陳才學(xué)，劉偲艷，蘭永紅（湘潭大學(xué)信息工程學(xué)院，湖南湘潭411105）

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永磁同步電機(jī)二階迭代學(xué)習(xí)控制

陳才學(xué)，劉偲艷，蘭永紅
（湘潭大學(xué)信息工程學(xué)院，湖南湘潭411105）

摘要：針對(duì)永磁同步電機(jī)存在的周期性脈動(dòng)問(wèn)題，提出了一種二階PD-型迭代學(xué)習(xí)控制策略，該算法能夠有效實(shí)現(xiàn)最優(yōu)跟蹤控制。利用卷積的推廣Young不等式，獲得了系統(tǒng)跟蹤誤差在Lebesgue-p范數(shù)意義下嚴(yán)格單調(diào)收斂的充分條件。進(jìn)一步，在定義Q因子的基礎(chǔ)上，將一階和二階迭代學(xué)習(xí)控制的收斂速度進(jìn)行比較，獲得了二階迭代學(xué)習(xí)控制優(yōu)于一階迭代學(xué)習(xí)控制的充分條件。最后，仿真驗(yàn)證了該方法的有效性。

關(guān)鍵詞：迭代學(xué)習(xí)控制；永磁同步電機(jī)；Lebesgue-p范數(shù)；跟蹤誤差

永磁同步電機(jī)（PMSM）由于其功率密度大、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量較小和效率高等明顯優(yōu)勢(shì)，而廣泛應(yīng)用于先進(jìn)制造領(lǐng)域的伺服傳動(dòng)和機(jī)器人技術(shù)，但其轉(zhuǎn)速脈動(dòng)問(wèn)題一直被認(rèn)為是工業(yè)應(yīng)用中不可忽視的問(wèn)題［1］。為盡量減小永磁同步電機(jī)轉(zhuǎn)速脈動(dòng)，實(shí)現(xiàn)最優(yōu)跟蹤控制，多種方案曾被提出。這些方案大致可分為兩大類［1］：第1類通過(guò)改進(jìn)永磁同步電機(jī)的設(shè)計(jì)，使其更接近于理想狀態(tài)，從而減小轉(zhuǎn)速脈動(dòng)。如斜槽和分?jǐn)?shù)槽繞組［2］，但這并不能完全消除電磁、負(fù)載轉(zhuǎn)矩，反而增加電機(jī)造價(jià)；第2類通過(guò)改善電機(jī)的主控系統(tǒng)來(lái)抑制脈動(dòng)分量。文獻(xiàn)［3］使用諧波電流注入法消除諧波，文獻(xiàn)［4］提出一種自適應(yīng)控制技術(shù)，文獻(xiàn)［5］提出利用在線估計(jì)技術(shù)的閉環(huán)控制算法。這些控制技術(shù)能較好地減小轉(zhuǎn)速，但都依賴于PMSM精確的數(shù)學(xué)模型。迭代學(xué)習(xí)控制（ILC）利用歷史信息構(gòu)成當(dāng)前控制量，不依賴控制系統(tǒng)的精確模型，只根據(jù)實(shí)際與目標(biāo)輸出的誤差來(lái)產(chǎn)生控制信號(hào)，使系統(tǒng)沿目標(biāo)軌跡快速精確跟蹤［6-7］；文獻(xiàn)［8］提出ILC控制方法，但只利用系統(tǒng)當(dāng)前的信息，沒(méi)有應(yīng)用歷史信息。高階ILC利用歷史迭代數(shù)據(jù)構(gòu)造學(xué)習(xí)律，可以獲得更高的跟蹤精度［9-12］。文獻(xiàn)［9］證明了高階ILC規(guī)則跟蹤性能更好。

本文提出二階PD-ILC，通過(guò)比例、積分的配置可獲得快速、高精度的跟蹤控制，在定義Q因子的基礎(chǔ)上對(duì)二階ILC誤差收斂速度與一階ILC誤差收斂速度進(jìn)行比較，最后，通過(guò)Matlab仿真及實(shí)驗(yàn)證明了系統(tǒng)的有效性。

