山西醫(yī)科大學(xué)衛(wèi)生統(tǒng)計教研室（030001） 梁 潔 王 彤崔 燕

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Ⅱ型區(qū)間刪失數(shù)據(jù)的生存分析

山西醫(yī)科大學(xué)衛(wèi)生統(tǒng)計教研室（030001） 梁 潔 王 彤△崔 燕

問題的提出

例：用兩種療法治療94名乳腺癌患者隨訪數(shù)月后的結(jié)果，其中針對46名乳腺癌患者用放射性療法（RT）治療，另48名乳腺癌患者用放射性療法加輔助性化學(xué)療法（RCT）治療，每4～6個月隨訪一次，觀察乳腺收縮情況，比較兩種療法的優(yōu)劣［1］。

表1　兩種療法治療94名乳腺癌患者隨訪數(shù)月后結(jié)果

表1中數(shù)據(jù)包含了不同患者乳腺收縮的時間信息，但沒有觀察到精確時間，其中38名患者在隨訪結(jié)束時仍沒有觀察到乳腺收縮，此為右刪失數(shù)據(jù)；另56名患者的乳腺收縮時間落在不同時間區(qū)間內(nèi)，例如觀察時間（6，10］，表示在第6個月隨訪時患者未出現(xiàn)乳腺收縮，但是在下一次隨訪，即第10個月時，患者出現(xiàn)了乳腺收縮，乳腺收縮情況出現(xiàn)在第6個月至第10個月兩次隨訪之間，但精確的時間未知，此為Ⅱ型區(qū)間刪失數(shù)據(jù)。當(dāng)數(shù)據(jù)中包含精確數(shù)據(jù)，左/右刪失數(shù)據(jù)及Ⅱ型區(qū)間刪失數(shù)據(jù)時，稱其為混合區(qū)間刪失數(shù)據(jù)。

Ⅱ型區(qū)間刪失主要發(fā)生在需要定期隨訪觀察的醫(yī)療研究數(shù)據(jù)中，許多臨床試驗和縱向研究都存在這種現(xiàn)象，如腫瘤發(fā)病率的研究，AIDS的臨床醫(yī)學(xué)研究等。由于在實際隨訪中，有些患者不是按照預(yù)先確定的觀測時間進(jìn)行觀察，而是選擇在較方便的時間進(jìn)行觀察；有些患者可能會錯過一個或多個觀察后再繼續(xù)進(jìn)行觀察。因此不同患者的隨訪觀察時間是不同的，研究者只能得到患者在出現(xiàn)某個結(jié)局之前最后一次臨床觀察的時間和出現(xiàn)此結(jié)局之后第一次臨床觀察的時間，即Ⅱ型區(qū)間刪失數(shù)據(jù)。如何正確處理此類數(shù)據(jù)是得出正確結(jié)論的關(guān)鍵。Ⅱ型區(qū)間刪失數(shù)據(jù)既不同于可以精確測得的數(shù)據(jù)，又不同于缺失數(shù)據(jù)，我們要根據(jù)其提供的不完整的數(shù)據(jù)信息，來估計出相對穩(wěn)定的回歸模型參數(shù)，從而解決臨床實際問題。

處理此類數(shù)據(jù)的傳統(tǒng)方法有：

（1）忽略Ⅱ型區(qū)間刪失數(shù)據(jù)，用剩余數(shù)據(jù)進(jìn)行生存分析。顯然這種方法會丟失數(shù)據(jù)信息，尤其在Ⅱ型區(qū)間刪失比例較大的情況下（本例Ⅱ型區(qū)間刪失數(shù)據(jù)的比例為59.6%），得到的結(jié)果通常是有偏的，不可信的。

