蔡斌，周立明(.吉林建筑大學　土木工程學院,吉林　長春，308；.吉林大學　機械科學與工程學院,吉林　長春，300)

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基于非均勻光滑有限元法的功能梯度壓電梁自由振動分析

蔡斌1，周立明2
(1.吉林建筑大學土木工程學院,吉林長春，130118；2.吉林大學機械科學與工程學院,吉林長春，130022)

摘要：為了提高求解功能梯度壓電材料動響應(yīng)的精度，克服有限元系統(tǒng)剛度偏硬的缺點，提出非均勻Cell-based 光滑有限元法。基于單元的梯度光滑操作，考慮材料物性沿寬度方向呈梯度連續(xù)變化，推導(dǎo)非均勻Cell-based 光滑有限元法的基本公式，分析功能梯度壓電懸臂梁的材料物性參數(shù)遵循不同梯度分布規(guī)律時結(jié)構(gòu)自由振動的固有頻率與振型，并與FEM求解結(jié)果進行對比。研究結(jié)果表明：光滑梯度操作可降低有限元系統(tǒng)的剛度，非均勻Cell-based光滑有限元法的數(shù)值解更加接近真實解，從而可為功能梯度壓電材料的進一步應(yīng)用提供參考。

關(guān)鍵詞：非均勻光滑有限元法；功能梯度壓電材料；自由振動；梯度光滑技術(shù)

為了克服有限元系統(tǒng)剛度偏大的缺點，LIU等[1?2]提出了一些基于梯度光滑的有限元算法。NGUYENVAN等[3]將這種基于梯度光滑的有限元算法拓展到壓電領(lǐng)域，隨后，NGUYEN-XUAN[4]采用Edge-Based光滑有限元法對二維壓電結(jié)構(gòu)力學問題進行了研究。通過數(shù)值分析，發(fā)現(xiàn)光滑有限元能夠提高求解精度，具有廣闊的應(yīng)用前景。工程中目前流行的壓電元件多為多層結(jié)構(gòu)，但元件中某些材料組分和物性的突然變化往往會導(dǎo)致器件在層間界面處存在明顯的局部應(yīng)力失配現(xiàn)象，導(dǎo)致黏結(jié)層在高溫易蠕變，在低溫易開裂，大大縮短了元件的壽命。為解決這類問題，ZHU等[5]將功能梯度的概念引入到壓電智能材料中，制備了功能梯度壓電材料，其兼具了壓電和梯度二者的優(yōu)點。此后，一些研究者[6?7]在功能梯度壓電材料這一領(lǐng)域開展研究。基于 Euler-Bernoulli 梁理論，F(xiàn)U[8]求解了功能梯度壓電梁熱?電屈曲的精確解；CHEN 等[9]基于Euler 梁理論，獲得了功能梯度壓電梁的自由振動頻率；ZHAO等[10]采用無網(wǎng)格法求解了不同載荷作用下功梯度壓電板的靜態(tài)彎曲問題；KOMIJANI等[11]研究了功能梯度壓電材料執(zhí)行器非線性熱?機?電多場耦合響應(yīng)問題；DAI等[12]分析了功能梯度壓電材料的反平面裂紋問題；JODAEI 等[13]采用微分求積法求解了功梯度壓電板在不同邊界條件下靜態(tài)分析的三維彈性解。由于材料的非均勻性和多場耦合特性，使得求解功能梯度壓電元材料壓電方程[14?15]的難度大大增加，從而導(dǎo)致研究工作大多局限于靜力問題，對動力學問題的研究仍然很少。本文作者針對功能梯度壓電懸臂梁，考慮材料特性沿寬度方向呈梯度連續(xù)變化，基于單元的梯度光滑操作，推導(dǎo)非均勻Cell-Based 光滑有限元(ICS-FEM)的基本公式，采用ICS-FEM分析功能梯度壓電懸臂梁自由振動固有頻率與振型，并與FEM的計算結(jié)果進行對比。

1　基本方程

功能梯度壓電材料問題的基本方程如下：

式中：CE為彈性模量張量；e 為壓電常數(shù)張量；g 為介電常數(shù)張量。對 于橫觀各向同性功能梯度壓電材料，x?z 平面為各向同性面，研究 x?z 平面內(nèi)力電耦合問題，滿足

