◇仲愛云

追尋歷史足跡，讓啟發(fā)自然
——以“圓的面積”一課為例

◇仲愛云

一 問題的提出：啟發(fā)在哪里？

聽罷實習生執(zhí)教的“圓的面積”一課，教學過程順暢，可又感覺生硬、別扭；教學環(huán)節(jié)絲絲入扣，可又覺得少了許多。我想說老師提問太多，沒有留給學生任何機會，實習生說是為了“啟發(fā)”。究竟啟發(fā)在哪里呢？不妨回顧教學過程中的幾個片段。

片段一：揭示課題，初步估算

（教師把圓形圖片置于方格紙內(nèi)，如圖1）

圖1

師：怎樣數(shù)？

生：不足1格按半格算。

師：如果非常接近1格時，怎么辦？

生：可以按1格算。

師：這么大的圓形，都要數(shù)嗎？

生：是的。

師：有更簡單的方法嗎？

生1：只要數(shù)出其中的四分之一。

生2：只要數(shù)出那個小正方形中的空白處，就可以求出它的四分之一了。

片段二：進一步驗證

過渡語：圓的面積大約是其半徑平方的3倍多一點，但具體是多少我們還不太清楚，我們需要更加精確的數(shù)據(jù)來表示。

師：請同學們回憶一下，在求平行四邊形、三角形、梯形等圖形的面積時，我們是用什么方法進行推導的？

（生答，略）

師：那我們能否用剪拼的轉(zhuǎn)化方法推導出圓的面積呢？請大家討論一下。

（生討論）

師：怎么剪呀？

生：可以沿半徑剪，也可以沿直徑剪。

師：假設把它剪成了4等份，怎么拼呢？

（師在課件上示范剪成8等份時剪、拼的轉(zhuǎn)化方法。以16等份為例，讓學生小組合作拼，拼成一個近似的平行四邊形）

師：像長方形嗎？近似長方形的長與圓有什么關系呢？近似長方形的寬呢？長方形的面積你能求出來嗎？在轉(zhuǎn)化的過程中，圓的面積變了嗎？那此時你能得出圓的面積應該怎么求嗎？

（生一一回答，略）

啟發(fā)，源于孔子的“不憤不啟，不悱不發(fā)”。百度百科釋義為：開導指點或闡明事例，引起對方聯(lián)想并有所領悟。啟發(fā)式教學，主要就是教會學生質(zhì)疑，積極思考?？雌我缓推味?，師問生答，教學過程順暢，學生沒有“疑”，沒有自我“思”，當然也沒有“悟”，啟發(fā)在哪里呢？沒有波瀾起伏，更缺少教學深度。隨著課程改革的推進，課堂摒棄了滿堂灌，啟發(fā)式教學成為人們的共識。但是滿堂問替代了滿堂灌，而滿堂問并不意味著就是啟發(fā)，只是冠名“啟發(fā)”，實為“代發(fā)”。

二 診斷問題：如何變“代發(fā)”為“啟發(fā)”？

1.啟發(fā)需要等待：從曹沖稱象的故事說起。

在猜想圓面積公式前，老師由曹沖稱象的故事引出了“轉(zhuǎn)化”的思想。

講故事的目的是什么？顯然是為了啟發(fā)學生獲取推導圓面積公式的思路。既然如此，就應該留出時間供學生思考。無論學生是否有思路，都必須耐心等，給學生機會，不怕沒有驚喜，就怕老師缺少發(fā)現(xiàn)。在課堂上，有這么一個環(huán)節(jié)：

生1：老師，我有辦法了——稱。

（大家都納悶：面積也能稱？）

生1：（繼續(xù)）可以用沙子鋪成一個圓（一層），然后再鋪一個邊長等于直徑的正方形。面積的比就是它們對應沙子的質(zhì)量的比。

可惜，老師以沉默和不搭理“攻擊”了學生。

探尋圓面積推導的歷史足跡：

有一天，卡瓦利里的目光落在自己的衣服上時，他忽然靈機一動：咦，布不是可以看成面積嗎？布是由棉線織成的，要是把布拆開的話，拆到棉線就為止了。我們要是把面積像布一樣拆開，拆到哪兒為止呢？應該拆到線段為止……幾何學規(guī)定平面是沒有厚薄的，這樣也是有道理的?？ㄍ呃锞o緊抓住自己的想法，反復琢磨，提出了求圓面積的新方法。