1　PMSM數(shù)學(xué)模型

對(duì)于表面貼裝式永磁同步電機(jī)，同步旋轉(zhuǎn)（d-q）坐標(biāo)下的等效數(shù)學(xué)模型為

式中：id，iq為d，q軸定子電流；ud，uq為d，q軸定子電壓；L，R分別為定子電感、電阻；ω為轉(zhuǎn)子機(jī)械角速度；Ψf為永磁體產(chǎn)生的磁鏈；J為轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；B為摩擦系數(shù)；TL為電機(jī)負(fù)載轉(zhuǎn)矩；p為同步電機(jī)的極對(duì)數(shù)。

由永磁同步電機(jī)數(shù)學(xué)模型可知，PMSM各狀態(tài)量之間存在耦合關(guān)系，增大了PMSM控制系統(tǒng)的難度。這里運(yùn)用id=0控制策略對(duì)PMSM進(jìn)行解耦線性化，即令定子電樞直流分量的期望電流值為零，設(shè)x1=iq，x2=w。PMSM數(shù)學(xué)模型可簡(jiǎn)化為

2　迭代學(xué)習(xí)控制器

迭代學(xué)習(xí)作為一種有效的改善系統(tǒng)跟蹤性能的控制方法，其實(shí)際上是一種糾錯(cuò)方法和存儲(chǔ)前一周期數(shù)據(jù)和錯(cuò)誤信息的存儲(chǔ)器。控制器計(jì)算理想輸出與實(shí)際輸出之間的誤差，生產(chǎn)新的控制量并存儲(chǔ)起來(lái)以便下一周期使用。

式（4）等價(jià)于動(dòng)態(tài)系統(tǒng)：

式中：［0,T0］為運(yùn)行持續(xù)時(shí)間；xk+1(t)，yk+1(t)，uk+1(t)分別為系統(tǒng)第k+1次迭代運(yùn)行狀態(tài)量，控制輸出量和控制輸入量；A，B，C分別為相應(yīng)維數(shù)的矩陣，且假設(shè)CB≠0。

L∈｛L(1)｝?｛L(c1,c2)｝對(duì)系統(tǒng)式（5）的控制過(guò)程被稱為迭代學(xué)習(xí)過(guò)程（ILP(L)）。ILP(L)目標(biāo)為生成控制輸入量uk+1(t)，使系統(tǒng)式（5）的實(shí)際輸出yk+1(t)精確跟蹤目標(biāo)yd(t)，即

定義跟蹤誤差為

定理：假設(shè)向量函數(shù)f：［0,T0］→Rm，f(t)= ［f1(t),…,fm(t)］T，那么向量函數(shù)f的Lebesgue-p范數(shù)［13］為

由文獻(xiàn)［14］可知：

即上確界范數(shù)

是Lebesgue-p范數(shù)的1個(gè)特例。

引理［14］：設(shè)標(biāo)量函數(shù)g∈R和h∈R均可積，1≤p,q,r≤∞，1/r=1/p+1/q-1；則g·h∈R且||g·h(·)||r≤||g(·)||q||h(·)||p。當(dāng)r=p，q=1，即為Young不等式||g·h(·)||r≤||g(·)||1||h(·)||p。

定義1：設(shè)｛ek(·)｝=｛ek(t)|ek(t)∈R,k=1,2,…, t∈［0,T0］｝是誤差極限為ek*(·)的收斂函數(shù)的集合。當(dāng)k→∞時(shí)，有

且定義：

假設(shè)S(L,e*(·))是ILP(L)誤差極限為e?(·)的收斂函數(shù)數(shù)列的集合，定義ILP(L)的Q因子為

2.1二階PD型迭代學(xué)習(xí)策略

設(shè)yd(t),t∈［0,T0］為目標(biāo)輸出，構(gòu)造二階PD 型ILC規(guī)則(L(c1,c2))如下：

式中：下標(biāo)k為迭代次數(shù)；Γp1，Γp0分別為一階、二階比例增益；Γd1，Γd0分別為一階、二階微分增益；c1,c2分別為一、二階迭代學(xué)習(xí)成分加權(quán)平均系數(shù)，滿足0＜c1＜1,0＜c2＜1，c1+c2=1；ek為目標(biāo)輸出yd(t)與實(shí)際輸出yk(t)的誤差，ek=yd(t)-yk(t)。

