黃海生, 張　偉, 趙煥煥

(西安郵電學(xué)院 電子工程學(xué)院， 陜西 西安 710121)

GPS并行頻率域捕獲算法分析

黃海生, 張偉, 趙煥煥

(西安郵電學(xué)院 電子工程學(xué)院， 陜西 西安 710121)

摘要:基于快速傅里葉變換的并行頻率域捕獲算法，建立該算法的數(shù)學(xué)模型。通過分析算法中頻率步長的選擇及快速傅里葉變換的柵欄效應(yīng)對捕獲精度的影響，給出捕獲頻率分辨率和功率相對損耗表達(dá)式，以此確定捕獲配置參數(shù)。仿真結(jié)果表明，根據(jù)捕獲配置參數(shù)，可以完成對全球定位系統(tǒng)信號載波多普勒頻率的捕獲。

關(guān)鍵詞:全球定位系統(tǒng)；快速傅里葉變換；頻率步進(jìn)；頻率分辨率

接收機(jī)是全球定位系統(tǒng)(GlobalPositioningSystem,GPS)的關(guān)鍵核心器件之一。通常GPS接收機(jī)先對衛(wèi)星、CA碼、多普勒頻率進(jìn)行三維搜索[1]，即信號捕獲，再將捕獲結(jié)果中符合要求的信息牽入跟蹤鎖相環(huán)進(jìn)行跟蹤。

捕獲算法主要有線性搜索、并行碼相位搜索和并行頻率域搜索3種[2-5]。線性搜索算法簡單但搜索單元較多，搜索速度較慢[6]；并行碼相位搜索算法適用于信號的后處理，不適合在VLSI電路中實(shí)現(xiàn)[7]；基于快速傅里葉變換(FastFourierTransform，F(xiàn)FT)的并行頻率域捕獲算法便于VLSI電路實(shí)現(xiàn)、部分電路可和跟蹤環(huán)路復(fù)用[8]，且在Matlab軟件中的仿真速度也比較適宜[9]。

本文基于快速傅里葉變換的并行頻率域捕獲算法，建立算法數(shù)學(xué)模型；通過分析柵欄效應(yīng)與頻率步長對捕獲結(jié)果的影響，計(jì)算由FFT柵欄效應(yīng)與頻率步長引起的捕獲損耗，以期對隨機(jī)信號進(jìn)行捕獲，確定捕獲配置參數(shù)。

1并行頻率域捕獲算法與數(shù)學(xué)模型

1.1算法概述

基于FFT的并行頻域搜索算法如圖1所示。復(fù)信號經(jīng)過復(fù)相位旋轉(zhuǎn)下變頻模塊將頻率降低，通過CA碼相關(guān)器與分段積分模塊解擴(kuò)信號，得到的復(fù)信號等效于復(fù)正弦信號的采樣點(diǎn)，最后復(fù)信號采樣點(diǎn)經(jīng)過FFT模塊與取模平方模塊，進(jìn)行復(fù)FFT運(yùn)算與取模平方運(yùn)算。

圖1　并行頻率域捕獲算法流程

1.2數(shù)學(xué)模型

中頻輸入的同相正交兩路信號分別為Iin和Qin，則復(fù)信號為

Sin=Iin+jQin=ej(αt+φ0)。

(1)

式中α是信號輸入信號角頻率，t為時(shí)間，φ0是信號初始相位。

將Sin與本地信號SL進(jìn)行復(fù)信號混頻、相關(guān)、相干積分、FFT等操作，再將FFT結(jié)果取模平方。本地復(fù)正弦信號可表示為

SL=IL+jQL=ej(βt+φ1)。

(2)

式中β是信號SL角頻率，t為時(shí)間，φ1為初始相位。

將Sin與SL進(jìn)行復(fù)相位旋轉(zhuǎn)下變頻，混頻結(jié)果為

[ej(αt+φ0)]*ej(βt+φ1)=ej(Δωt+φ)。

(3)