沙子間也許還有縫隙，學生的思考不會達到卡瓦利里那么縝密、那么深入，不過有幾分歷史相似性。老師不妨說，沙子未必鋪得均勻，可以把沙子換成布。沿著歷史的足跡，學生在這樣的歷史文化氛圍中，受到鼓舞，更容易產(chǎn)生猜想。充分利用學生把圓放在正方形內(nèi)，利用“化圓為方”的雛形，因勢利導，形成啟發(fā)。學生的回答也許不是老師心中所想的，也不是老師所預料到的，課堂教學顯得不那么“風平浪靜”，可這樣正是真實、自然的，耐心等待，讓學生充分思考后，啟發(fā)才有用武之地。

2.啟發(fā)要有主旨：從曹沖稱象到數(shù)方格。

也許很多老師會說：不是面對每個班級，講完曹沖稱象的故事，等待后都有學生回答；即使學生的回答“百花齊放”，但往往偏離正題很遠。

學生聽了故事而沒有回答，說明故事本身未能引起學生足夠的興趣。曹沖稱象是個好故事，但對于六年級的學生，已耳熟能詳了，這可能導致啟而一言不“發(fā)”。如果學生很配合老師，但回答“跑題”，那我們就不得不反思：故事本身“啟點”在哪里？曹沖稱象的“轉(zhuǎn)化”能撬開我們圓面積公式推導的思路嗎？學生的表現(xiàn)說明“啟點”不夠突出，不足以讓學生產(chǎn)生類比或聯(lián)想。我們進一步看教學片段，發(fā)現(xiàn)故事與數(shù)方格銜接不緊密，與后面的驗證猜想、推導公式中的數(shù)學思想“鉚合”不緊密。因此，這個故事不太容易讓大多數(shù)學生形成有效的啟發(fā)，可謂遠水解不了近渴。

片段三：

師：很好。下面請大家根據(jù)這些方法，打開書本，數(shù)一數(shù)、算一算每個圖形的面積有多大。第一組數(shù)圖2，第二組數(shù)圖3，第三組數(shù)圖4。

師：數(shù)的過程中可能會產(chǎn)生一些誤差，只要結(jié)果在這個范圍內(nèi)，就算正確，并從中選出任意一個數(shù)據(jù)進行研究，看看圓的面積與半徑有什么關系。

圖2：49～51cm2 圖3：29～31cm2 圖4：77～79cm2

正方形的面積（cm2）圓的半徑（cm）圓的面積（cm2）圓的面積大約是正方形面積的幾倍（精確到十分位）164503.1 9 3 303.3 255783.1

老師給出了三個面積不等的圓，讓學生由三組數(shù)據(jù)找出規(guī)律，猜想出圓的面積與半徑的關系。這一步做得不錯，但差一點火候，學生的思維完全可以進一步發(fā)展。我們不妨把方格細分，邊長由1cm到1mm，會得出表格中第四列的數(shù)據(jù)（精確到百分位）約為3.14；再進一步細分，利用計算機演示，步步細分，逐步逼近……在由粗略到逐步精確的過程中，學生能更自然地猜想出圓面積與半徑平方的關系和圓周率有關。

考察圓面積公式的歷史足跡：

在古希臘，求圓面積問題是當時三大數(shù)學難題之一。公元前5世紀，哲學家阿拉克薩克放棄財產(chǎn)，研究圓面積。辯士、詩人安提豐首次提出用圓內(nèi)接正多邊形解決圓面積問題的設想，但要得出公式還是空中樓閣。阿基米德、卡瓦利里、開普勒以及中國的劉徽等是在前人的基礎上突破了“從有限到無限”，實現(xiàn)了“以直代曲”，用不同的方法提出了圓面積公式。

歷史是一面鏡子,它啟示我們:滲透以直代曲、極限的數(shù)學思想是啟發(fā)的重點與難點。在小學中，我們當然不會去講以直代曲和極限，但我們可以帶領學生往這個方向去想。正如安提豐一樣，哪怕是先設想一個空中樓閣也行。進一步，數(shù)方格至少可以讓學生在從近似往精確的路上往前邁一步。這樣數(shù)方格就不是止于“數(shù)”，而是啟發(fā)學生有了思考。接著，將圓與方格的一個個交點順次連接，學生感悟：方格越細小，越精確，圓內(nèi)接多邊形的面積越接近圓的面積。學生自然有了疑慮：再怎么精確，總還是近似，該怎么辦？

