莊　未　劉成舉　江　漢　何淑通

桂林電子科技大學(xué),桂林,541004

一種獨輪車機器人的動力學(xué)建模及俯仰平衡控制

莊未劉成舉江漢何淑通

桂林電子科技大學(xué),桂林,541004

摘要：針對一臺3驅(qū)動獨輪車機器人系統(tǒng)，分析了其動力學(xué)特性并給出了一種可以實現(xiàn)其前后俯仰平衡運動的控制方法。根據(jù)行走輪與地面接觸的非完整約束特性，引入Chaplygin方程建立系統(tǒng)的動力學(xué)模型，結(jié)果發(fā)現(xiàn)獨輪車機器人是一個具有6個獨立廣義速度、3個欠驅(qū)動自由度的欠驅(qū)動系統(tǒng)。考慮車體俯仰平衡運動的力學(xué)子系統(tǒng)，采用部分反饋線性化方法，將其中的欠驅(qū)動車體俯仰角線性化，并選擇車體俯仰角和行走輪轉(zhuǎn)動角為輸出,設(shè)計了系統(tǒng)俯仰平衡運動的非線性控制器。最后通過數(shù)值仿真控制與物理樣機實驗驗證了所設(shè)計控制器的有效性。

關(guān)鍵詞：獨輪車機器人；動力學(xué)模型；俯仰平衡運動；部分反饋線性化

0引言

獨輪車機器人是一種依靠“獨輪”接地、靜態(tài)不穩(wěn)定但動態(tài)可穩(wěn)定的道路行走機構(gòu)，因其輕便靈活、節(jié)能環(huán)保而受到人們的廣泛關(guān)注。

目前,人們對獨輪車機器人的研究主要集中在機構(gòu)設(shè)計、動力學(xué)建模、平衡控制策略制訂三個方面。文獻[1]設(shè)計了一種用輪子、支架和轉(zhuǎn)盤構(gòu)成的獨輪車機器人機構(gòu)。該機構(gòu)采用線性LQR(linearquadraticregulator)方法實現(xiàn)機器人前后方向的平衡，但由于研究中忽略了系統(tǒng)的狀態(tài)耦合，其控制器的魯棒性尚待提高。文獻[2]對文獻[1]的控制方法進行了改進，提出了LQG(linearquadraticGaussian)的控制思路,實現(xiàn)了獨輪車機器人全方位的穩(wěn)定控制。然而,文獻[2]的工作是在小偏航角的前提下進行的，此時車體側(cè)向和前向的耦合很小，動態(tài)模型可以簡單地線性化，這與機器人的實際工況尚有差距。文獻[3]設(shè)計了一款在車架上安裝兩個閉環(huán)機構(gòu)的獨輪車機器人系統(tǒng)。這種機器人具有很強的平衡能力，但結(jié)構(gòu)復(fù)雜且兩個閉環(huán)機構(gòu)需要同時驅(qū)動，因此控制難度較高。文獻[4]提出了一種橄欖球輪形的獨輪車機器人。該機器人的驅(qū)動輪設(shè)計成橄欖球形狀，增大了橫滾調(diào)節(jié)范圍,降低了側(cè)向平衡控制難度。另外，該機器人可左右擺動車身上體部分來調(diào)整機器人重心偏移，以此對機器人進行航向控制。文獻[5]利用陀螺原理設(shè)計了一種單輪式機器人系統(tǒng)——Gyrover,引起了大量學(xué)者的興趣[6-11]。類似地,文獻[12]也提出了一種用雙陀螺調(diào)節(jié)側(cè)向平衡的獨輪車機器人機構(gòu),并研究了魯棒增益等控制策略，很好地解決了傾角過大時機器人不可控的問題。利用旋轉(zhuǎn)陀螺產(chǎn)生的進動力可以使機器人達到較好的平衡效果,但這類機器人高速旋轉(zhuǎn)陀螺會消耗大量額外的能量，這是機器人節(jié)能設(shè)計所不希望的。文獻[13]設(shè)計了一種行走機構(gòu)為萬向滾動球的獨輪機構(gòu)。該機構(gòu)的側(cè)向平衡、俯仰平衡與航向控制均可通過控制“球輪”實現(xiàn)。文獻[14]基于倒立擺原理設(shè)計了一款名為Unibot的獨輪車機器人。Unibot車身上部的慣性輪可以為機器人提供側(cè)向調(diào)整激勵,其車身下部的獨輪則可以為機器人俯仰平衡提供驅(qū)動，遺憾的是該機器人沒有設(shè)計航向控制機構(gòu)。文獻[15]報道了一款能夠騎獨輪車的機器人“村田婉童”，“村田婉童”的結(jié)構(gòu)原理與Unibot類似，其設(shè)計者在控制上忽略前后與側(cè)向動力學(xué)耦合影響，因此其平衡能力有待進一步提高。文獻[16]提出一種可調(diào)質(zhì)量塊的獨輪車機器人系統(tǒng)。其研究者認為，左右移動質(zhì)量塊來改變機器人質(zhì)心的位置，由此可以產(chǎn)生足夠的重力矩抵消傾倒力矩對機器人的影響。對于實際效果，該文獻僅給出了數(shù)值仿真控制驗證,缺乏物理樣機實驗的支撐。文獻[17]設(shè)計了一種通過向兩側(cè)噴氣實現(xiàn)側(cè)向平衡的獨輪車機器人系統(tǒng)。顯然，這種機器人首先需要解決氣源、噪聲等問題，另外，這種設(shè)計還需要對噴氣這一復(fù)雜的動態(tài)過程進行建模，這也會增大控制的難度。文獻[18-21]研究一種慣性擺輪獨輪車機器人系統(tǒng)，該系統(tǒng)采用雙閉環(huán)PID控制、線性二次型最優(yōu)控制、迭代學(xué)習(xí)控制和滑?？刂频瓤刂品椒▽Κ気嗆嚈C器人進行平衡控制研究。文獻[22]提出了一種轉(zhuǎn)動慣量可調(diào)的擺輪式獨輪車機器人系統(tǒng)，其特點是機器人垂直轉(zhuǎn)子和水平轉(zhuǎn)子上均有三個位置可調(diào)的質(zhì)量塊，可以改變轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)動慣量。文獻[18-21]和文獻[22]設(shè)計的獨輪車機器人均達到了一定的平衡效果。