（2）Ad hoc：用區(qū)間左端點、右端點或中點代替區(qū)間刪失數(shù)據(jù)。Flygare（1985）［2］用兩參數(shù)Weibull回歸模型，分別求得參數(shù)的最大似然估計值（MLE）以及用區(qū)間中點替代刪失數(shù)據(jù)后的參數(shù)估計值（MDE），并對兩者進(jìn)行比較，發(fā)現(xiàn)在刪失比例較大時，MDE可能會造成對參數(shù)系統(tǒng)性的錯估，MLE優(yōu)于MDE。Wei （1989）［3］將中點填補法應(yīng)用于刪失比例較小且區(qū)間寬度較窄的Ⅱ型區(qū)間刪失數(shù)據(jù)，但當(dāng)刪失比例較大、區(qū)間寬度較寬且有變異時，此法對經(jīng)驗生存函數(shù)估計會產(chǎn)生偏倚，導(dǎo)致估計參數(shù)有偏，并低估回歸系數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)誤。

解決方法

為了更好地利用Ⅱ型區(qū)間刪失數(shù)據(jù)信息，獲得更精確的參數(shù)估計值，并克服復(fù)雜的計算過程，解決含有Ⅱ型區(qū)間刪失數(shù)據(jù)的回歸分析方法有：參數(shù)回歸分析，半?yún)?shù)回歸分析，非參數(shù)最大似然估計以及填補法。

1.參數(shù)回歸分析

目前對于Ⅱ型區(qū)間刪失數(shù)據(jù)的處理方法多為半?yún)?shù)回歸分析和非參數(shù)回歸分析方法，參數(shù)回歸分析方法研究相對較少。Lindsey（1998）［5］總結(jié)了含有混合區(qū)間刪失數(shù)據(jù)的參數(shù)回歸分析，分別在9種不同的分布假設(shè)下，對3個存在嚴(yán)重混合區(qū)間刪失數(shù)據(jù)的實例進(jìn)行模擬。發(fā)現(xiàn)對嚴(yán)重混合區(qū)間刪失數(shù)據(jù)進(jìn)行參數(shù)估計時，改變分布假設(shè)后所得估計結(jié)果很穩(wěn)健，并且與相應(yīng)的非參數(shù)模型相比，參數(shù)模型包含了更多的數(shù)據(jù)信息，而且可以直接利用最大似然的理論來實現(xiàn)。在分析Ⅱ型區(qū)間刪失數(shù)據(jù)或混合區(qū)間刪失數(shù)據(jù)時，常用的參數(shù)回歸模型包括線性回歸模型和Weibull回歸模型。