由于x(0)=0，可得ek(0)=0,k=1,2,3,…。

結(jié)合式（5）、式（6），可得L(c1,c2)作用下系統(tǒng)跟蹤誤差為

對(duì)上式等式右邊最后一項(xiàng)采用分部積分得：

對(duì)上式等式兩邊分別取Lebesgue-p范數(shù)，并應(yīng)用廣義Young不等式可得：

即可得：

2.2一階PD型迭代學(xué)習(xí)策略

假設(shè)式（6）中，當(dāng)c1=1時(shí)，控制律退化為一階PD型ILC規(guī)則（L(1)）如下：

式（8）中Γp1,Γd1與式（6）相同，即uk(t)+Γp1ek(t)+ Γd1e?k(t)為式（6）一階成分。

結(jié)合（5）、式（8），可得L(1)作用下系統(tǒng)跟蹤誤差為

因?yàn)閑k(0)=yd(0)-yk(0)=0，則上式可化簡(jiǎn)為

對(duì)上式等式兩邊分別取Lebesgue-p范數(shù)，并應(yīng)用廣義Young不等式可得：

整理可得：

令

即可得：

3　收斂速度分析

定義2：設(shè)L1,L2∈｛L(1)｝?｛L(c1,c2)｝為任意2個(gè)迭代學(xué)習(xí)規(guī)則，Qp（L1，e*(·)），Qp（L2，e*(·)）分別為ILP(L1)和ILP(L2)的Q因子。

由文獻(xiàn)［15］可知，Q因子越小，收斂速度越快。從而L(1),L(c1,c2)收斂速度快慢的比較問(wèn)題轉(zhuǎn)換為Q因子值大小的比較問(wèn)題。

二次多項(xiàng)式ρ2-c1ρ1ρ-c2ρ2被稱為ILP(L(c1,c2))的特征多項(xiàng)式。那么，不等式（9）解的范圍在特征多項(xiàng)式2個(gè)零點(diǎn)內(nèi)，即：

由于c1+c2=1，又ρ＞0。則上述不等式等價(jià)于0＜ρ＜F(c1)。這里

根據(jù)Q因子的定義，可得Qp(L(c1,c2),0)= F（c1）。若ILP(L(c1,c2))收斂，則L(c1,c2)收斂速度和Q因子Qp(L(c1,c2))可通過(guò)分析F(c1)的值來(lái)確定。對(duì)F(c1)進(jìn)行微分可得：

假設(shè)1：若ρ12＞ρ2，那么

上式表明F′(c1)＞0，即F(c1)嚴(yán)格增，可得：

所以

證明ILP(L(c1,c2))誤差收斂速度比ILP(L(1))的快。

Qp(L(c1,c2),0)=F(c1)=ρ1=Qp(L(1),0)

證明ILP(L(c1,c2))誤差收斂速度與ILP(L(1))相當(dāng)。

假設(shè)3：若ρ12＜ρ2，那么

又因?yàn)?/p>

可得

所以F′(c1)＜0，即F(c1)嚴(yán)格減，可得：

所以

證明ILP(L(c1,c2))誤差收斂速度比ILP(L(1))的慢。

從上述分析可得，比例增益Γp1,Γp0和微分增益Γd1,Γd0的值決定不同的ρ1,ρ2的值，決定ILP(L(c1,c2))收斂速度與ILP(L(1))收斂速度的關(guān)系。

4　數(shù)值仿真

為了驗(yàn)證永磁同步電機(jī)在控制規(guī)律作用下的轉(zhuǎn)矩跟蹤效果，在Matlab2011平臺(tái)上進(jìn)行仿真。永磁同步電機(jī)額定參數(shù)為：轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J=9×10-3kg·m2，極對(duì)數(shù)p=4，定子電阻2.58 Ω，定子交軸、直軸電感均為6.25 mH，永磁磁極與定子繞組交鏈的磁鏈為0.192 Wb，代入式（5）可得LTI系統(tǒng)為