式中φ=φ1-φ0，Δω=β-α。

對Slow從時(shí)刻Tn到Tn+1進(jìn)行積分得到信號

(4)

其中Ts=Tn+1-Tn。

信號S等價(jià)于對Slow以Ts為采樣間隔進(jìn)行等間隔采樣，并且幅度縮小至sinc(ΔωTs/2)，F(xiàn)FT運(yùn)算就是對采樣結(jié)果進(jìn)行頻譜分析。

2捕獲參數(shù)分析

GPS導(dǎo)航數(shù)據(jù)位速率是50bps，無輔助捕獲或冷啟動情況下，截取數(shù)據(jù)長度不能大于10ms，以保證取連續(xù)兩段數(shù)據(jù)至少有一段無導(dǎo)航數(shù)據(jù)跳變[10]。多普勒頻率搜索范圍為±5 000Hz，要求功率相對損耗小于2dB、頻率捕獲精度優(yōu)于30Hz[12]。本文只分析無相位跳變的10ms信號，且CA碼已經(jīng)同步。截取10ms數(shù)據(jù)逐段進(jìn)行1ms相干積分，得到10個(gè)積分結(jié)果，并進(jìn)行補(bǔ)零FFT。通過分析柵欄效應(yīng)、頻率步長對捕獲的影響，確定捕獲配置參數(shù)。

2.1柵欄效應(yīng)對捕獲精度的影響

SL的傅里葉變換為2πδ(ω-Δω)。對SL截取時(shí)域長度為τ的數(shù)據(jù)等價(jià)于在時(shí)域乘以寬度為τ的門函數(shù)。信號截取后產(chǎn)生了頻譜泄露，其帶寬等于門函數(shù)的帶寬4π/τ。

信號雙邊帶寬與采樣率的比值為

(5)

式中信號采樣率fS=1/TS，M為時(shí)域采樣點(diǎn)數(shù)，截取數(shù)據(jù)長度τ=M×TS。

由式(5)可知，fS不變，τ越長，頻譜泄漏越小，能量越聚集。

對截取信號以TS進(jìn)行等間隔采樣得到的采樣信號頻譜為X(ejΩ)，對應(yīng)序列的傅里葉變換為X(ejω)，其中ω=ΩTS。N點(diǎn)FFT是對X(ejω)在0～2π上進(jìn)行N點(diǎn)等間隔采樣得到X(k)(k=0,1,2,…,N-1),并且會產(chǎn)生柵欄效應(yīng)。FFT模式有10-16、10-32、10-64和10-128共4種模式。以10-16FFT為例，其功率相對損耗如圖2所示。

圖2　10-16 FFT柵欄效應(yīng)

FFT運(yùn)算的頻譜分辨率為

D=fS/N。

(6)

式中N為FFT點(diǎn)數(shù)。

頻域帶寬內(nèi)的采樣點(diǎn)數(shù)為信號雙邊帶寬與頻譜分辨率的比值，即

(7)

柵欄效應(yīng)決定了頻譜分辨率，同時(shí)還會導(dǎo)致頻域采樣值與頻譜最大值相比有一定損耗。圖2(a)所示最壞情況是信號S頻譜峰值在兩個(gè)采樣點(diǎn)之間，功率相對損耗最大值為

(8)

圖2(b)所示的最好情況是某個(gè)頻域采樣點(diǎn)恰在信號S頻譜峰值，功率相對損耗最小，為零。由式(8)可知，補(bǔ)零FFT可以弱化柵欄效應(yīng)，減小功率相對損耗、提高頻譜分辨率，但會使運(yùn)算量增加。