（1）線性回歸模型：G′omez（2003）［6］假設(shè)自變量為離散型分布，在線性回歸模型基礎(chǔ)上，用普通最小二乘法與兩步條件算法聯(lián)合估計回歸系數(shù)和協(xié)變量的邊際分布。但對于自變量為連續(xù)性分布的Ⅱ型區(qū)間刪失數(shù)據(jù)，其聯(lián)合似然方程很復(fù)雜，此法不適用。G′omez （2005）［7］用優(yōu)化技術(shù)對其進(jìn)行改進(jìn)，但是這種優(yōu)化技術(shù)仍然不適用于自變量連續(xù)性分布的Ⅱ型區(qū)間刪失數(shù)據(jù)。為解決這個問題，Calle（2005）［8］提出了半?yún)?shù)貝葉斯方法，用Dirichlet混合過程指定模型中除Ⅱ型區(qū)間刪失協(xié)變量以外的所有成分并將其參數(shù)化，但是其迭代算法和抽樣過程十分復(fù)雜耗時。丁邦?。?012）［9］假設(shè)自變量為離散分布的Ⅱ型區(qū)間刪失數(shù)據(jù)，應(yīng)變量為可觀測數(shù)據(jù)，用EM算法將區(qū)間刪失的問題轉(zhuǎn)化為缺失值問題：E步根據(jù)似然方程建立偽似然方程，用缺失值所對應(yīng)的期望值進(jìn)行填補；M步最大化偽似然方程得到下一步迭代的參數(shù)估計值。對應(yīng)每一個E步，有相應(yīng)的M步，經(jīng)過迭代得到線性回歸的參數(shù)極大似然估計值（MLE）并證明在一定條件下估計量分布漸近正態(tài)分布。Yang（2014）［10］提出在無信息區(qū)間刪失條件下，結(jié)合對數(shù)樣條的線性回歸分析來解決自變量為連續(xù)性分布的Ⅱ型區(qū)間刪失數(shù)據(jù)。將（li，ui）劃分成（K +1）個子區(qū)間，用對數(shù)樣條法構(gòu)造時間（T）的分布函數(shù)，得到對數(shù)樣條模型的對數(shù)似然函數(shù)，從而計算參數(shù)的極大似然估計值。需要注意的是，存在Ⅱ型區(qū)間刪失數(shù)據(jù)時，對數(shù)似然函數(shù)可能是非凸的，如果用修正的Newton-Raphson法，得到的結(jié)果可能是局部最大值而不是全局最大值，且當(dāng)刪失區(qū)間長度固定且較寬時，會出現(xiàn)找不到極值的情況或遇到算法不收斂問題（由于樣條光滑法適用于密集數(shù)據(jù)，區(qū)間較寬，會導(dǎo)致數(shù)據(jù)變得非常稀疏）。此時求出T的條件期望，用條件期望替代未知T，算出線性回歸模型的最小二乘估計值。將此法與中點替代法相比，當(dāng)刪失比例較大時，由中點替代法得到的估計有偏，且偏倚隨著刪失區(qū)間的增寬而增加，而對數(shù)樣條法可得到更加精確的估計值和較小的誤差均方；與半?yún)?shù)貝葉斯方法相比，兩者結(jié)果相近，但運算速度比其快100倍。當(dāng)刪失區(qū)間寬度固定且較小時，對數(shù)樣條法表現(xiàn)最好，但當(dāng)區(qū)間寬度較大時，三種方法的表現(xiàn)都不好，特別是對數(shù)樣條法，其誤差均方相當(dāng)大，在程序運行過程中也會遇到算法不收斂的問題。

（2）Weibull回歸模型：Pradhan（2014）［11］假設(shè)區(qū)間刪失機制是無信息發(fā)生的，即刪失信息與生存事件的發(fā)生相互獨立，生存時間為Weibull分布時，計算在伽馬先驗分布下未知參數(shù)的貝葉斯估計。對于Weibull分布，當(dāng)形狀參數(shù)α已知，此時尺度參數(shù)β共軛先驗分布為Gamma分布。但當(dāng)形狀參數(shù)也未知時，即使存在連續(xù)-離散的聯(lián)合先驗分布（連續(xù)指尺度參數(shù)，離散指形狀參數(shù)），Weibull分布也沒有連續(xù)共軛先驗；且由于Gamma共軛先驗不好解釋，所以此法應(yīng)用有很大的局限性。故當(dāng)兩參數(shù)都未知時，假設(shè)兩參數(shù)先驗分布為相互獨立的Gamma分布，用重要抽樣技術(shù)來實現(xiàn)貝葉斯估計。但貝葉斯方法計算復(fù)雜，且Pradhan沒有對貝葉斯估計與EM計算的最大似然估計進(jìn)行比較，也沒有考慮協(xié)變量對貝葉斯估計的影響。

2.半?yún)?shù)回歸分析

在處理Ⅱ型區(qū)間刪失數(shù)據(jù)時，半?yún)?shù)回歸方法比較常用，由于其同時考慮了發(fā)生結(jié)局的時間和影響結(jié)局的協(xié)變量，而且在計算上又優(yōu)于復(fù)雜的非參數(shù)最大似然估計，故比較常用。

