執(zhí)教/楊薪意 評(píng)析/蔡金法

在問(wèn)題提出中拓展數(shù)學(xué)的理解
——以“100以?xún)?nèi)數(shù)的整理與復(fù)習(xí)”一課為例

執(zhí)教/楊薪意 評(píng)析/蔡金法

隨著課堂教學(xué)的不斷改進(jìn)，在課堂教學(xué)中，利用問(wèn)題提出促進(jìn)學(xué)生對(duì)相關(guān)概念的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與數(shù)學(xué)理解越來(lái)越被老師認(rèn)可和接受。于是，在課堂教學(xué)中，教師應(yīng)該如何以問(wèn)題提出為核心，通過(guò)問(wèn)題提出來(lái)幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)就成為學(xué)術(shù)界和一線(xiàn)教師共同探討的話(huà)題。在本文中，我們將以一節(jié)小學(xué)一年級(jí) “100以?xún)?nèi)數(shù)的整理與復(fù)習(xí)”為例，來(lái)探討在第一學(xué)段如何幫助學(xué)生在問(wèn)題提出中拓展對(duì)數(shù)學(xué)的理解，成為更好的問(wèn)題提出者。

鏡頭一:交流同一個(gè)數(shù)的多種表達(dá)方式

師：上課前，請(qǐng)同學(xué)們先悄悄地在卡片上任意寫(xiě)一個(gè)今天你喜歡的兩位數(shù)，不要告訴其他同學(xué)哦。

【設(shè)計(jì)意圖：以神秘的活動(dòng)開(kāi)課，既能溝通師生關(guān)系，更能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，誘發(fā)學(xué)生的好奇心，讓學(xué)生對(duì)新課充滿(mǎn)期待，自主地為投入新課的學(xué)習(xí)做好充分的精神準(zhǔn)備?！?/p>

師：誰(shuí)愿意用數(shù)學(xué)的表達(dá)方式，讓大家猜一猜你喜歡的數(shù)是幾？

【設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)“猜一猜”，引發(fā)學(xué)生主動(dòng)思考 “如何用數(shù)學(xué)的表達(dá)方式描述自己的這個(gè)數(shù)”。以此幫助學(xué)生自主回顧、梳理對(duì)100以?xún)?nèi)數(shù)的認(rèn)識(shí)，并在全班互動(dòng)交流中達(dá)到多角度認(rèn)識(shí)數(shù)的組成，感受理解同一個(gè)數(shù)表達(dá)方法的多樣化，培養(yǎng)數(shù)感的目的?！?/p>

生1：我喜歡的數(shù)比40少1。你們知道我喜歡的數(shù)是幾嗎？

生2：你喜歡的數(shù)是39。

生1：恭喜你答對(duì)了。請(qǐng)說(shuō)說(shuō)你喜歡的數(shù)吧。

（師板書(shū)39）

生2：我喜歡的數(shù)在26和28中間。

生3：你喜歡的數(shù)是27。

生2：恭喜你答對(duì)了。

（師板書(shū)27）

師追問(wèn)：這個(gè)數(shù)還可以怎么表達(dá)？

生4：比30少3的數(shù)是27。

生5：比25多2的數(shù)是27。

生6：比20多7的數(shù)是27。

生7：比100少73的數(shù)是27。

生8：2個(gè)十和7個(gè)一組成的數(shù)是27。

生9：7個(gè)一和2個(gè)十組成的數(shù)是27。

生10：擺2捆小棒和7根小棒就是27。

生11：在計(jì)數(shù)器上，個(gè)位上撥2個(gè)珠子，十位上撥7個(gè)珠子就是27。

生12：不對(duì)。應(yīng)該是在十位上撥2個(gè)珠子，個(gè)位上撥7個(gè)珠子才是27。

生11：不好意思，我說(shuō)錯(cuò)了。謝謝糾正。

生12：（生畫(huà)圖，如下）這樣也是27。

圖1

師追問(wèn)：誰(shuí)看懂生12的意思了？

生13：1顆大的愛(ài)心表示1個(gè)十，2顆表示2個(gè)十；1顆小的愛(ài)心表示1個(gè)一，7顆表示7個(gè)一。合起來(lái)就是27。