FFT點(diǎn)數(shù)是2的整數(shù)次冪，因此對10個(gè)1ms相干積分的結(jié)果必須進(jìn)行補(bǔ)零FFT。補(bǔ)6個(gè)零進(jìn)行10-16FFT，功率相對損耗最大值為1.443dB；10-32FFT最大損耗為0.352dB。10-64FFT的最大損耗為0.087dB。補(bǔ)零數(shù)量與采樣點(diǎn)數(shù)相當(dāng)時(shí)，進(jìn)行FFT運(yùn)算便可得到比較理想的效果。

補(bǔ)零FFT可以提高頻率分辨率，依據(jù)式(6)可知10-16FFT與10-32FFT的頻率分辨率分別為62.5Hz與31.25Hz，對應(yīng)的捕獲精度為31.25Hz與15.625Hz。不能僅依靠提高補(bǔ)零數(shù)量來提高捕獲頻率精度，因?yàn)楫?dāng)R較大時(shí)，頻域各采樣值相差不大，實(shí)際中加上噪聲影響，很容易誤判真實(shí)的信號頻率。

FFT運(yùn)算中補(bǔ)零越多越好，但當(dāng)達(dá)到原采樣點(diǎn)數(shù)2到3倍后，對弱化柵欄效應(yīng)提升不大，而且運(yùn)算量會急劇增長。

2.2頻率步進(jìn)對捕獲精度的影響

相干積分長度要求至少小于正弦信號的半個(gè)周期，信號部分相關(guān)，等效的采樣頻率fS大于信號頻率的兩倍[11]，否則不但會造成信號功率的降低，還會附加欠采樣現(xiàn)象，將信號真實(shí)的頻率造成未知量的降低。

由式(4)可知，信號功率因頻率步長引起的功率相對損耗最大值

(9)

其中ΔF為頻率步長，單位為Hz。

在限定的損耗下利用式(9)反推頻率步長。頻率步長越小，因混頻結(jié)果不確定性范圍造成的最大損耗越小。當(dāng)相干積分為1ms時(shí)，各種頻率步長因混頻結(jié)果不確定范圍引起的最大損耗如表1所示，結(jié)果截取均向上進(jìn)位。

表1　各步長引起的最大損耗

由表1可知，當(dāng)采樣率大于信號頻率兩倍時(shí)，可將損耗控制在很小范圍內(nèi)，采樣率繼續(xù)增大對損耗影響不大。

2.3捕獲配置參數(shù)的確定

總損耗被限定在2dB范圍內(nèi)。表2給出了各種FFT模式下，頻率步長允許的最大損耗、對應(yīng)的步長、捕獲精度、帶寬與頻率分辨率比值等參數(shù)配置。

表2　各種參數(shù)配置

由表2可見，選擇10-32FFT模式在運(yùn)算量與性能方面是最好的權(quán)衡。

由多普勒搜索范圍與頻率步長可知所需的步進(jìn)次數(shù)

(10)

其中Dmax與Dmin分別為多普勒可能的最大值與最小值；ceil為向上取大于等于其參數(shù)的最小整數(shù)。

捕獲中使用掃描模式對應(yīng)的本地各頻率值為

Fn=ΔF×(n-0.5)+Dmin。

(11)

其中n=1,2,…,K。

2.4FFT結(jié)果中頻率的計(jì)算

找出各頻率步進(jìn)下FFT結(jié)果的最大值，依據(jù)該最大值所在位置計(jì)算Slow對應(yīng)的頻率值。

不考慮數(shù)據(jù)截取效應(yīng)，信號Slow的頻譜為2πδ(ω-Δω)。在滿足采樣率大于頻率步進(jìn)，即混頻結(jié)果小于采樣率一半的情況下，當(dāng)Δω為正時(shí)，頻譜沖擊在頻譜圖的正半軸，F(xiàn)FT結(jié)果最大值在左半部分，為正頻率；當(dāng)Δω為負(fù)時(shí)，頻譜沖擊在頻譜圖的負(fù)半軸，F(xiàn)FT結(jié)果最大值是真實(shí)頻譜以采樣率向正軸搬移得到的，位于右半部分。