（1）Cox比例風(fēng)險（Cox PH）模型：Satten （1996）［12］提出Cox比例風(fēng)險模型，用Monte-Carlo結(jié)合EM算法來估計回歸方程，此法需要進(jìn)行大量計算。Goggins（1998）［13］在Satten的基礎(chǔ)上，將Monte-Carlo模擬放在EM算法的E步，從而避免大量的計算。Goetghebeur（2000）［14］將EM算法與Breslow估計相結(jié)合：M步用最大化標(biāo)準(zhǔn)Cox偏似然來估計回歸系數(shù)，然后用Breslow估計基線風(fēng)險；E步估計風(fēng)險集大小，以及在每一個可能的時間集中事件發(fā)生的個數(shù)。E步同Turnbull的自相合算法，但計算更簡單也不需要迭代。Betensky（2002）［15］發(fā)展了局部似然估計方法，平滑基線風(fēng)險函數(shù)，其計算比較復(fù)雜。Cai （2003）［16］假設(shè)一個分段線性基線風(fēng)險，用懲罰樣條方法估計限制最大似然估計。Heller（2011）［17］在估計方程的基礎(chǔ)上，用一個反概率權(quán)重來選擇明確順序的事件時間對，并將其應(yīng)用于結(jié)腸癌數(shù)據(jù)分析中。此法不需要估計基線風(fēng)險，用標(biāo)準(zhǔn)的結(jié)構(gòu)方程技術(shù)產(chǎn)生估計值及其近似分布，如果恰當(dāng)定義選擇概率模型和比例風(fēng)險模型，就能建立無偏估計方程，且計算簡單，適用于刪失比例較大的臨床數(shù)據(jù)。Sun（2013）［18］基于修正的局部似然產(chǎn)生兩種估計過程：第一種估計過程是以區(qū)間的左端點填補Ⅱ型區(qū)間刪失數(shù)據(jù)，轉(zhuǎn)化為右刪失數(shù)據(jù)來處理，方法簡單易行，但是只利用了區(qū)間左端點的信息；第二種估計過程利用了兩個區(qū)間端點，構(gòu)建出常見的局部似然方程。兩種方法都在估計方程理論基礎(chǔ)上進(jìn)行估計，避免了求基線累積風(fēng)險函數(shù)，經(jīng)模擬研究兩種方法都有效可行。比較而言，在刪失區(qū)間較寬的情況下，第二種估計過程可能會更穩(wěn)定，效果更好。

（2）半?yún)?shù)AFT，PO，AH模型：由于Cox PH模型并不能很好地擬合所有生存數(shù)據(jù)，對于某些生存數(shù)據(jù)要考慮線性轉(zhuǎn)換模型。Odell（1992）［19］將基于Weibull的加速失效時間（AFT）回歸模型，應(yīng)用于Framingham的冠心病研究數(shù)據(jù)中，計算模型參數(shù)的最大似然估計值并與中點替代法進(jìn)行比較，發(fā)現(xiàn)前者的估計結(jié)果更好。Murphy（1997）［20］提出應(yīng)用比例優(yōu)勢（PO）模型，用偽似然方法估計參數(shù)。Shen（1998）［21］用sieve極大似然估計和單調(diào)樣條方法對PO模型的基線風(fēng)險和回歸系數(shù)進(jìn)行估計。Rabinowitz（2000）［22］基于條件logistic回歸擬合PO模型，不需要估計無限維度的冗余參數(shù)，風(fēng)險集越小，其估計效果越好。Zeng（2006）［23］提出了用可加風(fēng)險（AH）模型。Zhu （2008）［24］提出將Ⅱ型區(qū)間刪失數(shù)據(jù)通過某種轉(zhuǎn)換方式轉(zhuǎn)換為Ⅰ型區(qū)間刪失數(shù)據(jù)，進(jìn)而用處理Ⅰ型區(qū)間刪失數(shù)據(jù)的方法構(gòu)建AH模型。Wang（2010）［25］在AH模型條件下，用一些基于估計方程的方法來處理Ⅱ型區(qū)間刪失數(shù)據(jù)，這種方法比較穩(wěn)健，可以應(yīng)用于有信息和無先驗信息的區(qū)間刪失數(shù)據(jù)，且不用估計基線方程，實現(xiàn)過程簡單快速。

