王選擇 孔德靖 翟中生
湖北工業(yè)大學(xué), 武漢,430068
微懸臂振動(dòng)干涉測(cè)量非正交信號(hào)的處理算法
王選擇孔德靖翟中生
湖北工業(yè)大學(xué), 武漢,430068
摘要:設(shè)計(jì)了干涉條紋形狀對(duì)懸臂角度變化不敏感的干涉光路系統(tǒng),針對(duì)實(shí)際干涉條紋光電轉(zhuǎn)換信號(hào)的特點(diǎn),提出了對(duì)難以保證正交化的兩路信號(hào)進(jìn)行實(shí)時(shí)橢圓擬合的方法。應(yīng)用橢圓擬合及換算參數(shù)的結(jié)果,推導(dǎo)了干涉條紋相位變化的理論公式。最后,根據(jù)相位量與振動(dòng)位移量的關(guān)系,以及振動(dòng)位移連續(xù)性的特點(diǎn),通過直接解包裹的銜接算法,得到了最終振動(dòng)位移量。實(shí)驗(yàn)表明,該方法在保證足夠采樣頻率的條件下,無(wú)需額外硬件計(jì)數(shù)電路,就能完成微懸臂振動(dòng)位移的干涉量級(jí)精度的測(cè)量。
關(guān)鍵詞:測(cè)量;微懸臂;相位差;橢圓擬合;相位解包裹
0引言
微電子機(jī)械系統(tǒng)(MEMS)技術(shù)是建立在微米/納米技術(shù)基礎(chǔ)上的21世紀(jì)前沿技術(shù)[1-2]。其中懸臂結(jié)構(gòu)是MEMS器件[3]中常用的一種結(jié)構(gòu),利用懸臂振動(dòng)進(jìn)行被測(cè)物質(zhì)的定量分析的原理可用于構(gòu)建以微懸臂梁為傳感元件的傳感器,在汽車、航空航天、生物、化學(xué)、環(huán)保、軍事等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用前景[4-5]。而激光干涉法[6]利用光波干涉測(cè)量懸臂梁的變形量[7],是一種高精度無(wú)需標(biāo)定的非接觸測(cè)量方法。干涉條紋一般采用象限光電管[8]或CCD接收。
對(duì)干涉信號(hào)采用合適的接收與處理方法,有利于提高干涉測(cè)量的精度。傳統(tǒng)的對(duì)干涉條紋采用象限光電接收的方法,一般要求兩組正交的光電轉(zhuǎn)換信號(hào)[9-11],才能達(dá)到辨向細(xì)分的高精度測(cè)量目的。然而,實(shí)際測(cè)量系統(tǒng)中,干涉條紋形狀由參考光與測(cè)量光方位角共同決定,傳統(tǒng)激光準(zhǔn)直光路中,任何一路光束方向的毫弧級(jí)變化,都將導(dǎo)致條紋形狀較大的變化[12-13],因此,這種光路在測(cè)量過程中,干涉條紋形狀受懸臂角度變化的影響大,不適合懸臂的測(cè)量。另一方面,由于加工和安裝誤差等因素的影響,測(cè)量系統(tǒng)參考光與測(cè)量光的初始夾角,無(wú)法保證測(cè)量系統(tǒng)獲取理想的干涉條紋形狀,需要相應(yīng)調(diào)節(jié)光電管的方位,使兩路信號(hào)滿足正交性。
針對(duì)上述問題,筆者首先設(shè)計(jì)了一種干涉條紋形狀對(duì)懸臂角度變化不敏感的干涉光路,該干涉光路適合微懸臂短行程的測(cè)量。其次,為了減少對(duì)測(cè)量系統(tǒng)調(diào)整的工作量,增大系統(tǒng)對(duì)安裝誤差的冗余度,提出利用軟件算法對(duì)非正交干涉信號(hào)進(jìn)行處理的方法,彌補(bǔ)正交條件[14]的不足。為此,在對(duì)兩路光電接收干涉條紋信號(hào)進(jìn)行數(shù)學(xué)建模分析的基礎(chǔ)上,利用實(shí)時(shí)橢圓擬合方法[15-16]對(duì)兩路信號(hào)進(jìn)行擬合。根據(jù)橢圓擬合與參數(shù)換算后得到的幅值、直流偏置和相位差的結(jié)果,推導(dǎo)了條紋運(yùn)動(dòng)相位變化的相關(guān)算法。最后,根據(jù)相位與振動(dòng)位移的關(guān)系,以及振動(dòng)位移變化連續(xù)性的特點(diǎn),通過直接解包裹的銜接算法[17-21],得到了完整的懸臂振動(dòng)位移。
1懸臂干涉測(cè)量系統(tǒng)
測(cè)量系統(tǒng)的原理如圖1所示,半導(dǎo)體激光器發(fā)出的激光,通過聚焦棱鏡后,入射到分光棱鏡上,然后分成兩束光,分別聚焦在反射鏡和懸臂梁上。經(jīng)過反射鏡和懸臂梁反射后,再次投射到分光棱鏡上,部分光重合后在探測(cè)器上形成干涉條紋。
圖1 測(cè)量系統(tǒng)結(jié)構(gòu)示意圖
