李廣春　戴吾蛟,2　曾凡河,2　劉　斌

1　中南大學(xué)地球科學(xué)與信息物理學(xué)院，長沙市麓山南路932號，410083 2　湖南省精密工程測量與形變?yōu)暮ΡO(jiān)測重點實驗室，長沙市麓山南路932號， 410083

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三維動態(tài)趨勢面模型在地面沉降分析中的應(yīng)用

李廣春1戴吾蛟1,2曾凡河1,2劉斌1

1中南大學(xué)地球科學(xué)與信息物理學(xué)院，長沙市麓山南路932號，410083 2湖南省精密工程測量與形變?yōu)暮ΡO(jiān)測重點實驗室，長沙市麓山南路932號， 410083

摘要：在趨勢面擬合模型的基礎(chǔ)上考慮時間項，建立三維動態(tài)趨勢面模型，并通過模擬數(shù)據(jù)驗證模型的適用性，最后對南沙地區(qū)GPS沉降監(jiān)測網(wǎng)數(shù)據(jù)進行分析。結(jié)果表明，三維動態(tài)趨勢面模型可以反映區(qū)域沉降的整體時空變化趨勢，并具有良好的時空插值效果。

關(guān)鍵詞：動態(tài)趨勢面擬合；地面沉降分析；時空插值

趨勢面擬合作為一種空間擬合插值方法已經(jīng)得到廣泛的應(yīng)用[1-5]。移動趨勢面和多面函數(shù)方法是對常規(guī)趨勢面方法的改進，其中移動趨勢面方法需要確定移動區(qū)域半徑，并且無法得到統(tǒng)一的模型[6]；多面函數(shù)方法依賴于核函數(shù)的選取和光滑因子的選定[7]。地面沉降過程是時空上的動態(tài)過程，其分析需要同時考慮時間和空間特性。三維動態(tài)趨勢面模型是在空間趨勢面擬合的基礎(chǔ)上考慮時間項的趨勢面擬合模型。本文利用此模型對GPS沉降監(jiān)測數(shù)據(jù)進行擬合分析。

1三維動態(tài)趨勢面

三維動態(tài)趨勢面擬合模型是空間位置和時間的多項式函數(shù)，其實質(zhì)是將多項式轉(zhuǎn)換為多元線性回歸模型，并利用最小二乘法估計參數(shù)。趨勢面通常把實際地面沉降分解為趨勢項和剩余項兩個部分[8]。

1.1三維動態(tài)趨勢面原理

三維趨勢面擬合在空間趨勢面擬合的基礎(chǔ)上加入時間向量構(gòu)造三維動態(tài)趨勢面，以反映地面沉降的時間和空間變化情況。其多項式形式為：

(1)

式中，αijk(i、j=0,1,…,m;k=0,1,…,p)為多項式的系數(shù)，(x,y)為點的平面坐標(biāo)，t為相應(yīng)數(shù)據(jù)的觀測時刻，ε為剩余項。對于沉降面比較簡單的情況，平面坐標(biāo)的階次可以選用低階；對于較復(fù)雜的沉降面，可以選擇較高階，但平面階次的選擇還應(yīng)考慮平面采樣點的個數(shù)。

一般將式(1)作為多元線性回歸模型，利用最小二乘原理求解其系數(shù)。但式(1)中，各項的階次不同可能導(dǎo)致各項數(shù)值的數(shù)量級不同，在參數(shù)估計的過程中可能出現(xiàn)病態(tài)的情況。對式(1)中的各項進行標(biāo)準(zhǔn)化處理，得：

(2)

式中，Zs為因變量標(biāo)準(zhǔn)化后的向量，Xs(i )為式(1)中各項標(biāo)準(zhǔn)化后的向量，bs為標(biāo)準(zhǔn)化后對應(yīng)的多元線性回歸系數(shù)。

利用最小二乘原理，求標(biāo)準(zhǔn)化后的式(2)的各項系數(shù)，使

(3)

求解式(3)，得到式(2)多元回歸的系數(shù)：

(4)

1.2模型的顯著性檢驗

趨勢面擬合模型只是一種假設(shè)統(tǒng)計模型，因此在求得模型參數(shù)后，需要對模型進行統(tǒng)計檢驗，以檢驗?zāi)Ｐ图澳Ｐ蛥?shù)的顯著性。