綜上所述,目前獨輪車機器人的機構(gòu)設(shè)計形式較為多樣，先后出現(xiàn)了單輪式Gyrover機器人、橄欖球輪式機器人、球輪式機器人和垂直擺輪式機器人等。其中，垂直擺輪式獨輪車機器人的兩個轉(zhuǎn)動輪轉(zhuǎn)軸相互正交，弱化了側(cè)向傾角與俯仰角的力學(xué)耦合，在一定程度上降低了控制難度。另外，建立準確簡潔的力學(xué)模型和設(shè)計高效可靠的運動控制器是眾多獨輪車機器人研究人員共同關(guān)注的焦點。

本文以一臺具有行走輪、腰輪和擺輪3個驅(qū)動輸入的垂直擺輪式獨輪車機器人為研究對象，利用Chaplygin方程建立了機器人在水平地面上行走的數(shù)學(xué)模型，從而揭示了行走輪、腰輪和擺輪調(diào)整平衡和控制航向的力學(xué)機理，然后采用部分反饋線性化技術(shù)設(shè)計了俯仰平衡控制器，最后在數(shù)值仿真和樣機實驗兩個方面實現(xiàn)了機器人的俯仰平衡運動控制。

1動力學(xué)建模

1.1運動學(xué)分析

如圖1所示,本文研究的垂直擺輪式獨輪車機器人系統(tǒng)由車架1、行走獨輪2、腰輪3和擺輪4構(gòu)成。

(a)物理樣機(b)結(jié)構(gòu)簡圖圖1　驅(qū)動獨輪車機器人系統(tǒng)