這種測(cè)量系統(tǒng)的特點(diǎn)在于聚焦干涉,適合短行程的干涉測(cè)量。其優(yōu)點(diǎn)在于一方面使光斑能夠聚焦到微小結(jié)構(gòu)的懸臂上,另一方面,系統(tǒng)產(chǎn)生的干涉條紋在探測(cè)器上得到自然的放大,且微懸臂振動(dòng)產(chǎn)生的微小角度變化對(duì)條紋形狀變化的影響可忽略[10,22]。
系統(tǒng)采用圖2所示的二象限探測(cè)器對(duì)干涉條紋信號(hào)進(jìn)行光電轉(zhuǎn)換。只要探測(cè)器與條紋方向存在一個(gè)小的偏角[11],兩路干涉信號(hào)之間就存在一個(gè)恒定的相位差。
圖2 光電管相對(duì)條紋位置示意圖
2干涉信號(hào)數(shù)學(xué)建模與算法設(shè)計(jì)
干涉條紋形狀由參考光與測(cè)量光兩路光束夾角決定[22]。由于加工和安裝誤差的影響,以及激光器光斑光強(qiáng)分布影響,對(duì)于每個(gè)測(cè)量?jī)x器個(gè)體,干涉條紋形狀難以達(dá)到均勻、一致的要求。這就致使象限探測(cè)器接收的干涉條紋信號(hào),在實(shí)際測(cè)量系統(tǒng)中無(wú)法滿足正交化的要求。因此,非正交化條紋信號(hào)的處理顯得非常必要。
2.1干涉信號(hào)的數(shù)學(xué)建模
雖然干涉場(chǎng)中每一點(diǎn)的相位與所處干涉條紋位置有關(guān),但干涉場(chǎng)中每點(diǎn)相位的變化和懸臂位移之間均滿足如下關(guān)系:
(1)
式中,θ為干涉相位變化量;s為懸臂位移量;λ為激光波長(zhǎng)。
利用圖2中二象限光電管接收干涉條紋的方法,在保證光電管與干涉條紋之間有一個(gè)小傾角的條件下[9],兩路光電轉(zhuǎn)換信號(hào)之間有一個(gè)相差,數(shù)學(xué)表達(dá)式滿足如下形式:
(2)
式中,x、y為兩路轉(zhuǎn)換信號(hào);A、B分別為兩路信號(hào)的幅值,且A、B>0;C1、C2分別為兩路信號(hào)的偏置量;φ為兩路信號(hào)的相位差,且當(dāng)φ=π/2時(shí),x、y為兩路正交信號(hào)。
圖3顯示了在實(shí)際測(cè)量懸臂振動(dòng)過程中,隨時(shí)間變化,同時(shí)采集的兩路干涉信號(hào)曲線。實(shí)線代表x路信號(hào),虛線代表y路信號(hào);橫坐標(biāo)為兩路信號(hào)的采樣點(diǎn)序號(hào),縱坐標(biāo)為12位AD采樣電壓的數(shù)字量。信號(hào)的采樣周期為2000Hz,圖中選取其中的400個(gè)采樣點(diǎn)。
1.懸臂運(yùn)動(dòng)至頂峰或者峰谷位置,方向翻折2.懸臂運(yùn)動(dòng)到平衡位置,速度最大,信號(hào)頻率最大圖3 x、y兩路干涉信號(hào)曲線
圖3的信號(hào)曲線反映了懸臂的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。其中信號(hào)頻率高的地方,相位角θ變化快,此時(shí)懸臂處于振動(dòng)平衡位置附近時(shí)刻,振動(dòng)速度大;信號(hào)頻率低的地方,相位角θ變化緩慢,此時(shí)懸臂處于振動(dòng)峰點(diǎn)時(shí)刻,振動(dòng)速度小。從圖3中還可以看出,所采集的懸臂振動(dòng)變化接近4個(gè)周期。
圖4給出了兩路信號(hào)的Lissajous圖,曲線呈斜橢圓形,其橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)分別是兩路信號(hào)的12位AD轉(zhuǎn)換量。同時(shí)橢圓線越細(xì),表明干涉條紋光電接收信噪比越高。
圖4 兩信號(hào)的Lissajous圖
2.2橢圓擬合對(duì)信號(hào)的處理
如何根據(jù)兩路干涉信號(hào)x、y的值求取懸臂位移s,是干涉信號(hào)處理的關(guān)鍵。考慮θ正比于s,因此首先計(jì)算θ值。根據(jù)式(2),要得到θ值就必須事先得到A、B、C1、C2和φ的值。為此,在對(duì)式(2)消除參數(shù)θ后,可以推出兩路干涉信號(hào)滿足橢圓關(guān)系。把橢圓參數(shù)方程轉(zhuǎn)換為相應(yīng)的橢圓直角坐標(biāo)方程[22],形式如下:
y2+axy+bx2+cy+dx+e=0
(3)
考慮到采樣的x、y兩路干涉信號(hào)具有足夠的采樣點(diǎn),在已知x、y的條件下,式(3)亦可以寫成:
(4)
