◇王 嵐

滲透數(shù)學(xué)思想 建構(gòu)數(shù)學(xué)模型
——『間隔排列』與『植樹問題』整合案例及分析

◇王 嵐

一 關(guān)注本質(zhì)，認識特征

（一）畫圖體驗中認識一一間隔

師：今天的數(shù)學(xué)課，我們從熟悉的圖形朋友開始。（電腦逐個顯示△○△○△○）大家猜一猜，下一個會是什么圖形？

生：三角形。

師：他猜得對不對呢？（電腦顯示△）接著猜。

生：圓。

師：（電腦顯示○）下一個是——

生：三角形。

師：（電腦顯示△）為什么每次都能猜對呢？

生：因為這里圖形的排列是有規(guī)律的。

生：都是一個三角形后面跟著一個圓。

師：是呀，正如同學(xué)們所言，這里的三角形和圓的排列是有規(guī)律的。這節(jié)課我們就一起來探索規(guī)律。不看屏幕，你能按照這樣的規(guī)律自己畫一畫嗎？第一個是三角形，第二個就是……

（生自由創(chuàng)作）

師：我們一起來分享部分同學(xué)的作品。他們的作品都畫對了嗎？怎樣畫就能符合要求？

生：第一個是三角形，第二個是圓，第三個是三角形，第四個是圓……以此類推。

生：一個三角形和一個圓可以看成一組，這樣按順序畫下去。

師：像這樣一個三角形、一個圓，一個三角形、一個圓……依次排列下去，在數(shù)學(xué)上，我們就可以說三角形和圓一一間隔排列。

【分析：從學(xué)生熟悉的圖形導(dǎo)入，在猜圖形中初步感受排列的順序，在畫圖形中深化感知排列的規(guī)律，在豐富多樣的作品（數(shù)量各不相同）中更為深切地體會一一間隔排列的本質(zhì)特征?！?/p>

（二）分類比較中感知一一間隔

師：這里的6幅作品都是三角形和圓一一間隔排列。仔細觀察，你能把它們分為兩類嗎？和同桌討論一下，并說說你們是根據(jù)什么來分的。

生：我們小組把（1）、（2）、（4）分成了一類，把（3）、（5）、（6）分成了一類。

師：說說你們這樣分類的理由。

生：（3）、（5）、（6） 都是一組一組的；（1）、（2）、（4）是一組一組地來看，最后還多一個。

師：一組一組地觀察是一種很好的研究思路。我們也可以說成一個三角形對應(yīng)著一個圓。（板書：一一對應(yīng)）根據(jù)他們小組的思路，這里的6幅作品就分成了剛好對應(yīng)沒有剩余和一一對應(yīng)還有剩余的。

生：我們小組，也是這樣分的，但我們的理由不同。（1）、（2）、（4）這一類，第一個是三角形，最后一個也是三角形；而（3）、（5）、（6）這一類，第一個是三角形，最后一個卻是圓。

師：抓住開頭和結(jié)尾來觀察是一種非常好的研究思路。根據(jù)這組同學(xué)的思路，一類是首尾相同的，還有一類是首尾不同的。（板書：首尾相同，首尾不同）同樣是一一間隔，但還有兩種不同的類型呢。

二 聚焦關(guān)系，發(fā)現(xiàn)規(guī)律

師：在兔子樂園里，你能找到一一間隔排列的物體嗎？它們的排列又是怎樣的類型呢？同桌相互交流一下。

生：兔子和蘑菇是一一間隔排列的，首尾相同；木樁和籬笆是一一間隔排列的，首尾相同；蝴蝶和蜜蜂是一一間隔排列的，首尾不同；樹葉和花朵是一一間隔排列的，首尾不同。

師：我們先來研究首尾相同的情況。你們認為兩種物體的數(shù)量是相等的還是不相等的？

生：我覺得數(shù)量不相等。

生：我猜想排在兩邊的物體會比中間的多1。

師：一一間隔排列，首尾相同時，兩種物體的數(shù)量相差1。這只是我們的猜想。究竟是不是這樣呢？我們還需要驗證。請同學(xué)們?nèi)我膺x擇兔子和蘑菇或木樁和籬笆進行數(shù)量比較?？梢詳?shù)一數(shù)，也可以畫一畫、連一連。