如果捕獲峰值在FFT結(jié)果左半部分，則捕獲頻率為捕獲峰值對應(yīng)的本地頻率直接加上FFT峰值代表的頻率，反之，則需再減去采樣率。

3實(shí)驗(yàn)結(jié)果

使用Matlab軟件對捕獲算法進(jìn)行仿真。設(shè)中頻信號Sin頻率為96 250Hz，多普勒頻率范圍為-5 000～5 000Hz,采樣率為1.023MHz。使用軟件產(chǎn)生隨機(jī)信號頻率(含多普勒頻率)為96 737.702Hz。當(dāng)捕獲配置參數(shù)TS為1ms、本地頻率步進(jìn)次數(shù)為1，且本地頻率與待捕獲頻率相等時(shí)，進(jìn)行混頻差為零的10-128FFT捕獲，結(jié)果如圖3所示。

圖3　混頻差為零的10-128 FFT捕獲結(jié)果

由圖3可以看出，捕獲結(jié)果峰值在FFT結(jié)果的第一點(diǎn)處，不會受柵欄效應(yīng)影響。因此，最大值是信號頻譜的真實(shí)峰值，將該峰值作為參考值，進(jìn)行本地頻率步進(jìn)次數(shù)K為15次的10-128FFT模式捕獲，結(jié)果如圖4所示。其中X軸為各本地頻點(diǎn)運(yùn)算后的FFT結(jié)果；Y軸為本地各頻點(diǎn)。圖4對應(yīng)的捕獲配置參數(shù)TS為1ms，頻率步進(jìn)為667Hz，起始頻率為91 583.5Hz，結(jié)束頻率為101 588.5Hz，待捕獲頻率為96 737.702Hz。

圖4　10-128 FFT捕獲

當(dāng)本地頻率為96 919.5Hz時(shí)，利用式(3)計(jì)算混頻結(jié)果為181.8Hz，且小于fS/2，利用式(9)計(jì)算因頻率步長導(dǎo)致的損耗為0.476dB。

由圖4可知，最大值9.366相對圖3的最大值10.470損耗了0.484dB，與計(jì)算值0.476dB基本一致。證明了式(9)的準(zhǔn)確性。

由表2可知，10-128FFT模式因柵欄效應(yīng)引起的功率相對損耗為0.022dB，可以忽略，因此，可將10-128FFT模式的捕獲峰值近似為無柵欄效應(yīng)頻譜峰值。將圖4中最大、次大峰值9.366與4.495作為參考值，進(jìn)行10-32FFT捕獲，結(jié)果如圖5所示。

圖5　10-32 FFT捕獲

由圖5可見，最大、次大峰值分別為9.281與4.184，相對于圖4的峰值 9.366與4.495損耗不足0.040dB與0.311dB，小于表2給出的FFT損耗0.352dB，達(dá)到設(shè)計(jì)要求。

圖5最大峰值出現(xiàn)在(27,9)，即步進(jìn)在第9步時(shí)峰值最大，代入式(10)，頻率為96 919.5Hz；峰值在FFT結(jié)果右半部分，因此，F(xiàn)FT結(jié)果代表負(fù)頻率，值為-187.5Hz。最終捕獲結(jié)果為96 732Hz，與96 737.702Hz相差-5.702Hz，與表2的16Hz相比，達(dá)到設(shè)計(jì)要求。

4結(jié)語

通過分析基于FFT的GPS頻率并行捕獲法中的主要參數(shù)對捕獲功率與頻率精度的影響，給出了捕獲算法中頻率搜索步數(shù)、本地信號各頻率值以及FFT模式等捕獲配置參數(shù)的計(jì)算方法。仿真結(jié)果表明，在給定的捕獲頻率分辨率與捕獲功率損耗條件下，完成了對隨機(jī)信號的捕獲。捕獲結(jié)果反映的參數(shù)與理論計(jì)算所得參數(shù)基本一致，并且，該捕獲算法可以辨別FFT結(jié)果代表的頻率正負(fù)性。

參考文獻(xiàn)

[1]魯豫．GPS全球定位接收機(jī):原理與軟件實(shí)現(xiàn)[M]．北京：電子工業(yè)出版社，2009：47-49.

