在透過分?jǐn)?shù)乘法協(xié)助學(xué)生理解積數(shù)小數(shù)點的處理原則時，應(yīng)先復(fù)習(xí)分母為10的冪次的分?jǐn)?shù)與小數(shù)互換，并協(xié)助學(xué)生從中找出分母與小數(shù)數(shù)中小數(shù)點位置的關(guān)系.

2.小數(shù)除法

美國職前教師小數(shù)除法常見迷思有：（1）職前教師易放錯商與余數(shù)的小數(shù)點；（2）在有余數(shù)的除法中，常忽略余數(shù)的小數(shù)點，或是將余數(shù)的小數(shù)點對齊移位后的被除數(shù)小數(shù)點等錯誤的想法；（3）職前教師很難接受對于除數(shù)小于1，商比被除數(shù)大等事實.在小數(shù)除法計算的教學(xué)方面，建議教師可先讓學(xué)生操作具體物解決除法問題，產(chǎn)生將大單位換成小單位的需求，再透過定位板連結(jié)具體操作過程與直式算則，進而理解商和余數(shù)小數(shù)點的處理原則.此外教師可向?qū)W生加強在小數(shù)除法中，商與余數(shù)的小數(shù)點皆要對齊原被除數(shù)（未移位前）的小數(shù)點這個運算概念，避免商與余數(shù)小數(shù)點亂放的情況產(chǎn)生.另針對學(xué)生對于[除愈小]的迷思問題，建議教師亦可利用小數(shù)換成分?jǐn)?shù)，利用分?jǐn)?shù)的除法進行解題后，再將分?jǐn)?shù)換成小數(shù)，再借此引導(dǎo)學(xué)生小數(shù)相除會變大的概念.如：0.9÷0.3=9/10÷3/10=9/10×10/3=6/3=3.在小數(shù)的計算上的教學(xué)，可以先發(fā)展小數(shù)的估算能力，小數(shù)的紙筆運算能力并不能幫助美國職前教師了解小數(shù)的運算，可透過小數(shù)的估算，才能對小數(shù)的計算有所幫助，而小數(shù)的估算應(yīng)從位值概念開始，而不是去強調(diào)強記背誦或符號的計算.

【參考文獻】

Behr，M.J.，&Post，T.R.（1988）.Teaching rational number and decimal concept.In T.R.Post（Eds.），Teaching mathematics in Grades K8：Reach Based Methods.Educational Studies in Mathematics，12，399-420.