李志富，任慧龍，石玉云，李輝

(哈爾濱工程大學(xué) 船舶工程學(xué)院，黑龍江 哈爾濱 150001)

Laguerre函數(shù)在時(shí)域匹配邊界元中的應(yīng)用研究

李志富，任慧龍，石玉云，李輝

(哈爾濱工程大學(xué) 船舶工程學(xué)院，黑龍江 哈爾濱 150001)

摘要：利用滿足自由表面條件的時(shí)域格林函數(shù)求解波浪與浮體相互作用問(wèn)題時(shí)，對(duì)于外飄型浮體計(jì)算結(jié)果時(shí)常發(fā)散。針對(duì)此問(wèn)題，建立了內(nèi)外場(chǎng)時(shí)域快速匹配邊界元模型，通過(guò)與解析解對(duì)比，驗(yàn)證了數(shù)值模型的有效性。其次，利用所建立的匹配邊界元模型，研究了流場(chǎng)記憶速度勢(shì)隨時(shí)間的變化特點(diǎn)。針對(duì)長(zhǎng)時(shí)間模擬，時(shí)間卷積積分項(xiàng)導(dǎo)致模擬失敗問(wèn)題，提出了利用Laguerre函數(shù)對(duì)記憶速度勢(shì)時(shí)間變量進(jìn)行級(jí)數(shù)逼近，以對(duì)時(shí)間卷積積分進(jìn)行解析計(jì)算，并對(duì)級(jí)數(shù)收斂速度進(jìn)行了研究。最后，為加快級(jí)數(shù)收斂速度，引入了放縮系數(shù)，并對(duì)其特性進(jìn)行了探討。數(shù)值結(jié)果表明，通過(guò)引入放縮系數(shù)，可以利用較少的級(jí)數(shù)項(xiàng)來(lái)逼近速度勢(shì)的時(shí)間變量，能夠很好地描述記憶速度勢(shì)的脈沖特性。

關(guān)鍵詞：Laguerre函數(shù)；時(shí)域匹配；時(shí)間卷積；多項(xiàng)式逼近；放縮系數(shù)

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波浪與浮體相互作用的時(shí)域模擬具有重要意義[1]。在勢(shì)流理論框架下，根據(jù)所選取格林函數(shù)的不同，主要分為時(shí)域Rankine源法和時(shí)域自由面格林函數(shù)法。對(duì)于時(shí)域自由面格林函數(shù)法，只需要在船體表面進(jìn)行積分，國(guó)內(nèi)外許多學(xué)者都在此方面做了研究[2-3]。此方法對(duì)于不同浮體進(jìn)行模擬時(shí)，都需要重新計(jì)算時(shí)域格林函數(shù)在每一時(shí)刻的值，而時(shí)域格林函數(shù)的計(jì)算又需要占用較長(zhǎng)的CPU時(shí)間，所以該方法計(jì)算效率較低。此外，格林函數(shù)在近水面單元的高頻振蕩特性[4]，導(dǎo)致外飄型船舶的計(jì)算，結(jié)果時(shí)常發(fā)散。對(duì)于時(shí)域Rankine源法，其形式簡(jiǎn)單，且易與高階邊界元法相結(jié)合，以進(jìn)行非線性問(wèn)題的模擬，所以現(xiàn)在仍然有很多學(xué)者對(duì)此進(jìn)行研究[5-6]。但是，時(shí)域Rankine法需要對(duì)計(jì)算域進(jìn)行截?cái)?，且需要布置相?yīng)的人工遠(yuǎn)方輻射條件。

通過(guò)對(duì)時(shí)域Rankine源法和時(shí)域自由面格林函數(shù)法各自優(yōu)缺點(diǎn)的分析，有學(xué)者提出了匹配方法[7-8]，此種方法不僅避免了不同浮體都需對(duì)格林函數(shù)進(jìn)行計(jì)算的問(wèn)題，同時(shí)適用于外飄型船舶的計(jì)算。但是此方法的準(zhǔn)確性和有效性仍需進(jìn)一步驗(yàn)證。無(wú)論是時(shí)域Rankine源法還是匹配方法，在計(jì)算與時(shí)間相關(guān)的記憶速度勢(shì)時(shí)，時(shí)間卷積項(xiàng)的存在，常常導(dǎo)致長(zhǎng)時(shí)間的模擬無(wú)法進(jìn)行。