（3）其他模型：Lin（2010）［26］提出了半?yún)?shù)probit模型，作為一種替代PH，PO，AH，AFT的模型，從頻率論和貝葉斯的觀點，進(jìn)行Ⅱ型區(qū)間刪失數(shù)據(jù)回歸系數(shù)及基線生存函數(shù)的平滑估計，簡單易行。此法基于似然且不需要對觀察過程進(jìn)行假設(shè)，所以對于任何區(qū)間刪失數(shù)據(jù)都適用，可以進(jìn)行拓展。Shao（2013）［27］用二分模型來描述這種含有復(fù)雜數(shù)據(jù)的生存過程，用靈活的變系數(shù)模型擬合Ⅱ型區(qū)間刪失數(shù)據(jù)。通過交叉驗證法選擇帶寬，用局部多項式方法來擬合模型中未知方程，討論估計值的穩(wěn)定性和漸近性分布，并提出用bootstrap做推斷，構(gòu)建BIC類的模型選擇方法，合理解釋了模型中的參數(shù)和非參數(shù)部分，易于理解，計算和推斷易于完成。

3.非參數(shù)最大似然估計

在多數(shù)情況下，含Ⅱ型區(qū)間刪失數(shù)據(jù)的隨機變量總體分布未知，所以非參數(shù)回歸分析方法的研究和應(yīng)用較多。Ⅱ型區(qū)間刪失數(shù)據(jù)生存函數(shù)的非參數(shù)最大似然估計沒有閉集解，常用的獲得非參數(shù)最大似然估計值的方法有：

Turnbull算法：Turnbull（1976）［28］提出自相合算法，結(jié)合EM算法得到單調(diào)收斂的經(jīng)驗分布函數(shù)最大似然估計值，與Newton-Raphson算法相比，此法運算簡單，容易實現(xiàn)，便于理解，所以Turnbull的自相合算法在處理Ⅱ型區(qū)間刪失數(shù)據(jù)時，常被采用。Gentlemen （1994）［29］應(yīng)用凸優(yōu)化技術(shù)驗證自相合算法得到的最大似然估計值是唯一的。Shen（2014）［30］在應(yīng)用Turnbull自相合算法的前提下，考慮了自變量的權(quán)重，獲得條件分布函數(shù)的非參數(shù)估計值，在帶寬固定的情況下，也容易實現(xiàn)。但是自相合算法在刪失比例較大的情況下，估計值偏倚會增大。

其他求非參數(shù)最大似然估計值的算法：Wang （2008）［31］提出Ⅱ型區(qū)間刪失數(shù)據(jù)降維的非參數(shù)最大似然算法，用CNM（constrained Newton method），SBN （subspace-based Newton），及ICM（iterative convex minorant algorithm）算法有效地剔除迭代過程中出現(xiàn)的冗余支撐區(qū)間，找到梯度最大的支撐區(qū)間，從而有效提高計算效率。用迭代的方法估計非參數(shù)最大似然估計值的缺點是難以得到估計值的漸近分布。Yuan （2014）［32］用保序回歸的方法得到一個近似的非參數(shù)最大似然估計值，并對其漸近分布和收斂速度做出評價。

上述幾種算法中自相合算法簡單易懂容易完成，對于小/中等樣本數(shù)據(jù)，或右刪失比例較大的數(shù)據(jù)，此法是很好的選擇，但目前還沒有方法來證明其估計值即為非參數(shù)最大似然估計值；ICM算法迭代步驟較少，計算所用時間短，收斂速度快，而且它們的整體收斂性可以被證明；保序回歸算法可以得到估計值的漸近分布，但計算較復(fù)雜。