獨輪車機器人力學(xué)系統(tǒng)的位形需要用9個廣義坐標來確定，分別為車架的3個歐拉角ψ、θ、φ(轉(zhuǎn)動序列為e3-e1-e2,定義為q1、q2、q3),行走輪相對車架的轉(zhuǎn)角q4,腰盤相對車架的轉(zhuǎn)角q5,擺盤相對車架的轉(zhuǎn)角q6,坐標系{1}原點在坐標系{0}中的位置x、y、z(定義為q7、q8、q9)。

根據(jù)歐拉角旋轉(zhuǎn)序列(e3-e1-e2)的定義,車架的角速度矢量為

(1)

根據(jù)相對運動原理行走輪角速度矢量為

(2)

在純滾動的條件下，行走輪與地面的接觸為非完整約束。設(shè)車輪接地點的矢徑rA為

(3)

式中,r為行走輪的半徑。

則接地點的速度vA滿足關(guān)系式：

(4)

式中，vB2C為行走輪幾何中心的線速度。

根據(jù)式(4)可以得到：

(5)

另一方面,行走輪幾何中心的線速度又可以表示為

(6)

綜合式(5)和式(6)，得到系統(tǒng)的非完整約束方程：

(7)

(8)

以及系統(tǒng)的完整約束方程：

q9=rc2q2

(9)

由式(7)和式(8)可知,約束是一階線性齊次穩(wěn)定的,且約束系數(shù)不含q7和q8。

綜上可知,系統(tǒng)具有2個非完整約束方程和1個完整約束方程，因此其自由度數(shù)是6。

從車架的角速度出發(fā)，腰輪、擺輪的角速度矢量可以由以下式子計算：

(10)

(11)

式中,ωB3和ωB4分別為腰輪和擺輪的角速度矢量。

(12)

(13)

(14)

式中,vB3C和vB4C分別為腰輪和擺輪的線速度矢量。

1.2動力學(xué)模型

設(shè)剛體Bi(i=1,2,3,4)的質(zhì)量慣性矩陣為

(15)

其中,mi為剛體Bi的質(zhì)量,I為3×3的單位陣,Ji為剛體Bi的慣性張量矩陣,且

(16)

式中,Jcixx、Jciyy、Jcizz分別為剛體Bi繞其質(zhì)心坐標系x、y、z軸的轉(zhuǎn)動慣量。

則系統(tǒng)的總動能

(17)

(18)

式中,g為重力加速度。

由式(17)和式(18)可知,動能T和力函數(shù)U也均不包含q7和q8,因此q7和q8為循環(huán)坐標。

(19)

σ=1,2,…,6

最終可以得到系統(tǒng)的動力學(xué)模型：

(20)

G(q)=(0,G2,G3,0,0,0)T

τ=(0,0,0,τ4,τ5,τ6)T

q=(q1,q2,q3,q4,q5,q6)T

由式(20)知，獨輪車機器人為一個6自由度的欠驅(qū)動系統(tǒng)，其中車架的3個歐拉角沒有直接驅(qū)動。

2控制方案

2.1控制器設(shè)計

本文探討的是獨輪車機器人的俯仰平衡運動控制問題,即如何在鎖定車體的航向角和側(cè)向傾角的情況下控制系統(tǒng)的前后俯仰平衡。

分析式(20)給出的系統(tǒng)動力學(xué)模型，假設(shè)：

(21)

則通過控制行走輪可以實現(xiàn)機器人的前后俯仰平衡。具體做法如下：

(22)

其中,Di j和Ci j分別為矩陣D和C的元素，且

(23)

(24)

利用部分反饋線性化方法設(shè)計控制器。因為D34≠0，因此由式(22)第一個方程可以解出

(25)

將式(25)代入式(22)中第二個方程,得到

(26)

引入虛擬控制量υ，取控制力矩

(27)

則式(22)可以改寫為

(28)

若選取虛擬控制量

(29)

(30)

y=Ce

(31)

e=[e1e2e3e4]T

2.2穩(wěn)定性證明

式(30)在平衡點(e=0)的Jacobin矩陣為

(32)

此時式(32)的特征方程為

s4+(kd-k2w2)s3+(kp-k1w2)s2+

k2w1s+k1w1=0

(33)