生：我研究的是兔子和蘑菇，兔子有8只，蘑菇只有7個，兔子數(shù)比蘑菇數(shù)多1。

生：我研究的是木樁和籬笆。木樁有13根，籬笆有12個，木樁的數(shù)量比籬笆數(shù)量多1。

師：這兩位同學(xué)用的是數(shù)一數(shù)的方法。

生：我研究的也是兔子和蘑菇。1只兔子和1個蘑菇是一組，我用一個圈表示，這樣繼續(xù)圈下去，最后多了1只兔子。

生：我研究的是木樁和籬笆。我用連線的方法，1根木樁對著1個籬笆，這樣連下去，最后1根木樁是單獨的。

師：這兩位同學(xué)，圈一圈、連一連，用對應(yīng)的方法發(fā)現(xiàn)最后還多了1只兔子、1根木樁。

【分析：舉例驗證的過程中，重視方法的指導(dǎo)。不僅可以數(shù)一數(shù)，還可以畫一畫、圈一圈、連一連。而在多樣的方法分享中，不同思維層次、不同驗證方法的學(xué)生可以彼此啟迪，一一對應(yīng)的思想方法也潛移默化地得到了再次凸顯?！?/p>

師：現(xiàn)在，我們能證明猜想正確了嗎？（生：能）僅憑兩個例子就能說明我們的猜想正確了嗎？其他首尾相同的是否也符合呢？

生：還不能。我們需要舉更多的例子。

師：同學(xué)們創(chuàng)作的作品中就有很多不同的例子。小組合作，驗證組內(nèi)一一間隔首尾相同的作品是否符合猜想。

（經(jīng)驗證，各個小組的作品都符合猜想）

師：有沒有不符合猜想的？（生：沒有）我們舉了大量的例子，都符合猜想，而且沒有反例。說明猜想是正確的。接下來，我們繼續(xù)研究一一間隔首尾不同的情況。這一次，你們的猜想是什么？

……

【分析：在探索規(guī)律、建構(gòu)模型的過程中，引導(dǎo)學(xué)生在“一一間隔首尾相同的情況”中完整地經(jīng)歷提出猜想、大量舉例、進行驗證的過程。這樣的研究方法模型不僅可以直接遷移運用于 “一一間隔首尾不同的情況”，其更大的影響在于提升后續(xù)數(shù)學(xué)研究的科學(xué)性與規(guī)范性?！?/p>