4.填補法

在用非參數(shù)回歸分析方法分析Ⅱ型區(qū)間刪失數(shù)據(jù)時，除了用以上算法求含有Ⅱ型區(qū)間刪失數(shù)據(jù)變量的最大似然估計值之外，還可以用填補法將Ⅱ型區(qū)間刪失數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換成精確數(shù)據(jù)或者Ⅰ型區(qū)間刪失數(shù)據(jù)，進(jìn)而用成熟的方法求解其非參數(shù)最大似然估計值。Pan（2000）［33］用兩種多重填補法：PMDA（poor man｀s data augmentation）與ANDA（asymptotic normal data augmentation），將Ⅱ型區(qū)間刪失數(shù)據(jù)問題轉(zhuǎn)化為右刪失數(shù)據(jù)問題，容易實現(xiàn)，與非參數(shù)最大似然估計進(jìn)行比較，在小樣本和中等樣本情況下，多重填補法得到的結(jié)果更好。當(dāng)刪失比例較大時，推薦ANDA填補法。Xiao （2012）［34］利用多重填補的思想，在Weibull分布條件下用迭代單點填補法——分位數(shù)填補法處理Ⅱ型區(qū)間刪失數(shù)據(jù)，即用刪失區(qū)間的條件分位數(shù)填補刪失數(shù)據(jù)，估計結(jié)果穩(wěn)定，方法簡單易實現(xiàn)，但在刪失比例較大時估計可能會有偏。Deng（2014）［35］用無偏轉(zhuǎn)換的思想，將Ⅱ型區(qū)間刪失數(shù)據(jù)進(jìn)行無偏轉(zhuǎn)換，轉(zhuǎn)換后的值與真值有相同的條件期望，得到回歸函數(shù)的最鄰近估計，其有很強的穩(wěn)定性和漸近正態(tài)性。Han（2013）［36］建立刪失數(shù)據(jù)的偽觀察值POS（pseudo-observations）［37］，通過PH或PO等適當(dāng)?shù)倪B接函數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為廣義線性回歸模型，這種方法計算比較簡單，不需要建立許多假設(shè)，可考慮將此法應(yīng)用于雙邊區(qū)間刪失［38］及其他類型的區(qū)間刪失數(shù)據(jù)分析。

結(jié) 論

生存分析的首要任務(wù)是估計生存函數(shù)。估計的生存函數(shù)可用來：評價生存變量的模型假設(shè)是否正確；估計生存概率；比較不同組之間的生存情況；預(yù)測患者未來的生存時間等等。參數(shù)模型有光滑數(shù)據(jù)的內(nèi)在性質(zhì)，又可從鄰近點獲取數(shù)據(jù)信息，與非參數(shù)模型相比，Ⅱ型區(qū)間刪失對于參數(shù)模型的影響要小，因此如果有足夠的先驗信息提示數(shù)據(jù)可用參數(shù)模型，那么參數(shù)估計要比非參數(shù)估計更簡單高效。然而在實際研究中，常常沒有足夠的先驗信息提示哪一種參數(shù)模型假設(shè)是合理的，因而半?yún)?shù)回歸分析和非參數(shù)回歸分析被更多地應(yīng)用于分析含Ⅱ型區(qū)間刪失數(shù)據(jù)的實例中。而對于生存函數(shù)的半?yún)?shù)和非參數(shù)估計，與右刪失數(shù)據(jù)的處理方法相比，無論在理論還是實踐中，對Ⅱ型區(qū)間刪失數(shù)據(jù)的處理方法要更復(fù)雜。

在半?yún)?shù)回歸分析中，有時既要估計回歸系數(shù)，也要估計基線生存函數(shù)。但對于Ⅱ型區(qū)間刪失數(shù)據(jù)而言，估計基線生存函數(shù)或風(fēng)險函數(shù)的方法和計算是比較難的，由于其復(fù)雜的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)以及與樣本量近似的參數(shù)個數(shù)特點，尋找一個合適的理論依據(jù)也很難。有些方法不估計基線生存函數(shù)，直接估計回歸參數(shù)，比如在PH模型下的邊際似然方法、Monte Carlo EM算法，但這些方法都是在假設(shè)事件發(fā)生時間的發(fā)生次序與觀察到的數(shù)據(jù)一致的前提下估計的，而且計算都比較復(fù)雜。