[2]趙麗．基于FPGA平臺的GPS信號捕獲算法研究與實(shí)現(xiàn)[D]．南京：南京郵電大學(xué)，2012：13-17．

[3]吳娟麗．GPS軟件接收機(jī)的研究及Matlab實(shí)現(xiàn)[D]．西安：長安大學(xué)，2009：14-20．

[4]辛富國．GPS軟件接收機(jī)捕獲與跟蹤技術(shù)研究[D]．西安：西安電子科技大學(xué)，2011：25-30．

[5]蘇麗娜．GNSS軟件接收機(jī)捕獲與跟蹤模塊設(shè)計(jì)和實(shí)現(xiàn)[D]．鎮(zhèn)江：江蘇科技大學(xué)，2013：17-21．

[6]舒宇．GPS軟件接收機(jī)基帶處理算法研究與FPGA實(shí)現(xiàn)[D]．哈爾濱：哈爾濱工程大學(xué)，2010：20-22．

[7]謝鋼．GPS原理與接收機(jī)設(shè)計(jì)[M]．北京：電子工業(yè)出版社，2009：372-374．

[8]張帆．GNSS單品軟件接收機(jī)應(yīng)用于編程[M]．北京：國防工業(yè)出版社，2010：24-26．

[9]夏運(yùn)兵，龔文斌，姜全江，等.GPS信號捕獲算法Matlab/Simulink仿真[J].電子工程設(shè)計(jì)，2015，23(3)：11-14.DOI:10.3969/j.issn.1674-6236.2015.03.005.

[10]TSUIJB-Y．FundamentalsofGlobalPositioningSystemReceiversAsoftwareApproach[M]．HoboKen,NewJersey：AJOHNWILEY&SONS,INC.，PUBLICATION，2005:131-132．

[11] 易維勇，董緒榮，孟凡玉,等．GNSS單頻軟件接收機(jī)應(yīng)用于編程[M]．北京：國防工業(yè)出版社，2010：189．

[責(zé)任編輯:祝劍]

AnalysisonGPSparallelfrequencyacquisitionalgorithm

HUANGHaisheng,ZHANGWei,ZHAOHuanhuan

(SchoolofElectronicEngineering,Xi’anUniversityofPostsandTelecommunications,Xi’an710121,China)

Abstract:A mathematical model of Fast Fourier transform-based parallel frequency domain acquisition algorithm is proposed. By analysing the impact of acquisition accuracy caused by frequency step selection and fence effect of Fast Fourier Transform, calculation formula of acquisition frequency resolution and relative power loss are obtained to determine the acquisition configuration parameters. Simulation results show that the Doppler frequency of Global Positioning System signal can be acquired according to the acquisition configuration parameters.

Keywords:Global Positioning System , fast fourier fransform, frequency step, frequency resolution

doi:10.13682/j.issn.2095-6533.2016.03.005

收稿日期：2016-01-26

基金項(xiàng)目：國家科技重大專項(xiàng)資助項(xiàng)目(2013ZX02001010-003)；陜西省科技統(tǒng)籌創(chuàng)新工程計(jì)劃項(xiàng)目(2014KTCQ01-21)；陜西省教育廳產(chǎn)業(yè)化培育資助項(xiàng)目(2013JC10)

作者簡介：黃海生(1964-)，男，碩士，教授，從事專用集成電路研究。E-mail:hhs@xupt.edu.cn 張偉(1990-),男，碩士研究生，研究方向?yàn)殡娐放c系統(tǒng)。E-mail:1084020959@qq.com

中圖分類號：TP961

文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

文章編號：2095-6533(2016)03-0038-05