針對(duì)上述問(wèn)題，本文首先建立了三維內(nèi)外場(chǎng)時(shí)域快速匹配邊界元模型，通過(guò)與解析解的對(duì)比，驗(yàn)證了數(shù)值模型的有效性。其次利用該模型研究了流場(chǎng)中不同點(diǎn)的記憶速度勢(shì)隨時(shí)間的變化特點(diǎn)。最后根據(jù)記憶速度勢(shì)隨時(shí)間的變化特性，提出了利用Laguerre函數(shù)[9]對(duì)記憶速度勢(shì)時(shí)間變量進(jìn)行級(jí)數(shù)逼近，并通過(guò)引入一放縮系數(shù)加快了級(jí)數(shù)的收斂速度。

1基礎(chǔ)理論

1.1內(nèi)外場(chǎng)匹配模型

根據(jù)文獻(xiàn)[10]，假定流場(chǎng)為不可壓縮的理想流體，則流場(chǎng)中的物理量可以用流體速度勢(shì)Φ來(lái)進(jìn)行描述。為建立三維時(shí)域匹配模型，引入一虛擬控制面，如圖1所示。

圖1　內(nèi)外域匹配求解示意圖Fig.1　Coordinate system and boundary surface

流體速度勢(shì)在內(nèi)域滿足以Rankine源所建立的邊界積分方程：

(1)

流體速度勢(shì)在外域滿足以時(shí)域自由面格林函數(shù)所建立的邊界積分方程：

(2)

(3)

(4)

同理，速度勢(shì)ΦII在外域滿足的邊界積分方程(2)也可以離散為相應(yīng)的矩陣形式

(5)

式中：rC表示外域所滿足的邊界積分方程的時(shí)間卷積項(xiàng)。

在虛擬控制面SC上，流體速度勢(shì)及其法向?qū)?shù)應(yīng)滿足如下連續(xù)條件：

(6)

通過(guò)速度勢(shì)在內(nèi)域滿足的邊界積分方程式(4)和外域滿足的邊界積分方程式(5)，便可以得到內(nèi)外域匹配求解方程組：

(7)

式中矩陣的系數(shù)如下

(8)

(9)

(10)

(11)

由式(7)，在求解流場(chǎng)速度勢(shì)時(shí)，只有虛擬控制面SC上涉及了時(shí)域自由面格林函數(shù)波動(dòng)項(xiàng)的計(jì)算。

1.2流場(chǎng)速度勢(shì)分解

由于流體速度勢(shì)所滿足的場(chǎng)方程、邊界條件和初始條件均是線性化的，故可以對(duì)流體速度勢(shì)進(jìn)行線性化分解[11]

(12)

式中：ΦI、ΦD和Φk分別為入射波速度勢(shì)、繞射波速度勢(shì)和輻射波速度勢(shì)，其中ΦI為已知量，ΦD和Φk為待求解的未知量。

對(duì)于輻射波速度勢(shì)Φk，根據(jù)其所代表的物理意義，可以將其分解為與時(shí)間無(wú)關(guān)的瞬時(shí)速度勢(shì)Ψk和與時(shí)間相關(guān)的記憶速度勢(shì)χk:

(13)

根據(jù)瞬時(shí)速度勢(shì)和記憶速度勢(shì)在內(nèi)外域滿足的邊界條件和初始條件[3]，利用式(7)便可求出相應(yīng)的值。根據(jù)線性化的Bernoulli方程[10]便可求出對(duì)應(yīng)的輻射波力

(14)

式中：μjk和Kjk分別為與頻率無(wú)關(guān)的附加質(zhì)量和時(shí)域延遲函數(shù)。其可以相應(yīng)的轉(zhuǎn)化為頻域附加質(zhì)量Ajk和阻尼系數(shù)Bjk:

(15)

(16)

1.3時(shí)間卷積積分項(xiàng)

(17)

(18)

根據(jù)記憶速度勢(shì)隨時(shí)間的變化特性，為加快級(jí)數(shù)的收斂速度，引入一放縮系數(shù)a:

(19)

(20)

(21)

2數(shù)值結(jié)果

2.1匹配邊界元有效性驗(yàn)證

利用時(shí)域快速匹配邊界元法求解浮體和波浪相互作用問(wèn)題時(shí)，影響計(jì)算精度的主要因素有時(shí)間步長(zhǎng)、邊界網(wǎng)格數(shù)目、自由面網(wǎng)格形式、虛擬控制面和物體之間的距離。

為討論自由面網(wǎng)格形式的影響，針對(duì)相同工況，分別選擇了矩形網(wǎng)格、輻射狀網(wǎng)格和矩形三角形混合網(wǎng)格進(jìn)行了計(jì)算，通過(guò)與解析解[12]的對(duì)比驗(yàn)證發(fā)現(xiàn)輻射狀的自由面網(wǎng)格能夠最好的描述輻射波和繞射波的傳播，如圖2所示，圖中半球半徑為1 m，控制面半球半徑為5 m。此與輻射和繞射波代表外傳柱面波的物理意義相一致。

圖2　匹配邊界元網(wǎng)格劃分示意圖Fig.2　Grid pattern for Rankine-Green method

為討論時(shí)間步長(zhǎng)對(duì)計(jì)算結(jié)果的影響，針對(duì)相同工況，分別選取了△t=0.02、0.01、0.005 s進(jìn)行了計(jì)算。計(jì)算得到的無(wú)量綱時(shí)域延遲函數(shù)如圖3所示，3條曲線幾乎重合。此外，針對(duì)邊界網(wǎng)格數(shù)目和虛擬控制面與物體之間的距離也做了同樣的對(duì)比分析。最后，考慮數(shù)值計(jì)算精度和計(jì)算效率，在文章后續(xù)計(jì)算中，自由面劃分為輻射式網(wǎng)格，計(jì)算時(shí)間步長(zhǎng)選為0.01 s，虛擬控制面和物面間距為5倍的物體特征長(zhǎng)度，網(wǎng)格數(shù)目為物面130、自由面200、控制面150。

圖3　時(shí)間步長(zhǎng)對(duì)計(jì)算結(jié)果的影響Fig.3　Influence of time step on the numerical results interval

對(duì)于半球在靜水中做強(qiáng)迫垂蕩運(yùn)動(dòng)，分別計(jì)算了其附加質(zhì)量系數(shù)和阻尼系數(shù)，如圖4、5所示。由圖可知，利用本文建立的快速時(shí)域匹配邊界元法計(jì)算的結(jié)果與文獻(xiàn)[12]提供的解析解符合良好，說(shuō)明本文提供的數(shù)值模型能夠準(zhǔn)確模擬波浪和浮體相互作用的流場(chǎng)。

圖4　無(wú)因次附加質(zhì)量系數(shù)Fig.4　Non-dimensional added mass coefficient

圖5　無(wú)因次興波阻尼系數(shù)Fig.5　Non-dimensional damping coefficient

2.2Laguerre函數(shù)有效性驗(yàn)證

為驗(yàn)證Laguerre函數(shù)的有效性，首先對(duì)記憶速度勢(shì)隨時(shí)間的變化特性進(jìn)行了研究。記憶速度勢(shì)代表浮體干擾形成表面波浪，開始波浪傳播之后的那部分速度勢(shì)，并且隨時(shí)間逐漸衰減，如圖6所示，圖中點(diǎn)1位于虛擬控制面和自由表面相交處(5,0,0)，點(diǎn)2位于虛擬控制面的中部(4.33,0.00,2.50)，點(diǎn)3位于虛擬控制面的底部(0,0,5)。圖6表明隨著場(chǎng)點(diǎn)遠(yuǎn)離自由面，記憶速度勢(shì)的變化逐漸趨于平緩，此與記憶速度勢(shì)代表物體興波部分速度勢(shì)的物理意義相一致；且記憶速度勢(shì)隨時(shí)間出現(xiàn)一個(gè)較大的脈沖峰以后，便開始迅速衰減，此與修正Laguerre函數(shù)中的指數(shù)函數(shù)部分相符合，初步說(shuō)明了利用Laguerre函數(shù)進(jìn)行記憶速度勢(shì)時(shí)間變量級(jí)數(shù)逼近的可行性。