非參數(shù)回歸分析常用的Turnbull自相合算法，只考察了自變量相互獨立，刪失區(qū)間寬度固定的情況，沒有考慮刪失區(qū)間較寬或有重疊或區(qū)間寬窄不一的情況，而且刪失比例的增大對結(jié)果的精度有影響。

由于上述方法計算比較復(fù)雜，或需要許多假設(shè)，而這些假設(shè)在實際應(yīng)用中很難滿足，所以目前在進(jìn)行含Ⅱ型區(qū)間刪失數(shù)據(jù)的生存分析時，一方面可以考慮用其他模型來估計生存函數(shù)，比如半?yún)?shù)probit模型，變系數(shù)模型，兩者估計過程中假設(shè)較少，而且應(yīng)用比較廣泛；另一方面考慮填補法，將Ⅱ型區(qū)間刪失數(shù)據(jù)的問題轉(zhuǎn)換成精確數(shù)據(jù)或Ⅰ型區(qū)間刪失數(shù)據(jù)。但是簡單地用區(qū)間中點或端點進(jìn)行填補會造成結(jié)果的偏倚，為了在轉(zhuǎn)換過程中更好地利用區(qū)間信息，得到精確有效的估計結(jié)果，可以使用Deng的無偏轉(zhuǎn)換填補思想和POS方法，這兩種方法更好地利用了區(qū)間信息，容易實現(xiàn)且估計結(jié)果更加穩(wěn)定。

在實際應(yīng)用中，對于刪失比例較小，刪失區(qū)間寬度適中、變異較小的Ⅱ型區(qū)間刪失數(shù)據(jù)，上述許多方法可得到較為滿意的估計結(jié)果，但是對于刪失比例較大，刪失區(qū)間較寬，變異較大，協(xié)變量個數(shù)較多的Ⅱ型區(qū)間刪失數(shù)據(jù)，如何從眾多方法中做出較好的選擇并進(jìn)行成功的應(yīng)用還需進(jìn)一步研究討論。

參考文獻(xiàn)

［1］Sun J.The Statistical Analysis of Interval-censored Failure Time Data.American：springer，2006.

［2］FlygareME.Maximum Likelihood Estimation For The 2-Parameter Weibull Distribution Based On Interval-Data.Ieee Transations on Reliability，1985，R-34，1.

［3］Wei LJ，Lin DY，Weissfeld L.Regression analysis of multivariate incomplete failure time data by modeling marginal distributions.Journal of the American Statistical Association，1989，84：1065-1073.

［4］Goggins WB.A Proportional Hazards Model for MultivariateInterval-Censored Failure Time Data.Biometrics，2000，5（6）：940-943.

［5］Lindesey JK.A study of interval censoring in parametric regressionmodels.Lifetime Data Analysis，1998，4：329-354.

［6］G′omez G.Inference for a linear regression model with anintervalcensored covariate.Statist Med，2003，22：409-425.

［7］G′omez G，Calle ML，Oller R.Frequentist and Bayesian approaches for interval-censored data.Statistics Papers，2005，2：139-173.

［8］Calle ML，G′omez G.A semiparametric hierarchical method for a regression model with an interval-censored covariate.Australian &New Zealand Journal of Statistics，2005，47：351-364.

［9］Ding BJ.Regression model with an interval-censored data covariant.Chinese Journal of Applied Probability and Statistics，2012，28（2）：.

［10］Yang Y.A Logspline Estimation for a Linear Regression Model withan Interval-Censored Continuous Covariate.Taylor & Francis，2014，43（10）：2521-2539.

［11］Pradhan B.Analysis of Interval-Censored Data with Weibull LifetimeDistribution.Sankhya：The Indian Journal of Statistics，2014，76-B（1）：120-139.

［12］Satten GA.Rank-based inference in the proportional hazards model for interval-censored data.Biometrika，1996，83：355-370.

［13］Goggins WB.A Markov chain Monte Carlo EM algorithm for ana-lyzinginterval-censored data under the Cox proportional hazards model.Biometrics，1998，54（4）：1498-1507.