則式(9)和式(10)的矩陣形式為

材料物性參數(shù)遵循如下梯度分布規(guī)律：

式中：M(z)為Cij，eij，gii和 ρ 等在結(jié)構(gòu)中的實際物理參數(shù)；Mb為功能梯度壓電材料結(jié)構(gòu)底部的物理參數(shù)；fb(z)為底部材料的體積分數(shù)分布函數(shù)，見圖1。fb(z)一般有3種函數(shù)形式：

式中：α，β和γ分別為指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)和正弦函數(shù)分布規(guī)律的形狀因子；z為沿z軸坐標；h為梁寬。

圖1　功能梯度壓電材料物參梯度分布圖Fig.1　Gradient distribution of functionally graded piezoelectric materials

2　非均勻Cell-based 光滑有限元法

將求解域離散成 np 個單元，包含 Nn個節(jié)點，每個單元內(nèi)的廣義位移u和廣義電勢φ 表示為

式中：Nu和 Nφ分別為 ICS-FEM 位移形函數(shù)和電勢形函數(shù)；q和?分別為節(jié)點位移向量和節(jié)點電勢向量。

圖2所示為四節(jié)點單元劃分為 4個光滑子元的場節(jié)點、邊中間光滑節(jié)點、中心光滑節(jié)點、邊高斯點、外法向向量分布情況及形函數(shù)值。

式中：ε(x)和 E(x)分別為FEM中的應(yīng)變和電場強度；Φ(x?xk)為光滑函數(shù)，

將式(22)代入式(20)和(21)，得

圖2光滑子元及形函數(shù)值Fig.2Smoothing subcells and values of shape functions

將式(24)和式(25)改寫為

式中：ne為光滑子元個數(shù)；

Ni為相關(guān)節(jié)點i的形函數(shù)。

ICS-FEM與FEM的本質(zhì)差異為：FEM需要對單元形函數(shù)矩陣求導(dǎo)，則 ICS-FEM只需采用光滑元邊界高斯點處的形函數(shù)，不涉及形函數(shù)求導(dǎo)，降低了形函數(shù)的連續(xù)性要求，從而提高了計算方法的精度和收斂性。功梯度壓電耦合系統(tǒng)的動力學模型可由 Hamilton原理導(dǎo)出，形式如下：

式中：nc=np×ne。采用非均勻光滑單元計算單元剛度矩陣，在 單元s中4個光滑子元(i=1,2,3,4)的物理參數(shù)不相同，直接取高斯積分點處的實際物理參數(shù)進行計算，這樣可以使每個單元內(nèi)部也能夠體現(xiàn)材料屬性的變化。

由式(33)可知位移和電勢是耦合的。在分析特征值時，F(xiàn)=Q=0，先將和電勢相關(guān)的自由度進行凝聚，

將式(41)代入式(33)，有

式中：

3　數(shù)值算例

3.1算例1

如圖3所示，一功能梯度壓電懸臂梁，長度 L=20Cm，寬度 h=5Cm，厚度 b=1Cm。假設(shè)材料成分沿厚度方向呈梯度變化，考慮3種梯度分布形式：(Ⅰ)底部材料為 PZT-4，彈性系數(shù)、密度、壓電系數(shù)和介電系數(shù)均按指數(shù)函數(shù)變化，α=0.5；(Ⅱ)底部材料為 PZT-4，彈性系數(shù)、壓電系數(shù)和介電系數(shù)均按指數(shù)函數(shù)模式變化，α=0.5，密度按冪函數(shù)變化，β=0.5；(Ⅲ)底部材料為 PZT-4，彈性系數(shù)、壓電系數(shù)和介電系數(shù)均按指數(shù)函數(shù)變化，α=0.5，密度無變化。光滑子元個數(shù)取為 4，材料參數(shù)如表1所示，求解其固有頻率。

圖3　懸臂梁模型Fig.3　Geometry ofCantilever beam

表1　材料常數(shù)Table1　MaterialConstants

表2所示為功能梯度壓電懸臂梁在 I，II和 III這3種材料梯度變化模式下，采用40×10均勻分布單元，由 ICS-FEM 和 FEM 求解得到的前5 階固有頻率。從表2可以看出：ICS-FEM計算得到的固有頻低于FEM求解的固有頻率，兩者的相對誤差最大為 2.85%，從而驗證了ICS-FEM的正確性。CS-FEM不需對單元形函數(shù)矩陣求導(dǎo)，將求解域內(nèi)面積分改變?yōu)檫吔绶e分，形函數(shù)的連續(xù)性要求低。