生14：十位上是2，個(gè)位上的數(shù)比十位上的數(shù)多5的數(shù)是27。

……

顯然，在這個(gè)鏡頭中，我們看到教師把有關(guān)數(shù)的組成的內(nèi)容全權(quán)下放，交給學(xué)生，在貌似“猜數(shù)”的游戲交流過(guò)程中，由學(xué)生自己采用個(gè)性化的方式，通過(guò)問(wèn)題提出完成對(duì)一個(gè)數(shù)的描述和說(shuō)理，并在生生互動(dòng)中，進(jìn)一步理解可以用多種方法表達(dá)同一個(gè)數(shù)。

鏡頭二：討論數(shù)與數(shù)之間的關(guān)系

師：根據(jù)39、27這兩個(gè)數(shù)，你能聯(lián)想到哪些和它們相關(guān)的數(shù)？

【設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)“聯(lián)想相關(guān)數(shù)”，拓展學(xué)生數(shù)感，理解位值制，認(rèn)識(shí)同一個(gè)數(shù)字在不同的數(shù)位上表示不同的意義?！?/p>

生1：我聯(lián)想到72和93。

師指導(dǎo)生1：很好！建議你最好再問(wèn)問(wèn)大家，有沒(méi)有人知道你是怎么聯(lián)想到的。

生1：同學(xué)們，你們知道我是怎么想到這兩個(gè)數(shù)的嗎？

生2：我想你是把27和39十位上的數(shù)字和個(gè)位上的數(shù)字交換位置得到的。

生1：很聰明！我就是這樣想的。

師：像這樣把一個(gè)數(shù)十位上的數(shù)字和個(gè)位上的數(shù)字交換位置得到的新數(shù)，和原來(lái)的數(shù)表示的意義一樣嗎？

生3：不一樣。27的“2”在十位上，表示2個(gè)十；72中的“2”在個(gè)位上，表示2個(gè)一。

生4：72比27多得多，27比72少得多。

生5：我想到了比27大、比39小的數(shù)有：28、29、30、31、32、33、34、35、36、37、38。

生6：我又聯(lián)想到了比27大、比39小的雙數(shù)有：28、30、32、34、36、38。

生7：我還聯(lián)想到了比27大、比39小的單數(shù)有：29、31、33、35、37。

生8：我想到27前面的數(shù)有26、25、24……

生9：我想到39后面的數(shù)是40。

生10：我想到66。你們知道我是怎么想到的嗎？

生11：你是把27和39加起來(lái)得到的。

師：太好了！生10想到了這兩個(gè)數(shù)的和。

（師板書(shū)“和”，并寫(xiě)出算式27＋39＝66）

生12：按生10的想法，我又聯(lián)想到了它們的差是12。

（師板書(shū)“差”，并寫(xiě)出算式39－27＝12）

師追問(wèn)：他們都算對(duì)了嗎？你能想辦法驗(yàn)證一下嗎？

（鼓勵(lì)學(xué)生用自己的算法驗(yàn)證）

【設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)檢驗(yàn)同伴是不是算對(duì)了，幫助學(xué)生對(duì)算理進(jìn)行自我梳理，一方面鞏固自己喜歡的算法，另一方面理順自己尚不熟悉的算法，體會(huì)算法的多樣化，理解不同算法的思維路徑，感受不同算法之間的聯(lián)系?！?/p>

圖2：學(xué)生檢驗(yàn)27＋39＝66的不同算法

圖3：學(xué)生檢驗(yàn)39－27＝12的不同算法

通過(guò)鏡頭一和鏡頭二，我們感受到通過(guò)問(wèn)題提出展開(kāi)教學(xué)，學(xué)生能主動(dòng)參與學(xué)習(xí)，對(duì)一個(gè)數(shù)能從不同的角度觀察、解釋?zhuān)瑢?duì)兩個(gè)數(shù)能從不同的角度建立聯(lián)系、溝通關(guān)系，進(jìn)而理解數(shù)與數(shù)之間的運(yùn)算，體會(huì)“位值”的作用。

鏡頭三：提出加法問(wèn)題

師：運(yùn)用27＋39＝66這個(gè)加法算式，你能解決生活中的哪些問(wèn)題？

【設(shè)計(jì)意圖：借助將算式還原成生活原型的活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生回歸生活，在提出不同的實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中感受數(shù)學(xué)與生活的密切聯(lián)系，體會(huì)加法、減法的數(shù)學(xué)意義?！?/p>

