龍正祥

(陜西省西安惠安中學(xué)，710302)

優(yōu)化解題過程培養(yǎng)思維能力

龍正祥

(陜西省西安惠安中學(xué)，710302)

數(shù)學(xué)教育作為培養(yǎng)人的思維能力、創(chuàng)新意識(shí),是豐富多彩、充滿活力的．新課程標(biāo)準(zhǔn)強(qiáng)調(diào):高中數(shù)學(xué)課程應(yīng)注重提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力,這是數(shù)學(xué)教育的基本目標(biāo)之一．從高考改革的趨勢(shì)來看,將來的高考試題會(huì)給思維能力強(qiáng)的學(xué)生留下了充分施展才能的空間，在高考中這種思維能力主要體現(xiàn)在解題能力上.解題能力的提高在高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課中,主要是讓學(xué)生通過一題多法、多題共法、一題多變、一題多用、一題多聯(lián)的思維訓(xùn)練逐漸培養(yǎng)思維靈活性、廣闊性、嚴(yán)謹(jǐn)性、批判性、深刻性等品質(zhì)．

一、一題多法，培養(yǎng)思維的靈活性

解法1(利用三角函數(shù)的有界性) 設(shè)動(dòng)點(diǎn)D(3+cosθ,sinθ),則

解法3(利用三角不等式)

由柯西不等式，得

需要特別指出的是,一題多法的價(jià)值并不是為了使學(xué)生掌握這道題的所有解法,而在于使學(xué)生學(xué)會(huì)從不同角度、不同方位去審視、去思考,從而溝通知識(shí)之間的縱橫聯(lián)系,激發(fā)學(xué)生的求知欲,達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生思維靈活性品質(zhì)的目標(biāo).要實(shí)現(xiàn)這一目標(biāo),需教師引導(dǎo)學(xué)生多方位思考,并及時(shí)調(diào)整，否則可能造成學(xué)生的迷惘,走入誤區(qū).

二、多題共法，培養(yǎng)思維的廣闊性

例2(1)設(shè)關(guān)于x的方程x2+2x+a=0在(0,+∞)上有解,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

(2)設(shè)關(guān)于x的方程sin2x+2sinx+a=0有解,求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

(3)設(shè)關(guān)于x的不等式sin2x+2sinx+a>0有解,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

(4)設(shè)關(guān)于x的不式sin2x+2sinx+a>0恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

經(jīng)過分析、比對(duì),雖然這個(gè)例子中(1)～(4)數(shù)學(xué)情境不同,分別以二次方程、三角方程、三角不等式的“面孔”出現(xiàn),但其本質(zhì)特征——通過兩個(gè)變量的相互關(guān)系,尋找其中一個(gè)變量的取值(范圍)是相同的,所以都可以用“分離法”解決.

對(duì)第(4)問略解如下:

sin2x+2sinx+a>0恒成立等價(jià)于a>-(sinx+1)2+1對(duì)x∈R恒成立.

∵f(x)=-(sinx+1)2+1的最大值為1,故所求a的取值范圍是(1,+∞).

多題共法需要學(xué)生有一定的類比、觀察和概括能力,對(duì)學(xué)生掌握基本數(shù)學(xué)技能和解題規(guī)律性有著一定的積極作用,能達(dá)到做一題,會(huì)一類;用一法,解多題的效果.有利于求同思維的發(fā)展,有利于培養(yǎng)學(xué)生思維的廣闊性.

三、一題多變——培養(yǎng)思維的嚴(yán)謹(jǐn)性

例3已知a,b,c,d∈R,且a2+b2=1,c2+d2=1,求證:|ac+bd|≤1.

在學(xué)生用比較法、分析法、綜合法證明之后, 可啟發(fā)學(xué)生反思是否還有其它解法.經(jīng)過學(xué)生獨(dú)立思考、合作交流,分析歸納出柯西不等式法、三角代換法、向量法、復(fù)數(shù)法、幾何法等方法.通過師生共同探究,還可以將例題變形、推廣,得出一系列新題:

變式2已知a,b,c,d∈R,且a2+b2=1,c2+d2=1,求證:|ac-bd|≤1；

變式5已知a,b,c,d∈R,且a2+b2=1,c2+d2=1,ab+cd=1,求證:ab-cd=0；

以“原型題”作為素材,適當(dāng)改變條件或問題背景；或?qū)栴}作橫、縱向拓展引申,能大大增強(qiáng)學(xué)生對(duì)問題的認(rèn)識(shí),辯證地分析和應(yīng)用條件,對(duì)培養(yǎng)思維嚴(yán)謹(jǐn)性大有裨益.課堂教學(xué)中若能發(fā)揮此類題的輻射作用,可起到事半功倍的效能.

四、一題多用，培養(yǎng)思維的批判性

該題的證明比較簡單，這里從略.此函數(shù)不妨簡稱“對(duì)勾”函數(shù),其單調(diào)性在求最值方面用途非常廣泛,我們可以利用這種函數(shù)的結(jié)論或方法解決一類函數(shù)最值問題.

(i)若0

(ii)若c>1,求f(x)的最小值.

f(t)min=f(1)=2.

由單調(diào)性可得

利用基本不等式求最值是常用方法之一,但取“=”條件不具備時(shí),我們應(yīng)想到利用“對(duì)勾”函數(shù)的單調(diào)性,讓例4的功用得到彰顯.

五、一題多聯(lián)——培養(yǎng)思維的深刻性

思路1鑒于MF1和MF2是橢圓上點(diǎn)與兩焦點(diǎn)連線,故可聯(lián)系橢圓定義.

∵|MF1|+|MF2|=2a,

|MF1|2+|MF2|2=4c2,

思路2由F1M⊥F2M,可聯(lián)系直線的斜率.設(shè)M(x0,y0) (-a

①

又點(diǎn)M在橢圓C上,有

②

思路3采用“交軌法”,聯(lián)系點(diǎn)M上是以F1F2為直徑的圓上.

因?yàn)镕1M⊥F2M,所以點(diǎn)M所在的軌跡方程為x2+y2=c2.

與橢圓方程聯(lián)立,可得

(a2-b2)x2-a2(c2-b2)=0,

思路4由F1M⊥F2M及張角∠F1MF2大小隨點(diǎn)M的變化趨勢(shì),可聯(lián)系運(yùn)動(dòng)觀念.

一個(gè)數(shù)學(xué)問題,可從不同角度、不同的知識(shí)點(diǎn)出發(fā),都能得到圓滿的解決.同時(shí)，在問題解決過程中,思維的廣闊性、深刻性也得到深化．