圖6　記憶速度勢(shì)隨時(shí)間變化Fig.6　 Memory potential for different points

根據(jù)圖6中的3組數(shù)據(jù)，本文對(duì)隨時(shí)間變化最為劇烈的點(diǎn)1進(jìn)行了Laguerre函數(shù)逼近研究。在不引入放縮系數(shù)的情況下，函數(shù)逼近隨級(jí)數(shù)項(xiàng)數(shù)的變化如圖7所示，絕對(duì)誤差隨項(xiàng)數(shù)的變化如圖8所示。由圖可知，隨著逼近級(jí)數(shù)項(xiàng)數(shù)的增加，級(jí)數(shù)解越趨近于原數(shù)據(jù)，但是收斂效果隨項(xiàng)數(shù)的增加改善較為緩慢，例如當(dāng)級(jí)數(shù)項(xiàng)數(shù)增加一倍時(shí)，逼近絕對(duì)誤差縮小不到一倍，而計(jì)算求解矩陣的維數(shù)卻大大增加。

圖7　Laguerre級(jí)數(shù)逼近精度與截?cái)囗?xiàng)數(shù)的關(guān)系(a=1)Fig.7　Relationship between series approximation and 　　truncated series terms (a=1)

圖8　Laguerre級(jí)數(shù)逼近絕對(duì)誤差與截?cái)囗?xiàng)數(shù)的關(guān)系(a=1)Fig.8　Relationship between absolute error and truncated 　　series terms (a=1)

圖9　Laguerre級(jí)數(shù)逼近與放縮系數(shù)的關(guān)系(N=15)Fig.9　Relationship between series approximation and　　 flexible parameter (N=15)

圖10　Laguerre級(jí)數(shù)逼近絕對(duì)誤差與放縮系數(shù)的關(guān)系(N=15)Fig.10　Relationship between absolute error and flexible 　　parameter (N=15)

為了增加Laguerre級(jí)數(shù)逼近的收斂速度，同時(shí)又不增加計(jì)算機(jī)求解負(fù)擔(dān)，引入了放縮系數(shù)的概念，如式(21)所示。由圖10可知，隨著放縮系數(shù)的減小，相對(duì)誤差逐漸減小，當(dāng)放縮系數(shù)等于0.2時(shí)，級(jí)數(shù)項(xiàng)取為15的結(jié)果要明顯優(yōu)于不取放縮系數(shù)的級(jí)數(shù)項(xiàng)取為20的結(jié)果，如圖11所示。由此可以確定，通過(guò)引入放縮系數(shù)，可以利用較少的項(xiàng)數(shù)來(lái)逼近函數(shù)的真解，從而確保了利用Laguerre函數(shù)進(jìn)行記憶速度勢(shì)時(shí)間變量進(jìn)行級(jí)數(shù)逼近的經(jīng)濟(jì)性和可行性。

圖11　放縮系數(shù)對(duì)級(jí)數(shù)收斂速度影響Fig.11　 Influence of flexible parameter and series terms

4結(jié)論

本文通過(guò)引入虛擬控制面，將流場(chǎng)劃分為內(nèi)域和外域，并根據(jù)速度勢(shì)及其法向?qū)?shù)在控制面上連續(xù)的條件建立了時(shí)域快速匹配邊界元模型。此外，提出了利用Laguerre函數(shù)對(duì)記憶速度勢(shì)的時(shí)間軸進(jìn)行級(jí)數(shù)逼近，以解析計(jì)算時(shí)間卷積積分的思路，并通過(guò)引入一放縮系數(shù)，大大加快了級(jí)數(shù)的收斂速度。通過(guò)對(duì)計(jì)算結(jié)果的分析，得到以下結(jié)論：