在線性回歸分析中，模型的整體顯著性檢驗一般是通過構(gòu)建F統(tǒng)計量：

(5)

對模型的整體性檢驗只能檢驗?zāi)Ｐ褪欠耧@著。在模型顯著的情況下，并不能保證模型中每個參數(shù)都是顯著的，因此，還需要對模型參數(shù)進行統(tǒng)計檢驗。構(gòu)建T統(tǒng)計量：

(6)

2模擬實驗

為分析模型的適用性，生成4×4格網(wǎng)共16個點的動態(tài)趨勢面，共500期數(shù)據(jù)。其中，4個頂點利用二次曲線得到，其余點的數(shù)據(jù)利用式(7)的反距離平方加權(quán)插值得到。對生成的趨勢面加入方差為1的隨機噪聲，得到最終的模擬數(shù)據(jù)：

(7)

取模擬數(shù)據(jù)中15個點的前400期數(shù)據(jù)參與動態(tài)趨勢面擬合，另外1個點作為檢核點檢驗?zāi)Ｐ偷目臻g預(yù)測效果。因模擬數(shù)據(jù)由二次曲線生成，模型的時間階數(shù)定為2。由于有15個點的數(shù)據(jù)參與擬合，因此擬合模型的空間階數(shù)最高為4階。通過對2階、3階和4階擬合模型的試算，確定空間階次為3時擬合模型最優(yōu)。

從圖1可以看出，動態(tài)趨勢面擬合模型對模擬數(shù)據(jù)擬合效果較好。圖2和圖3表明，模型對模擬數(shù)據(jù)時間和空間的預(yù)測曲線基本和模擬數(shù)據(jù)一致，但兩者還是存在一定的差別，可能是模擬數(shù)據(jù)中的隨機噪聲對建模過程的影響所致。圖4反映了模擬數(shù)據(jù)趨勢面的時空變化，圖中點表示模擬數(shù)據(jù)對應(yīng)點位。對加入方差為4的隨機噪聲的模擬數(shù)據(jù)建模結(jié)果與噪聲方差為1的模擬數(shù)據(jù)建模結(jié)果進行對比，結(jié)果見表1。可以看出，隨機噪聲的大小對模型建立有一定影響，隨機噪聲過大可能造成建模不準(zhǔn)確。

3實例分析

對南沙地區(qū)GPS地面沉降監(jiān)測網(wǎng)進行分析。監(jiān)測網(wǎng)由4個雙頻監(jiān)測點和7個單頻監(jiān)測點組成，其中兩個雙頻監(jiān)測點布設(shè)在山頂?shù)膸r石及具有深基樁的房頂上，其余監(jiān)測點布設(shè)在地面或未有深基樁的房頂上。

選取監(jiān)測網(wǎng)中的GD01～GD11共11個監(jiān)測點2012-08-26～2013-08-26共366期的數(shù)據(jù)進行分析，其中觀測數(shù)據(jù)以GD05點為基準(zhǔn)解算得到。因GD11點的數(shù)據(jù)缺失較多，將其作為檢驗點不參與擬合建模，選取其余10個監(jiān)測點前300期數(shù)據(jù)參與動態(tài)趨勢面擬合。首先利用3倍中誤差法剔除粗差，利用線性插值插補缺失值，對數(shù)據(jù)進行預(yù)處理。建模過程中，以2012-08-01為時間起點，以a為單位，平面坐標(biāo)以GD05監(jiān)測點為基準(zhǔn)，以km為單位。

共有10個監(jiān)測點數(shù)據(jù)參與模型擬合，因此空間階次最高為3。通過對不同時間和空間階次模型的試算，對擬合的殘差中誤差進行對比。由表2可知，空間階次為3、時間階次為1時，模型效果最優(yōu)。對此模型進行擬合，通過F-檢驗和T-檢驗，得到最終的動態(tài)趨勢面模型為：

Z=9.165x-5.619y-16.9xt-5.14yt+

0.357xy+3.728x2t-0.2x3t+

0.755y2t-0.54y3t-1.979x2+

0.631x2yt+5.741xyt-0.009

(8)

