李克昭　李志偉　丁安民　孟福軍

1　河南理工大學(xué)測(cè)繪與國(guó)土信息工程學(xué)院，焦作市世紀(jì)路2001號(hào)，454000 2　北斗導(dǎo)航應(yīng)用技術(shù)協(xié)同創(chuàng)新中心，鄭州市科學(xué)大道62號(hào)，450001 3　塔里木大學(xué)水利與建筑工程學(xué)院，阿拉爾市虹橋南路705號(hào)，843300

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灰線性加權(quán)非等距GM(1,1)形變預(yù)測(cè)模型

李克昭1,2李志偉1丁安民1孟福軍3

1河南理工大學(xué)測(cè)繪與國(guó)土信息工程學(xué)院，焦作市世紀(jì)路2001號(hào)，454000 2北斗導(dǎo)航應(yīng)用技術(shù)協(xié)同創(chuàng)新中心，鄭州市科學(xué)大道62號(hào)，450001 3塔里木大學(xué)水利與建筑工程學(xué)院，阿拉爾市虹橋南路705號(hào)，843300

摘要：結(jié)合加權(quán)非等距GM(1,1)模型與線性回歸理論，構(gòu)建灰線性加權(quán)非等距GM(1,1)預(yù)測(cè)模型，并給出對(duì)模型預(yù)測(cè)精度起決定性作用的灰指數(shù)v和參數(shù)m的優(yōu)化方法。與加權(quán)非等距GM(1,1)模型和線性回歸預(yù)測(cè)模型相比，灰線性加權(quán)非等距GM(1,1)預(yù)測(cè)模型的精度更高，預(yù)測(cè)有效時(shí)間更長(zhǎng)，模型的穩(wěn)定性更好。優(yōu)化v和m后，灰線性加權(quán)非等距GM(1,1)預(yù)測(cè)模型的實(shí)用性、穩(wěn)定性進(jìn)一步提高。

關(guān)鍵詞：加權(quán)非等距GM(1,1)；線性回歸；灰指數(shù)v；參數(shù)m；變形監(jiān)測(cè)

灰色系統(tǒng)理論可為實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)有限的建筑物的變形不確定性問題提供新的預(yù)測(cè)理論支持。用于沉降變形監(jiān)測(cè)的傳統(tǒng)灰色預(yù)測(cè)模型主要有灰色GM(1,1)模型[1]、優(yōu)化的灰色GM(1,1)模型[2-3]、灰色人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型[4]、灰色-馬爾科夫預(yù)測(cè)模型[5]以及灰色組合模型[6-8]等。這些模型都是基于等距時(shí)間序列建立的，但在實(shí)際的變形監(jiān)測(cè)工作中，時(shí)間序列往往是非等距的。基于此，一些學(xué)者構(gòu)建了非等距灰色預(yù)測(cè)模型，并取得了一定的成果[9-11]。非等距灰色預(yù)測(cè)模型的預(yù)測(cè)精度有大幅提高，但依然易受建模數(shù)據(jù)隨機(jī)擾動(dòng)的影響，且模型的穩(wěn)定性較差。線性回歸預(yù)測(cè)模型對(duì)短中期的預(yù)測(cè)能夠取得非常好的效果，具有一定的抗擾動(dòng)能力。本文從加權(quán)非等距GM(1,1)的建模原理入手，結(jié)合線性回歸理論建立灰線性加權(quán)非等距GM(1,1)預(yù)測(cè)模型，并將其應(yīng)用于某建筑物變形監(jiān)測(cè)中，進(jìn)行預(yù)測(cè)驗(yàn)證與比較分析。

1基于加權(quán)非等距GM(1,1)和線性回歸理論的預(yù)測(cè)模型

1.1加權(quán)非等距GM(1,1)模型

假設(shè)一組非負(fù)原始數(shù)據(jù)序列，記為X(0)：

(1)

式中，tn為觀測(cè)時(shí)刻，X(0)(tn)為tn時(shí)刻的觀測(cè)值。

對(duì)原始數(shù)據(jù)X(0)序列進(jìn)行一次累加，生成的累加數(shù)據(jù)序列記為X(1)：

(2)

參考文獻(xiàn)[9-11]，利用最小二乘原理計(jì)算可得加權(quán)非等距GM(1,1)的預(yù)測(cè)方程為： [7-8]，由灰色GM(1,1)預(yù)測(cè)方程可得：

(3)

最后，恢復(fù)時(shí)間序列，還原預(yù)測(cè)值：

(4)

1.2灰線性加權(quán)非等距GM(1,1)預(yù)測(cè)模型

(5)

(6)

式中，a1為發(fā)展系數(shù)，b1為灰作用量。式(6)可記為：

(7)

(8)

式中，參數(shù)v、m1、m2、m3為待定系數(shù)，為確定的4個(gè)參數(shù)。設(shè)參數(shù)序列：

(9)

由式(9)可求得參數(shù)v的解為：

v=ln(Ym(t+1)/Ym(t))

(10)

(11)

將式(11)的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行一次累減，還原時(shí)間序列，生成原始序列X(0)的擬合值和預(yù)測(cè)值。由式(11)可知，當(dāng)m1=0時(shí)，該預(yù)測(cè)方程為線性回歸方程；當(dāng)m2=0時(shí)，該預(yù)測(cè)方程為傳統(tǒng)的GM(1,1)預(yù)測(cè)方程?；揖€性加權(quán)非等距GM(1,1)模型使加權(quán)非等距GM(1,1)模型中不含線性因素以及線性回歸中不含指數(shù)增長(zhǎng)趨勢(shì)的情形得