這個(gè)環(huán)節(jié)在實(shí)際教學(xué)時(shí)，不論是在城區(qū)學(xué)校還是在農(nóng)村學(xué)校，學(xué)生的課堂表現(xiàn)都相當(dāng)精彩。大部分學(xué)生都能?chē)@自己現(xiàn)實(shí)的學(xué)習(xí)環(huán)境、生活背景，提出各種鮮活而富有生活味兒的數(shù)學(xué)問(wèn)題。

①紅花有27朵，黃花有39朵，一共有多少朵花？

②上午挖了27個(gè)土豆，下午挖了39個(gè)土豆，一天挖了多少個(gè)土豆？

③樹(shù)上有39只小鳥(niǎo)，又飛來(lái)27只小鳥(niǎo)，現(xiàn)在樹(shù)上有多少只小鳥(niǎo)？

④笑笑拍了27下球，淘氣比笑笑多拍39下，淘氣拍了多少下？

⑤一盒餅干，我吃了27塊，還有39塊。餅干盒里原來(lái)有多少塊餅干？

師質(zhì)疑：?jiǎn)栴}①是求“一共有多少”，“一共”這個(gè)詞很好理解，就是“把紅花和黃花兩個(gè)部分合起來(lái)”，（師手勢(shì)配合）老師明白用加法計(jì)算。可是問(wèn)題②、③、④、⑤里沒(méi)有問(wèn)“一共”，為什么你們也用加法計(jì)算呢？

師求助：誰(shuí)能幫幫我，要怎么理解呢？

生1：?jiǎn)栴}②“一天挖了多少個(gè)土豆？”“一天”就是要把上午挖的和下午挖的合起來(lái)，（生模仿教師手勢(shì)表示）所以，也是用加法。

生2：?jiǎn)栴}③“現(xiàn)在樹(shù)上有多少只小鳥(niǎo)？”“現(xiàn)在”就是把原來(lái)的小鳥(niǎo)和又飛來(lái)的小鳥(niǎo)合起來(lái)，（生手勢(shì)表示）所以，也是用加法。

生3：?jiǎn)栴}④雖然沒(méi)有用“一共”，但是，因?yàn)樘詺庖刃πΧ嗯?9下，（生特別重讀“多”）所以，就要在笑笑“27下”的基礎(chǔ)上再加39下，才是淘氣的。淘氣很厲害。

師：你能結(jié)合這幅圖解釋一下嗎？

圖4

生3：我還沒(méi)想好。

生4：我可以幫他。上面的是笑笑拍的下數(shù)，下面的是淘氣比笑笑多拍的下數(shù)，上面的和下面的合起來(lái)（邊說(shuō)邊畫(huà)集合圈）就是淘氣拍的下數(shù)。

生5：?jiǎn)栴}⑤“原來(lái)”的意思就是沒(méi)有吃之前的餅干數(shù)量。所以，要把吃了的和剩下的合起來(lái)，也是用加法。

在鏡頭三中，通過(guò)師生互動(dòng)，學(xué)生達(dá)成共識(shí)：這些問(wèn)題雖然問(wèn)法不同，但是算理一樣，都是要把兩個(gè)部分的數(shù)合起來(lái)，求和，所以都可以用加法解決。

鏡頭四：提出減法問(wèn)題

在完成對(duì)加法算式意義的整理后，用39－27＝12這個(gè)減法算式，又能幫助我們解決生活中的哪些問(wèn)題？在教師的引領(lǐng)下，學(xué)生生成了以下這樣的問(wèn)題：