其中i=1,2,…,n, 這里n為采樣點(diǎn)數(shù);xi、yi為采樣信號(hào)序列值。
式(4)顯然是一組多元線性方程組,利用滿足最小二乘的多元線性回歸方法,得到系數(shù)a、b、c、d、e。其中這些回歸系數(shù)與參數(shù)方程的參數(shù)A、B、C1、C2和φ之間滿足如下式所示的換算關(guān)系[15]:
(5)
值得注意的是,為了使擬合的效果達(dá)到最佳,兩路信號(hào)的Lissajous圖應(yīng)至少具有構(gòu)成一個(gè)封閉橢圓的數(shù)據(jù)量。
2.3相位的計(jì)算
在前面擬合與參數(shù)換算求解得A、B、C1、C2和φ后,對(duì)式(2)中三角函數(shù)進(jìn)行推導(dǎo)計(jì)算,得到相位θ的計(jì)算表達(dá)式:
(6)
式(6)中,在代入每一個(gè)采樣序列點(diǎn)xi、yi的基礎(chǔ)上,可以算出相應(yīng)的sinθi和cosθi,然后應(yīng)用雙參數(shù)反正切函數(shù)可以求取θi,這里θi為反正切相位序列值,其中的前400個(gè)相位點(diǎn)如圖5所示。
圖5 雙參數(shù)反正切相位
由于反正切計(jì)算的相位θi是處于(-π,π]之間的包裹相位,并不是真正反映懸臂振動(dòng)位移的絕對(duì)相位量,而代表懸臂實(shí)際振動(dòng)的絕對(duì)干涉相位遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出這個(gè)限制范圍,因此,在相位超過(-π,π]區(qū)間時(shí)會(huì)發(fā)生跳躍,使相位出現(xiàn)不連續(xù)的現(xiàn)象,如圖5所示。需要進(jìn)一步地解包裹銜接算法才能完成對(duì)懸臂振動(dòng)絕對(duì)相位的計(jì)算。
3相位解包裹算法設(shè)計(jì)及實(shí)驗(yàn)
3.1解包裹算法
相位解包裹的引入是由于在求相位的過程中引入了反正切函數(shù)或者反正弦函數(shù),計(jì)算所得到的相位被包裹在(-π,π]之間,為了得到真實(shí)的相位分布,需要對(duì)這些包裹相位作進(jìn)一步的處理,這一處理過程稱為“相位解包”。實(shí)際干涉相位變化范圍大于一個(gè)周期2π,這樣必然在-π~π或π~-π之間存在躍變。解包裹即找出這些躍變點(diǎn),將被截?cái)?包裹)的相位連接起來(lái),以得到真實(shí)的相位信息[21]。
基于此,算法思想是對(duì)雙參數(shù)反正切函數(shù)得到的相位進(jìn)行相鄰點(diǎn)相減,判斷相鄰點(diǎn)相位差。當(dāng)相鄰點(diǎn)相位差大于π或小于-π時(shí),認(rèn)為是躍變點(diǎn),利用軟件對(duì)跳變點(diǎn)相應(yīng)增加或者減少2π。
具體方法采用如下三個(gè)原則:
(7)
其中,Ωi為第i點(diǎn)解包后的絕對(duì)相位,且滿足Ω1=θ1。
3.2懸臂振動(dòng)位移的復(fù)原實(shí)驗(yàn)
利用上述的計(jì)算過程,對(duì)正弦激勵(lì)下的懸臂振動(dòng)位移進(jìn)行實(shí)測(cè)實(shí)驗(yàn)。圖6示出了解包裹計(jì)算后的絕對(duì)相位Ωi,它與懸臂振動(dòng)位移量成正比。從圖6中可以看出:解包裹后的相位變化呈現(xiàn)明顯的正弦形,相鄰相位之間不再有跳變的現(xiàn)象。
圖6 解包裹后的相位
考慮到懸臂振動(dòng)位移與干涉相位之間滿足如下關(guān)系:
(8)
代入激光波長(zhǎng)λ=650nm,經(jīng)計(jì)算可得到振動(dòng)位移量。
圖7顯示了微懸臂位移10個(gè)峰值點(diǎn)局部區(qū)域與10個(gè)谷值點(diǎn)局部區(qū)域?qū)?yīng)的計(jì)算結(jié)果。
圖7 微懸臂位移峰谷放大圖
懸臂振動(dòng)位移的峰谷值約為1200nm,相鄰頂峰之間的差距最大約為12nm,相當(dāng)于最大相位誤差達(dá)到0.23rad。結(jié)果表明測(cè)量的精度很高。
4結(jié)論