三 聯(lián)系生活，運用規(guī)律

師：在我們的教室里，也藏著一一間隔的現(xiàn)象，你能找到嗎？一一間隔的兩種物體的數(shù)量有什么關(guān)系呢？

生：桌子和椅子是一一間隔排列的，首尾不同，數(shù)量是相等的。

生：電燈和風(fēng)扇是一一間隔排列的，首尾相同，電燈比風(fēng)扇多1。

師：我們每天都排隊做操、做游戲，在排隊中也有一一間隔的現(xiàn)象呢?。ㄑ?個男生排成一排，等距間隔）現(xiàn)在是一一間隔排列嗎？

生：我覺得可以看成是一一間隔排列，是男生和中間的空位一一間隔。

師：這時，男生與中間的間隔數(shù)量相比怎么樣？

生：首尾都是男生，男生數(shù)比間隔數(shù)多1。

師：如果我們請上女生和男生一一間隔，最少需要幾個女生？

生：3個女生。首尾都是男生，女生人數(shù)就比男生少1。

師：最多能排幾個女生？

生：5個女生，首尾都是女生，女生人數(shù)就比男生多1。

師：現(xiàn)在我們討論的都是首尾相同的情況，還可以——

生：首尾不同，就需要4個女生。

（請上4個女生）

師：可以怎么排？請一位小老師來指導(dǎo)排隊。

（排列如：♂♀♂♀♂♀♂♀）

師：還可以怎么排？

（調(diào)整為：♀♂♀♂♀♂♀♂）

師：還能調(diào)整嗎？

（引導(dǎo)學(xué)生手牽手，形成一個圈）

師：現(xiàn)在還是一一間隔排列嗎？這樣的排列，和哪種情況是類似的？

生：我發(fā)現(xiàn)了！和首尾不同的情況是一樣的。原來是排成一排，現(xiàn)在是圍成一圈。

【分析：從首尾相同與首尾不同出發(fā)，在看似游戲的活動中，巧妙地實現(xiàn)了“直線排列”思維定式到“封閉排列”思維轉(zhuǎn)變的跨越，在外在的不同之中發(fā)現(xiàn)內(nèi)在的相同，類型可以歸并，模型可以歸一?！?/p>

四 深化模型，拓展運用

師：同學(xué)們在植樹的過程中，也在運用著一一間隔的規(guī)律。你能解決這個植樹問題嗎？在小組里討論討論。

生：我們小組認為這里的植樹問題沒有講清具體的情況。究竟是首尾相同還是首尾不同？

生：我們也同意剛才小組的觀點。不同的情況就有不同的結(jié)論。

師：那你們認為有幾種情況呢？

生：一種是首尾都是樹。

師：也就是兩端都栽。

（師在“首尾相同”的下方板書：兩端都栽）

生：另外一種是首尾不同，就是一端栽樹一端不栽。

（師在“首尾不同”的下方板書：只栽一端）

生：我補充，還有一種是兩端都不載，就是首尾都是間隔。

（師在“首尾相同”的下方板書：兩端不栽）

生：我從剛才的排隊受到啟發(fā)，還有一種可能，這條小路還可能是一圈的。

師：如果是圍成一圈，我應(yīng)該寫在哪里？

生：寫在“首尾不同”的下面，其實它們是同一類的。

師：現(xiàn)在你們能分類解決了嗎？在自己練習(xí)本上做一做，然后在小組中說一說。

生：我代表小組匯報第一種。我們先用100÷ 5=20，算出有20個間隔，然后根據(jù)不同的情況進行計算。兩端都栽，就是首尾是樹，樹的棵數(shù)比間隔數(shù)多1，要栽21棵。

生：我匯報第二種，兩端都不栽，首尾都是間隔，間隔數(shù)比樹的棵數(shù)多1，要栽19棵。

生：如果是只栽一端或者圍成一圈，都是屬于首尾不同的情況，這時樹的棵數(shù)和間隔數(shù)相等，所以要栽20棵。

【分析：從間隔排列到植樹問題，學(xué)生不斷處于辨析與思考之中。植樹問題的各種情況與間隔排列的兩大類型建立起了分類對應(yīng)的關(guān)系。在類型的歸并與關(guān)系的從屬中，模型的理解走向深刻，模型的運用走向多維?！?/p>

五 總結(jié)回顧，升華認識

師：今天這節(jié)課，我們以間隔排列為研究對象，經(jīng)歷了分類思考、提出猜想、舉例驗證、得出結(jié)論、運用規(guī)律的過程。借助一一間隔的規(guī)律解決了生活中的植樹問題。回顧研究的過程，你有什么收獲？你又產(chǎn)生了什么新的問題？

生：我想研究間隔排列中其他的情況，比如燈、風(fēng)扇、風(fēng)扇、燈、風(fēng)扇、風(fēng)扇……

師：是呀，如果是這樣的排列，蘊含著怎樣的規(guī)律呢？有興趣的同學(xué)可以在課后繼續(xù)研究。

【分析：一節(jié)數(shù)學(xué)課的價值，不僅僅在于學(xué)生已經(jīng)知道了什么，更為可貴的是引導(dǎo)學(xué)生繼續(xù)研究什么。從一一間隔到植樹問題的自然對接，從間隔排列再到周期問題的應(yīng)然思考，課堂淡化了邊界，問題導(dǎo)引了方向，研究走向了深入?！?/p>

（作者單位：江蘇常州市武進清英外語小學(xué)）