①停車(chē)場(chǎng)原來(lái)有39輛車(chē)，開(kāi)走27輛車(chē)，還剩下多少輛？

②老師有39本書(shū)，發(fā)給學(xué)生27本，還剩下多少本？

③有 27張凳子，來(lái)了39個(gè)人，還差幾張凳子？

④笑笑得了39顆星星，淘氣得了27顆星星。笑笑比淘氣多多少顆星星？

⑤笑笑收了27個(gè)廢電池，淘氣收了39個(gè)廢電池，笑笑比淘氣少收多少個(gè)？

⑥蘋(píng)果有39個(gè)，菠蘿比蘋(píng)果少27個(gè)，菠蘿有多少個(gè)？

⑦女生有39人，男生比女生少27人。男生有多少人？

⑧小白兔有39個(gè)蘿卜，小灰兔有27個(gè)蘿卜。小灰兔再拔幾個(gè)就和小白兔的一樣多了？

⑨大盒子里有39塊積木，小盒子里有27塊積木。大盒子里要拿走幾塊積木就和小盒子里的積木同樣多了？

……

在鏡頭四中，我們看到學(xué)生通過(guò)問(wèn)題提出，既能提出用減法解決部分?jǐn)?shù)的生活問(wèn)題（如問(wèn)題①～②），也能提出用減法解決相差數(shù)的問(wèn)題（如問(wèn)題③～⑤，⑧～⑨），還能提出用減法解決比一個(gè)數(shù)多（或少）幾的數(shù)是多少的逆問(wèn)題（如問(wèn)題⑥～⑦）。

在解釋為什么能用減法解決這些問(wèn)題時(shí)，學(xué)生也能用自己的語(yǔ)言、手勢(shì)或畫(huà)圖來(lái)說(shuō)明數(shù)量關(guān)系，最終達(dá)成共識(shí)：這些問(wèn)題雖然場(chǎng)景不同，問(wèn)法不同，但是算理是一樣的，都是求相差數(shù)（或部分?jǐn)?shù)）。因此，都可以用減法來(lái)解決。

如果說(shuō)教育的目的是培養(yǎng)學(xué)生未來(lái)生活所需要的思考能力的話(huà)，通過(guò)本課例，我們可以看到用“問(wèn)題提出”來(lái)幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)數(shù)，有助于學(xué)生數(shù)感的培養(yǎng)；用“問(wèn)題提出”來(lái)幫助學(xué)生理解題意，有助于學(xué)生對(duì)加法、減法意義的理解。

評(píng)析

在過(guò)去的十幾年中，我一直從事有關(guān)數(shù)學(xué)問(wèn)題提出的研究，有足夠的證據(jù)說(shuō)明，中小學(xué)學(xué)生是有能力提出有意義且在數(shù)學(xué)上較為復(fù)雜的問(wèn)題的。同時(shí)，一些小型研究表明，從事問(wèn)題提出的活動(dòng)，學(xué)生參與的思維活動(dòng)更加活躍，并且學(xué)生能夠根據(jù)自己的生活經(jīng)驗(yàn)和學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)提出問(wèn)題。也有一些研究表明，從事問(wèn)題提出的活動(dòng)不僅能促使學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)產(chǎn)生美好的情感，更能促進(jìn)學(xué)生問(wèn)題解決能力的提高。既然問(wèn)題提出的好處那么多，為什么我們不在課堂上多提供機(jī)會(huì)讓學(xué)生參與從事數(shù)學(xué)問(wèn)題提出的活動(dòng)呢？

為此，我一直在探索如何在課堂上提供機(jī)會(huì)讓學(xué)生參與問(wèn)題提出活動(dòng)。在大學(xué)授課時(shí)，我用問(wèn)題提出教數(shù)學(xué)；在教師培訓(xùn)時(shí)，我用問(wèn)題提出讓教師思考、研究教學(xué)問(wèn)題。同時(shí)，我留心收集有關(guān)問(wèn)題提出的教學(xué)案例。在一個(gè)偶然的機(jī)會(huì)我知道了楊薪意老師的這節(jié)課，觀課后很興奮。這是一節(jié)典型的通過(guò)提出問(wèn)題讓學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的好課。