到很好的改善。

2實(shí)例計(jì)算與分析

以文獻(xiàn)[8]中居民樓1棟CJ1沉降點(diǎn)的沉降累計(jì)觀測(cè)數(shù)據(jù)為例(表1)，利用前8期沉降數(shù)據(jù)構(gòu)建灰線性加權(quán)非等距GM(1,1)預(yù)測(cè)模型，預(yù)測(cè)第9～13期沉降數(shù)據(jù)，并與加權(quán)非等距GM(1,1)預(yù)測(cè)模型、線性回歸預(yù)測(cè)模型進(jìn)行比較(表2)。

2.1數(shù)據(jù)計(jì)算與分析

從表2可以看出，灰線性加權(quán)非等距GM(1,1)預(yù)測(cè)模型的預(yù)測(cè)值殘差中誤差遠(yuǎn)小于加權(quán)非等距GM(1,1)和線性回歸預(yù)測(cè)模型。加權(quán)非等距GM(1,1)和線性回歸預(yù)測(cè)模型在短期內(nèi)預(yù)測(cè)效果較好，但隨著預(yù)測(cè)時(shí)間的增加，預(yù)測(cè)效果越來越來差。相比而言，灰線性加權(quán)非等距GM(1,1)預(yù)測(cè)模型精度更高，穩(wěn)定預(yù)測(cè)時(shí)間更長(zhǎng)。

2.2m、v取值對(duì)模型預(yù)測(cè)精度的影響

由表4和表5可知，對(duì)于建模數(shù)據(jù)n=7，當(dāng)m=1，2，3，4時(shí)，該模型的預(yù)測(cè)擬合值精度最優(yōu)；對(duì)于n=8，當(dāng)m=1,2,3,4,5時(shí)，該模型的預(yù)測(cè)擬合值精度最優(yōu)。m的取值隨著建模數(shù)據(jù)維數(shù)的不同而變化，但并非m值越大，模型的預(yù)測(cè)精度就越高。由于各個(gè)建模數(shù)據(jù)具有一定的隨機(jī)擾動(dòng)性，因此，在實(shí)際建模過程中，應(yīng)根據(jù)建模數(shù)據(jù)的不同進(jìn)行討論，并計(jì)算出最優(yōu)的預(yù)測(cè)模型。

2.3預(yù)測(cè)結(jié)果分析

n值不同，模型的預(yù)測(cè)精度也不相同，預(yù)測(cè)精度的不同是因?yàn)椴煌慕l件對(duì)模型系統(tǒng)特征的影響不同。由表4和表5可知，當(dāng)n=7,m=1，2，3，4時(shí)，該模型在n=7條件下預(yù)測(cè)精度最優(yōu)；當(dāng)n=8,m=1,2,3,4,5時(shí)，該模型在n=8條件下預(yù)測(cè)精度最優(yōu)。將兩種模型都進(jìn)行5期預(yù)測(cè)，結(jié)果見表6。

從表6看出，當(dāng)n=8,m=1,2,3,4,5時(shí)，該模型最適合原始的建模數(shù)據(jù)，模型的預(yù)測(cè)精度最高，殘差中誤差為1.900 5 mm，同時(shí)證明了該預(yù)測(cè)模型具有預(yù)測(cè)精度高、預(yù)測(cè)周期長(zhǎng)的優(yōu)勢(shì)。所以，在模型建立時(shí)，應(yīng)根據(jù)建模數(shù)據(jù)的不同進(jìn)行討論，建立最優(yōu)的預(yù)測(cè)模型。

3結(jié)語(yǔ)

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Foundationsupport:NationalNaturalScienceFoundationofChina,No. 41202245, 41272373;BackboneTeacherFoundationofHenanPolytechnicUniversity,No.72105/090.

Aboutthefirstauthor:LIKezhao,PhD,associateprofessor,majorsinsatellitepositioningandvisionnavigationtheory,E-mail:lkznwpu@126.com.

Deformation Prediction Model of Gray Line Weighted Non-Equidistance GM(1,1)

LIKezhao1,2LIZhiwei1DINGAnmin1MENGFujun3

1School of Surveying and Land Information Engineering, Henan Polytechnic University, 2001 Shiji Road, Jiaozuo 454000, China 2Collaborative Innovation Center of BDS Research Application, 62 Kexue Road, Zhengzhou 450001, China 3College of Water Resources and Architectural Engineering, Tarim University, 705 South-Hongqiao Road, Alar 843300, China

Abstract:On the basis of weighted non-equidistance GM(1,1) and line regression theories, we combined a weighted non-equidistance GM(1,1) model with line regression theory organically, and propose

thegraylinearweightednon-equidistanceGM(1,1)model.Thentheoptimizationmethodofthegrayindexvandthevalueofparameterm,whicharevitaltothemodelpredictionaccuracy,isgiven.Incomparisonwiththeweightednon-equidistanceGM(1,1)andlineregressionmodels,thegraylinearweightednon-equidistanceGM(1,1)modelhasadvantages,suchashigherpredictionaccuracy,morevalidpredictiontime,andmorestablepredictionability.Whenvandmareoptimized,theapplicabilityandstabilityofthegraylinearweightednon-equidistanceGM(1,1)modelisfurtherimproved.

Keywords:weightednon-equidistanceGM(1,1);lineregression;greyindexv;parameterm;deformationmonitoring

收稿日期：2015-09-22

第一作者簡(jiǎn)介：李克昭，博士，副教授，主要從事衛(wèi)星定位和視覺導(dǎo)航的理論研究，E-mail: lkznwpu@126.com。

DOI：10.14075/j.jgg.2016.06.010

文章編號(hào)：1671-5942(2016)06-0513-04

中圖分類號(hào)：P258

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

項(xiàng)目來源：國(guó)家自然科學(xué)基金(41202245，41272373)，河南理工大學(xué)骨干教師資助項(xiàng)目(72105/090)。