在設(shè)計(jì)基于干涉條紋形狀對(duì)懸臂角度變化不敏感的干涉光路基礎(chǔ)上,提出了對(duì)難以保證正交化的兩路干涉信號(hào)進(jìn)行實(shí)時(shí)橢圓擬合的方法。根據(jù)橢圓擬合與參數(shù)換算結(jié)果推導(dǎo)出光電信號(hào)非正交條件下,懸臂干涉相位變化的計(jì)算方法,最后通過解包裹銜接算法還原懸臂振動(dòng)位移。由于激光干涉儀位移測(cè)量以激光波長(zhǎng)為標(biāo)準(zhǔn),在一般工業(yè)測(cè)量中,不需要對(duì)測(cè)量系統(tǒng)進(jìn)行專門的校準(zhǔn)驗(yàn)證,測(cè)量結(jié)果可信度高,很容易達(dá)到納米級(jí)精度。在應(yīng)用該測(cè)量方法對(duì)某種微懸臂振動(dòng)位移的測(cè)量實(shí)驗(yàn)中,在振動(dòng)峰峰值為1200nm的條件下,比較了其中10個(gè)振動(dòng)周期內(nèi)振動(dòng)位移的幅度,發(fā)現(xiàn)峰峰間誤差及谷谷間誤差均小于12nm。
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(編輯王艷麗)
AProcessingAlgorithmofNon-orthogonalSignalsforMicro-cantileverVibrationInterferometryMeasurement
WangXuanzeKongDejingZhaiZhongsheng
HubeiUniversityofTechnology,Wuhan,430068
Abstract:This paper designed interference measurement system which the stripe shape was less sensitive to cantilever’s changing angles. Then analysing the characteristics of two-photoelectric receiving interference signals which were difficult to guarantee orthogonalization, a real-time ellipse fitting method was proposed. Using the ellipse fitting method and the conversion results, the theoretical formula of interference fringe phase change could be derived. Finally, according to the relationship between the phase and vibration displacement, and the property of vibration displacement’s continuity, vibration displacement quantity could be obtained by using unwrapping algorithm. The results show that this method can achieve measurement level of interference precision order without additional hardware processing circuit wnder the conditions of the sufficient sampling frequency.
Key words:measurement; micro cantilever; phase-difference; ellipse fitting; phase unwrapping
收稿日期:2015-04-28
基金項(xiàng)目:國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51175154, 51275157, 51275158);天津大學(xué)精密測(cè)試技術(shù)及儀器國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室開放基金資助項(xiàng)目(PIL1209)
中圖分類號(hào):TH744.3
DOI:10.3969/j.issn.1004-132X.2016.04.004
作者簡(jiǎn)介:王選擇,男,1971年生.湖北工業(yè)大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院教授??椎戮?,男,1991年生。湖北工業(yè)大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院碩士研究生。翟中生,男,1978年生。湖北工業(yè)大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院副教授、博士。