［14］Goetghebeur E.Semiparametric Regression Analysis of Interval-CensoredData.Biometrics，2000，5（6）：1139-1144.

［15］Betensky R，JCLL，Wand AMP.A local likelihood proportional hazards model for intervalcensored data.Statistics in medicine，2002，（21）：263-275.

［16］Cai T，Betensky RA.Hazard regression for interval-censored data with penalized spline.Biometrics，2003，59：570-579.

［17］Glenn Heller.Proportional hazards regression with interval censored data using an inverse probability weight.Lifetime Data Anal，2011，17：373-385.

［18］Sun J.Simple estimation procedures for regression analysis of interval-censored failure time data under the proportional hazards model.Lifetime Data Anal，2015，21（1）：138-55.

［19］Odell PM.Maximum Likelihood Estimation for Interval-Censored D.Biometrics，1992，48（3）：951-959.

［20］Murphy SA，Rossini AJ，Van der Vaart AW.Maximum likelihood estimation in the proportional odds model.Journal of the American Statistical Association，1997，92：968-976.

［21］Shen X.Proportional odds regression and sieve maximum likelihoodestimation.Biometrika Trust，1998，85（1）：165-177.

［22］Daniel Rabinowitz RABA.Using Conditional logistic Regression to Fit ProportionalOdds Models to Interval Censored Data.Biometrics，2000，56：511-518.

［23］Zeng D.Semiparametric additive risks model for interval-censoreddata.Statistica Sinica，2006，16：287-302.

［24］Zhu L.A transformation approach for the analysis of interval-censored failure time data1.Lifetime Data Anal，2008，14：167-178.

［25］Wang L.Regression analysis of case II interval-censored failuretime data with the additive hazards model.Statistica Sinica，2010，20：1709-1723.

［26］Lin X.A semiparametric probit model for case 2 interval-censoredfailure time data.Statistics in Medicine，2010，DOI：10.1002/ sim.3832.

［27］Shao F.Semiparametric varying-coefficient model for intervalcensored data with a cured proportion.Statistics in Medicine，2013，DOI：10.1002/ sim.6054.

［28］Turnbull BW.The Empirical Distribution Function with Arbitrarily-Grouped，Censored and Truncated Data.Journal of the Royal Statistical Society，1976，38（3）：290-295.

［29］Gentleman R，Geyer CJ.Maximum likelihood for interval censored data：Consistency and computation.Biometrika，1994，81：618-623.

［30］Wang Y.Dimension-reduced nonparametric maximum likelihood computation for interval-censored data.Computational Statistics & Data Analysis，2008，52：2388-2402.

［31］Shen P.A Generalization of Turnbull′s Estimator for Interval-Censored and Doubly Truncated Data.Taylor & Francis，2014，43：14，2958-2972.

［32］Yuan A.Approximate Nonparametric Maximum Likelihood Estimationfor Interval Censoring Model Case II.International Journal of Statistics and Probability，2014，3（3）.

［33］Pan W.A Multiple Imputation Approach to Cox Regression with-Interval-Censored Data.Biometrics，2000（56）：199-203.

［34］Xiao X.Study of an imputation algorithm for the analysis of intervalcensored data.Taylor &Francis，2012，84（3）：477-490.

［35］Deng WL.Nonparametric regression with interval-censored data.Acta Mathematica Sinica，English Series，2014，30（8）：1422-1434.

［36］Seungbong Han.A Semiparametric Regression Method for Interval.Communications in Statistics-Simulation and Computation，2013，1 （43）：18-30.

［37］Andersen PK.Pseudo-observations in survival analysis.Statistical Methods in Medical Research，2009，0（0）：1-29.

［38］Seungbong Han.A flexible semiparametric modeling approach for doublycensored data with an application to prostate cancer.Statistical Methods in Medical Research，2013，0（0）：1-18.

（責(zé)任編輯：郭海強）

通信作者：△王彤，E-mail：wtstat1@ sina.com