根據(jù)Routh判據(jù),式(30)穩(wěn)定的條件是

(34)

由以上分析可知，選擇適當(dāng)?shù)膮?shù)k*可以使式(34)成立，從而使系統(tǒng)(式(28)～式(31))狀態(tài)及輸出能夠穩(wěn)定。

類似地，在獨輪車機器人的側(cè)向平衡控制中(鎖定車體的航向角和俯仰角)，分析式(20)給出的系統(tǒng)動力學(xué)模型，假設(shè)：

i=1,3,4,5

(35)

3數(shù)值仿真控制實驗

設(shè)初始時刻，車架俯仰角為5°，系統(tǒng)的質(zhì)量、轉(zhuǎn)動慣量、長度等參數(shù)設(shè)置如表1所示。

表1　獨輪車機器人系統(tǒng)仿真參數(shù)

根據(jù)控制器穩(wěn)定的條件(式(34)),選取控制器參數(shù)：kp=550,kd=10,k1=6,k2=2。將有關(guān)的參數(shù)代入式(33)，求解得到復(fù)根:

顯然,這些復(fù)根全部具有負實部,因此系統(tǒng)穩(wěn)定。

對式(30)、式(31)進行數(shù)值仿真，時間步長設(shè)為0.01s,仿真時間為10s。結(jié)果如圖2～圖4所示。

圖2　車架俯仰角(仿真結(jié)果)

圖3　行走輪角速度(仿真結(jié)果)

圖4　行走輪電機的驅(qū)動力矩(仿真結(jié)果)

從圖2可以看出,車架俯仰角由初始值快速地振蕩衰減,大約經(jīng)過5s收斂到零位置附近。從圖3可以看出,行走輪的速度也緩慢減小，同樣在5s后也能基本收斂為0。從圖4可以看出，電機的調(diào)整力矩最大值達到28N·m,但隨時間變化呈指數(shù)衰減,大約在5s也收斂為0。由此不難得出結(jié)論,控制方案((式(27)和(式(29))實現(xiàn)了獨輪車機器人的俯仰平衡運動。

4物理樣機實驗

4.1實驗樣機系統(tǒng)簡介

獨輪車機器人樣機如圖1a所示。樣機控制硬件平臺以數(shù)字信號處理器(DSP)為核心，包括慣性測量單元、光電編碼器、電流傳感器以及ZigBee通信模塊。圖5為樣機控制系統(tǒng)硬件結(jié)構(gòu)框圖。

圖5　獨輪車機器人控制系統(tǒng)硬件結(jié)構(gòu)框圖

4.2實驗與結(jié)果分析

實驗前,在樣機兩側(cè)安裝輔助輪以確保機器人俯仰運動自由但又不會側(cè)向傾倒。選取控制器參數(shù)kp=450,kd=15,k1=4,k2=1.5,實驗結(jié)果如圖6～圖9所示。

圖6　俯仰平衡行走運動實驗視頻連拍

圖7　車架俯仰角(實驗結(jié)果)

圖8　行走輪角速度(實驗結(jié)果)

圖9　行走輪電機的驅(qū)動力矩(實驗結(jié)果)

綜上所述,獨輪車機器人樣機在控制器的作用下實現(xiàn)了在水平地面上的俯仰平衡行走，并且電機的調(diào)整能力(速度、力矩)均有一定的閾度,因此可以進一步優(yōu)化控制器參數(shù)，提高系統(tǒng)的響應(yīng)性能。

5結(jié)語

獨輪車機器人的“行走獨輪”與地面在理想情況下為純滾動接觸，這種接觸形式具有明顯的非完整約束特性。本文根據(jù)這一特征建立了系統(tǒng)在水平地面上運動的力學(xué)模型，有效地揭示了獨輪車機器人行走輪、腰輪和擺輪的運動激勵與車體俯仰角、航向角和橫滾角的動力學(xué)耦合關(guān)系。研究了單獨考慮車體的前后俯仰運動，通過對力學(xué)模型進行降維處理成功地提取出了一個能夠描述俯仰平衡運動力學(xué)行為的子系統(tǒng)。采用部分反饋線性化方法，將子系統(tǒng)中的欠驅(qū)動車體俯仰角線性化，并選擇車體的俯仰角和行走輪的轉(zhuǎn)動角為輸出設(shè)計了俯仰運動的平衡控制器。數(shù)值仿真控制以及物理樣機實驗均證明了本文動力學(xué)分析和平衡控制器設(shè)計的有效性。

參考文獻:

[1]SchoonwinkelA.DesignandTestofaComputerStabilizedUnicycle[D].Standford:StanfordUniversity,1987.