概念的形成是個緩慢的內(nèi)化過程，具有“不可見”性，啟發(fā)的方向尤為重要。我們要用長遠的眼光來對待教學，不能只為了表面上“得出”公式。對小學生不能講以直代曲，不能講極限，但這節(jié)課承載著滲透以直代曲、極限思想的使命，最起碼要讓小學生知道“隨著方格越來越細小，圓內(nèi)接多邊形的面積越來越接近圓的面積”。

3.啟發(fā)應拒絕“過度分析”。

《學會生存》一書曾做出論述：“教師的職責在于越來越少地傳授知識，越來越多地激勵思考，除他的正式職能外，他越來越成為一位顧問，一位意見交換者，一位幫助發(fā)現(xiàn)矛盾論點而不是拿出現(xiàn)成真理的人?！?/p>

考察片段一和片段二，比如在數(shù)方格（片段一）的時候，就應放手讓學生去數(shù)，信任學生，很少有學生那么傻，數(shù)多的或數(shù)全部。即便如此，有個別學生數(shù)的方法不夠好，通過小組合作觀察別人的方法，自己也能夠“糾正”，這正好可提高學生自身的“免疫能力”。片段二中，老師詳細分析如何剪、如何拼，牽著學生把圓剪拼成長方形。過度的分析等于扼殺了學生豐富的想象力。因為圓的面積公式的推導不是靠直觀經(jīng)驗就能獲得的，它必須借助想象和理性思維。太著眼于細節(jié)和局部的分析，學生就會失去獨立思維與判斷的機會，反而起不到啟發(fā)的效果。

對比改進：

預先讓學生用一張正方形的紙和一把剪刀（不用圓規(guī)）剪出一個“圓”，看誰剪得夠圓。讓學生充分交流后，問學生發(fā)現(xiàn)了什么。

生：有的同學剪得很圓，有的剪得不怎么圓。

師：為什么？

生：折得越多越接近圓。

生：折得越多，圓的每個小扇形就越接近三角形。

生：只要折得夠多（分得越多，直至無窮多）圓的面積就可以轉(zhuǎn)化分割成很多小三角形的面積。

……

然后，讓學生交流，討論如何求這些小三角形面積的和?？梢约羝闯扇切巍⑻菪?、長方形，讓學生自己去決定拼成什么圖形，培養(yǎng)他們獨立思考、做出判斷的能力。

接著，可以向?qū)W生介紹17世紀開普勒在結(jié)婚時，思考葡萄酒桶體積算法時想出圓面積計算方法的小故事。不去拼，而是把“小三角形”轉(zhuǎn)化成等底等高的三角形。（如圖5）

圖5

4.啟發(fā)要從大處著眼、小處著手。

啟發(fā)拒絕過度分析，要有自由度與開放度，但不是不注重細節(jié)，放手不是放任和隨意。正因為從大處著眼了，啟發(fā)有了主旨，每個環(huán)節(jié)、每個細節(jié)都要為之服務，甚至每句話都得仔細推敲。例如在片段三中，“師：在數(shù)的過程中會產(chǎn)生一些誤差，只要結(jié)果在這個范圍內(nèi)，就算正確，并從中選出任意一個數(shù)據(jù)進行研究?！睌?shù)的過程中怎么會產(chǎn)生誤差？數(shù)就不應該有誤差。如果不準確，不是數(shù)的原因?！爸灰Y(jié)果在這個范圍內(nèi)，就算正確”，既然老師都算正確，學生哪有動力去追求更精確或者準確的呢？這不是和“從近似走向準確”矛盾嗎？這也使得學生缺少了去思維的動機。看來老師“少講，少些言語”不一定不是啟發(fā)，你不說，學生還有疑問呢！正好留給學生思考的機會，再怎么數(shù)，再怎么細化方格，只要是有限次的，總還是近似的，不是準確的。看來啟發(fā)的語言要推敲，甚至語氣等都別有一番講究。講得多，問得多，甚至滿堂問未必就是啟發(fā)，不是有問題就是啟發(fā)，要看怎么問，由誰來問。啟發(fā)有技巧，每個細節(jié)都必須關注，真所謂“細節(jié)決定成敗”。

[1]弗賴登塔爾.作為教育任務的數(shù)學[M].上海：上海教育出版社，1999.

[2]高燕，胡媛.圓的面積：從歷史到課堂[J].上海中學數(shù)學，2014，（5）：1—3.

（作者單位：江蘇南通師范高等專科學校如皋校區(qū)）