這節(jié)課的一大特點(diǎn)是新穎的設(shè)計(jì)。從猜數(shù)開(kāi)始，學(xué)生在不知不覺(jué)的游戲中加深對(duì)數(shù)的特性的理解。此課的精彩之處在于讓學(xué)生提出不同類(lèi)型的加減法問(wèn)題。與傳統(tǒng)的通過(guò)“關(guān)鍵詞”來(lái)幫助學(xué)生判斷到底是加法問(wèn)題還是減法問(wèn)題相比，用“問(wèn)題提出”的教學(xué)能幫助學(xué)生深刻體會(huì)“兩個(gè)數(shù)為什么相加”“兩個(gè)數(shù)為什么相減”，這樣的教學(xué)更有實(shí)效。教育研究表明，用“關(guān)鍵詞”來(lái)判斷到底是加法問(wèn)題還是減法問(wèn)題的教學(xué)往往是基于死記硬背的，是不利于學(xué)生從數(shù)學(xué)本質(zhì)上理解加減法意義的，也是有礙于學(xué)生用數(shù)學(xué)思維靈活解決問(wèn)題的。在這節(jié)課中，楊老師的設(shè)計(jì)是“逆向”的，讓學(xué)生根據(jù)課堂生成的算式設(shè)計(jì)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題，而這些問(wèn)題還能用這個(gè)算式解答。在這個(gè)基礎(chǔ)上，楊老師引導(dǎo)學(xué)生解釋不同問(wèn)題串的現(xiàn)實(shí)意義，幫助學(xué)生從數(shù)學(xué)層面理解并領(lǐng)會(huì)加減法意義，最后確定用加法還是減法解決問(wèn)題。從認(rèn)知的角度來(lái)說(shuō)，這樣的逆向思維是更高的思維層次。

這節(jié)課的第二大特點(diǎn)是其生成性。似乎一切活動(dòng)都來(lái)自于學(xué)生。有的老師也許會(huì)擔(dān)心，萬(wàn)一學(xué)生沒(méi)有提到某類(lèi)問(wèn)題怎么辦？確實(shí)，這樣的教學(xué)是需要經(jīng)驗(yàn)的。從我觀課以及和楊老師的交流中，我感受到，只要注重兩大關(guān)鍵，這樣的教法所有老師都能掌握。第一是學(xué)習(xí)目標(biāo)。這是一節(jié)復(fù)習(xí)課，盡管整節(jié)課的練習(xí)題都是當(dāng)堂生成的，但一切都是圍繞著學(xué)習(xí)目標(biāo)進(jìn)行的。第二是教師充分的準(zhǔn)備。這節(jié)課楊老師是做了充分準(zhǔn)備的，她預(yù)設(shè)了學(xué)生可能給出的問(wèn)題。如果學(xué)生在課堂上沒(méi)有提出某類(lèi)比較重要的問(wèn)題，楊老師會(huì)以參與交流的伙伴這一角色巧妙地提出來(lái)。

這節(jié)課的第三大特點(diǎn)是把提出問(wèn)題作為教學(xué)手段來(lái)進(jìn)行實(shí)施。也許有的老師會(huì)擔(dān)心：學(xué)生沒(méi)有太多問(wèn)題提出的經(jīng)驗(yàn)和訓(xùn)練，他們提不出問(wèn)題怎么辦？其實(shí)不用擔(dān)心，學(xué)生提出問(wèn)題的能力比我們想象的要高得多(Caietal.，2015)[1]。盡管這是一節(jié)復(fù)習(xí)課，但是，通過(guò)這節(jié)課，我知道在新授課時(shí)，楊老師同樣也是用問(wèn)題提出來(lái)幫助學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué)，加深理解的。

本課例，從一個(gè)側(cè)面告訴我們，課堂上問(wèn)題提出的寬度和深度決定了學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的寬度和深度，進(jìn)而決定了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)目標(biāo)的達(dá)成情況。另外，教師也可以運(yùn)用問(wèn)題提出的任務(wù)幫助我們了解學(xué)生的數(shù)學(xué)理解水平。我們有理由相信，問(wèn)題提出應(yīng)成為學(xué)校課程的一個(gè)重要組成部分。教師不僅需要給學(xué)生提出問(wèn)題創(chuàng)造條件，還需要幫助學(xué)生成為更好的問(wèn)題提出者，為學(xué)生提供經(jīng)歷探究、猜想和提出問(wèn)題的機(jī)會(huì)。希望楊老師的這個(gè)課例能給廣大教師帶來(lái)一點(diǎn)啟發(fā)，希望在今后能看到更多的問(wèn)題提出的精彩課例。

[1]CaiJ.， HwangS.， JiangC.， SilberS. (2015).Problem posing research in mathematics: Someansweredandunansweredquestions[M].InF. M.Singer，N.Ellerton，J.Cai（Eds.），Mathematical problem posing： From research to effective practice（p.3-34）.NewYork，NY：Springer.

（作者單位：四川成都市行知小學(xué)，美國(guó)特拉華大學(xué)）