通過模型(8)得到對沉降數(shù)據(jù)的擬合中誤差為5.24 mm。從圖5中GD09點的擬合效果可以看出，模型的擬合曲線處于觀測數(shù)據(jù)的中間位置，說明擬合效果較好，但由于觀測數(shù)據(jù)中存在較大的噪聲，使得擬合中誤差較大。在模型的時間預(yù)測(外推)中，各監(jiān)測點的平均預(yù)測中誤差為6.35 mm，對GD11點的空間預(yù)測中誤差為9.82 mm。從圖6和圖7中預(yù)測曲線與實際觀測值的比較可以發(fā)現(xiàn)，模型的預(yù)測值基本位于觀測數(shù)據(jù)序列的中間，說明得到的模型基本符合沉降變化的趨勢和規(guī)律。預(yù)測的統(tǒng)計精度較差，可能與觀測數(shù)據(jù)質(zhì)量較差有關(guān)。

圖8給出了模型2013-02-25擬合趨勢面的等值線圖?？梢钥闯?，各個監(jiān)測點的觀測數(shù)據(jù)與擬合趨勢面非常接近，但在監(jiān)測點控制區(qū)域外,趨勢面的變化較大。說明在監(jiān)測點的內(nèi)部，動態(tài)趨勢面模型可以很好地擬合地表形變趨勢，但其空間外推能力較差。觀測數(shù)據(jù)中隨機噪聲較大，對所建模型也存在一定的影響。GD01和GD11點的觀測數(shù)據(jù)與趨勢面差別較大，可能是受觀測數(shù)據(jù)噪聲的影響，也有可能是區(qū)域中存在局部的趨勢特征，通過整體的趨勢擬合無法體現(xiàn),需要對其局部特征進一步分析。

本文依次給出2012-12-03、2013-03-13、2013-06-21和2013-08-21時間點對應(yīng)的空間擬合效果圖，見圖9?？梢钥闯觯诒O(jiān)測點的控制區(qū)域內(nèi)可以反映時空上的沉降變化趨勢。由于三維動態(tài)趨勢面是連續(xù)光滑曲面，在監(jiān)測點的控制區(qū)域之外，趨勢面并不能準(zhǔn)確反映其沉降趨勢。

4結(jié)語

動態(tài)趨勢面模型通過尋找地面沉降量與測點坐標(biāo)和時間的關(guān)系，對區(qū)域地表形變的整體趨勢進行擬合，得到地面沉降的時空變化趨勢。相對于單點的時間序列分析和趨勢面模型，其同時考慮區(qū)域的時空趨勢，建立了統(tǒng)一的模型。但動態(tài)趨勢面模型是對區(qū)域的整體趨勢進行擬合分析，不能體現(xiàn)區(qū)域的局部趨勢特征，而且模型只是得到了區(qū)域的整體趨勢部分，對剩余部分是否還存在一定的規(guī)律特征需要進一步研究。

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Foundation support:National Key Basic Research Program of China, No. 2013CB733303；Fundamental Research Fund for Central South University,No.2015zzts252.

About the first author:LI Guangchun，postgraduate, majors in deformation monitoring and analysis,E-mail: 284853319@qq.com.

Application of Three-Dimensional Dynamic Trend Surface Fitting Model on Land Subsidence

LIGuangchun1DAIWujiao1,2ZENGFanhe1,2LIUBin1

1School of Geosciences and Info-Physics, Central South University,932 South-Lushan Road,Changsha 410083,China 2Key Laboratory of Precise Engineering Surveying & Deformation Disaster Monitoring of Hunan Province ,932 South-Lushan Road,Changsha 410083,China

Abstract:This article takes time of observation into account on trend surface fitting, as a dynamic trend surface fitting model. The land subsidence data from the GPS monitoring system of Nansha is analyzed using the dynamic trend surface model. Our results indicate that the model could reflect the overall tendency of the settlement and have good spatial interpolation effects.

Key words:dynamic trend surface fitting; land subsidence analysis; spatio-temporal interpolation

收稿日期：2015-06-30

第一作者簡介：李廣春，碩士生，主要從事變形監(jiān)測與分析研究，E-mail：284853319@qq.com。

DOI：10.14075/j.jgg.2016.06.009

文章編號：1671-5942(2016)06-0508-05

中圖分類號：P258

文獻標(biāo)識碼：A

項目來源：國家973計劃(2013CB733303)；中南大學(xué)研究生自主探索創(chuàng)新項目(2015zzts252)。