表2不同材料梯度分布形式下的前5階固有頻率Table1　First five natural frequency values of materials with different gradient distributions

圖4功能梯度懸臂梁前5階振型Fig.4First five order modes of vibration of functionally gradient piezoelectricCantilevers

3.2算例2

功能梯度壓電懸臂梁，長度L=40Cm，其他參數(shù)不變，底部材料為 PZT-4，頂部材料為C-91，彈性系數(shù)、密度、壓電系數(shù)和介電系數(shù)均按指數(shù)函數(shù)變化。材料參數(shù)如表1所示，求解其固有頻率和振型。

圖4所示為功能梯度壓電懸臂梁采用80×10均勻分布單元，由ICS-FEM和 FEM 求解得到的前5 階固有振型。從圖4可看出：兩者振型相吻合。這進一步驗證了ICS-FEM的正確性和有效性。

表3所示為功能梯度壓電懸臂梁采用80×10均勻分布單元，由ICS-FEM和 FEM 求解得到的前5 階固有頻率，以 Ansys 采用 320×40單元所得結(jié)果作為參考解。從表3可以看出：在同樣單元條件下，ICS-FEM計算得到的固有頻率低于 FEM 求解的固有頻率，其數(shù)值解更加接近真實解，從而驗證了ICS-FEM可降低有限元系統(tǒng)剛度，提高求解精度，有效地求解功能梯度壓電結(jié)構(gòu)的動響應(yīng)問題。

表3　功能梯度壓電懸臂梁的前5階固有頻率Table1　First five natural frequency of functionally gradient piezoelectricCantilevers　kHz

4　結(jié)論

1)ICS-FEM 求解功能梯度壓電結(jié)構(gòu)的動響應(yīng)問題是正確的、有效的。

2)ICS-FEM可降低有限元系統(tǒng)剛度，在相同單元條件下，其計算精度高于 FEM 模擬結(jié)果的精度，更接近真實值。

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(編輯 陳燦華)

Inhomogeneous smoothed finite element method for free vibration analysis of functionally gradient piezoelectricCantilevers

CAI Bin1, ZHOU Liming2
(1.School ofCivil Engineering,Jilin Jianzhu University,Changchun130118,China? 2.School of Mechanical Science and Engineering,Jilin University,Changchun130022,China)

Abstract:In order to improve the solving precision of dynamic response problems of functionally gradient piezoelectric materials and soften the “over-stiffness”,an inhomogeneousCell-based smoothed finite element method was presented.Based on gradient smoothing technique of elements andConsidering theChange of gradient of material properties only in the breadth direction,the basic formula of inhomogeneousCell-based smoothed finite element(ICS-FEM)was derived.Using this proposed method,free vibrationCharacteristics of the functionally graded piezoelectricCantilever were analyzed when the material parameters followed different gradient distributions.The accuracy of the proposed method wasConfirmed byComparing the FEM results.The results show that the gradient smoothing techniqueCan reduce the stiffness of the finite element system and improve the accuracy of the solution for electromechanicalCoupling systems by using ICS-FEM,which provides reference for further application ofCell-based smoothed finite element method.

Key words:inhomogeneous smoothed finite element method? functionally graded piezoelectric materials? free vibration? gradient smoothing technique

中圖分類號：TB115

文獻標志碼：A

文章編號：1672?7207(2016)01?0048?06

DOI:10.11817/j.issn.1672-7207.2016.01.008

收稿日期：2015?03?10；修回日期：2015?05?08

基金項目(Foundation item)：國家自然科學基金資助項目(51305157)；吉林省科技廳基金資助項目(20130305006GX)(Project(51305157)supported by the National Natural Science Foundation ofChina? Project(20130305006GX)supported by Department of Science and Technology Fund of Jilin Province)

通信作者：周立明，博士，講師，從事計算固體力學研究；E-mail: lmzhou@jlu.edu.cn