1)通過(guò)與解析解的對(duì)比表明本文建立的內(nèi)外場(chǎng)時(shí)域快速匹配邊界元法具有較高的數(shù)值計(jì)算精度，且由求解矩陣可知，時(shí)域快速匹配邊界元法與直接邊界元法相比具有較高的計(jì)算效率，為研究浮體和波浪相互作用下流場(chǎng)的特性提供了一種精確、高效的方法；

2)自由面劃分為輻射狀網(wǎng)格，控制面距離物面為5倍的物體的特征尺度，時(shí)間步長(zhǎng)取為0.01 s時(shí)，時(shí)域快速匹配邊界元法便能給出令人滿意的計(jì)算結(jié)果；

3)代表浮體興波之后流場(chǎng)特性的記憶速度勢(shì)在出現(xiàn)一個(gè)很大的峰之后，隨時(shí)間迅速衰減，當(dāng)t=2.5 s后，基本趨于平緩；

4)利用Laguerre函數(shù)對(duì)記憶速度勢(shì)的時(shí)間變量做級(jí)數(shù)逼近時(shí)，隨著級(jí)數(shù)項(xiàng)數(shù)的增加，級(jí)數(shù)逐漸收斂，但級(jí)數(shù)收斂速度較為緩慢；

5)分析Laguerre函數(shù)及其正交權(quán)函數(shù)的性質(zhì)，引入一放縮系數(shù)，數(shù)值結(jié)果顯示，放縮系數(shù)可大大加快級(jí)數(shù)的收斂速度，N=15，a=0.2的逼近結(jié)果要明

顯的優(yōu)于N=20，a=1時(shí)的結(jié)果,保證了時(shí)域快速解析匹配邊界元的可行性與高效性。

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本文引用格式：

李志富，任慧龍，石玉云，等. Laguerre函數(shù)在時(shí)域匹配邊界元中的應(yīng)用研究[J]. 哈爾濱工程大學(xué)學(xué)報(bào)， 2016, 37(5): 629-633.

LI Zhifu，REN Huilong，SHI Yuyun， et al. Application of Laguerre function in the time domain Rankine-Green panel method[J]. Journal of Harbin Engineering University, 2016, 37(5): 629-633.

Application of Laguerre function in the time domain Rankine-Green panel method

LI Zhifu，REN Huilong，SHI Yuyun，LI Hui

(College of Shipbuilding Engineering, Harbin Engineering University, Harbin 150001, China)

Abstract：The divergence phenomenon will happen when the transient free surface Green function method is adopted to simulate the motion response of the ships with large flare. To avoid that problem, the Rankine-Green panel method is proposed , and the accuracy of this method is verified by the comparision with the analytical solutions. Then the hybrid method is used to investigate the variation properties of the memory velocity potential wiht respect to time, and the Laguerre function is introduced to express the memory potentials in the Laguerre series form. Therefore, the temporal convolution integral of the memory potentials with the Green function can be computed analytically, which ensures the long time simulations. Besiedes, to accelerate the convergence speed of the Laguerre series, a flexible parameter is introduced and its features are discussed. The numerical results show that the temporal variable of the memory potential can be approximated by less Laguerre series terms with a flexible parameter, which means that the Laguerre series can give a reasonable description of the impulse properties of the memory velocity potential.

Keywords：Laguerre function; Rankine-Green panel method; temporal convolution integral; series approximation; flexible parameter

收稿日期：2015-04-10.

基金項(xiàng)目：國(guó)家“973”計(jì)劃項(xiàng)目(2011CB3703)；國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51109046).

作者簡(jiǎn)介：李志富(1990-), 男, 博士研究生； 通信作者：任慧龍, E-mail：renhuilong@263.net.

DOI:10.11990/jheu.201504023

中圖分類號(hào)：O352

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào)：1006-7043(2016)05-0629-05

網(wǎng)絡(luò)出版時(shí)間：2016-04-11.

任慧龍(1965-), 男, 教授, 博士生導(dǎo)師.