設(shè)期望跟蹤轉(zhuǎn)矩軌跡如下：

4.1ILP(L(1))單調(diào)收斂性

一階PD型ILC規(guī)則，選取Γp1=0.8，Γd1= 0.01，滿足定理2的收斂條件ρ1=0.6＜1。跟蹤誤差的Lebesgue-2范數(shù)如圖1所示。

圖1　ILP（L（1））跟蹤情況Fig.1 Tracking behavior of ILP（L（1））

仿真結(jié)果證明：跟蹤誤差嚴(yán)格，并且單調(diào)收斂。

4.2ILP(L(c1,c2))與ILP(L(1))收斂速度比較

二階PD型ILC L(c1,c2)，選擇加權(quán)系數(shù)c1=c2=0.5。

選取Γp1=0.8，Γd1=0.01，Γp0=0.3，Γd0= 0.006，可得ρ1=0.6，ρ2=0.04，滿足ρ21＞ρ2。ILP(L(1))，ILP(L(c1,c2))跟蹤誤差的Lebesgue-2范數(shù)如圖2所示。

圖2　ILP（L（c1，c2））與ILP（L（1））跟蹤情況Fig.2 Tracking behavior of ILP（L（1））and ILP（L（c1，c2））

仿真結(jié)果證明當(dāng)ρ21＞ρ2時(shí)，ILP(L(c1,c2))收斂速度比ILP(L(1))快。

選擇Γp1=0.8，Γd1=0.01，Γp0=0.3，Γd0= 0.01，可得ρ1=ρ2=0.6，滿足ρ12＜ρ2。ILP(L(1))，ILP(L(c1,c2))跟蹤誤差的Lebesgue-2范數(shù)如圖3所示。

圖3　ILP（L（c1，c2））與ILP（L（1））跟蹤情況Fig.3 Tracking behavior of ILP（L（1））and ILP（L（c1，c2））

仿真結(jié)果證明當(dāng)ρ12＜ρ2時(shí)，ILP(L(c1,c2))收斂速度比ILP(L(1))慢。

5　結(jié)論

本文根據(jù)目前永磁同步的研究熱點(diǎn)，結(jié)合Lebesgue-p范數(shù)研究了L(c1,c2)，L(1)中永磁同步電機(jī)收斂速度，分析不同比例、微分增益對(duì)收斂速度的影響。可得二階迭代學(xué)習(xí)控制在選擇增益方面更自由，具有更優(yōu)的魯棒性等特點(diǎn)。

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Second-order Iterative Learning Control of Permanent Magnet Synchronous Motor

CHEN Caixue，LIU Siyan，LAN Yonghong
（College of Information Engineering，Xiangtan University，Xiangtan 411105，Hunan，China）

Abstract：A kind of second- order PD- type（proportional- derivative- type）iterative learning control law was proposed for the problem that periodicity pulsations exist in permanent magnet synchronous motors（PMSM），which achieved optimal tracking control. By means of the generalized young inequality of convolution integral，the sufficient condition that the tracking error is monotone convergence in the sense of Lebesgue-p norm was achieved. Inaddition，on the basis of the definition of Q factor，the sufficient conditions that the second-order rule is more effective than the first-order rule was achieved. Lastly，simulation manifests the validity and the effectiveness.

Key words：iterative learning control（ILC）；permanent magnet synchronous motor（PMSM）；Lebesgue-p norm；tracking error

中圖分類號(hào)：TM341

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

基金項(xiàng)目：湖南省自然科學(xué)基金：分?jǐn)?shù)階魯棒自適應(yīng)控制及其在配料控制系統(tǒng)中的應(yīng)用（NO.14JJ2073，2014-2016）

作者簡(jiǎn)介：陳才學(xué)（1979-），男，博士，副教授，Email：liu15273289995@163.com

收稿日期：2015-09-20