[2]VosDW.NonlinearControlofanAutonomousUnicycleRobot:PracticalIssues[D].Cambridge:MIT,1992.

[3]ShengZaiquan,YamafujiK.PosturalStabilityofaHumanRidingaUnicycleandItsEmulationbyaRobot[J].IEEETransactionsonRoboticsandAutomation,1997，13:709-720.

[4]HaY,YutaS.TrajectoryTrackingControlforNavigationofSelf-containedMobileInversePendulum[C]//Proc.ofthe1994IEEE/RSJInt.Conf.onIntelligentRobotsandSystems.Munich,1994:1875-1882.

[5]BrownHB,XuY.ASingle-wheelGyroscopicallyStabilizedRobot[C]//Proceedingsofthe1996IEEEInternationalConferenceonRoboticsandAutomation.Minncapolis,Minnesota，1996:3658-3663.

[6]XuY,AuKW,NandyGC,etal.AnalysisofActuationandDynamicBalancingforaSingleWheelRobot[C]//Proceedingsofthe1998IEEE/RSJInt.Conf.onIntelligentRobotsandSystems.Victoria,1789-1794.

[7]GoraC.NandyIT,XuY.DynamicModelofaGroscopicWheel[C]//Proceedingsofthe1998IEEEInternationalConferenceonRobotics&Automation.Leuven,Belgium,1998:1683-2688.

[8]OuYongsheng,XuYangsheng.BalanceControlofaSingleWheelRobot[C]//Proceedingsofthe2002IEEE/RSJInt.ConferenceonIntelligentRobotsandSystem.Lausane,Switzerland,2002:2043-2048.

[9]SalehT,HannYH,ZhuZ,etal.DesignofaGyroscopicallyStabilizedSingle-wheelRobot[C]//IEEEInternationalConferenceonRobotics,AutomationanMechatronics,RAM2004.Singapore,2004:904-908.

[10]MamunA,ZhuZ,VadakkepatP,etal.TrackingControloftheGyrobots:aGyroscopically-stabilizedSingle-wheeledRobot[C]//The31stAnnualConferenceoftheIEEEIndustrialElectronicsSociety,IECON05.Raleigh,NorthCarolina,USA,2005:1839-1844.

[11]ZhenZ,AbdullahAM,PrahladV,etal.LineTrackingoftheGyrobot—AGyroscopicallyStabilizedSingle-wheeledRobot[C]//Proceedingsofthe2006IEEEInternationalConferenceonRoboticsandBiomimetics.Kunming,2006:293-298.

[12]DaoMQ,LiuKZ.Gain-scheduledStabilizationControlofaUnicycleRobot[J].JSMEInternationalJournal,2005, 48(4):649-656.

[13]LauwersTB,KantorGA,HollisRL.ADynamicallyStableSingleWheeledMobileRobotwithInverseMouse-ballDrive[C]//Proceedingofthe2006IEEEInternationalConferenceonRoboticsandAutomation,Orlando,Florida,2006:2884-2889.

[14]deCallafonRA.UCSDJacobs.SchoolofEngineering[EB/OL]. [2015-03-03].http://maeresearch.ucsd.edu/callafon/research/index.html#PROJECTS.

[15]叢秋波. 村田制造所：“村田頑童”攜手“村田婉童”展示高新技術(shù)[J]. 電子設(shè)計技術(shù),2008(12):124-125.

CongQiubo.MurataManufacture:“MurataBoy”HandinHand“MurataTong”ExhibitionofHigh-tech[J].ElectronicDesignTechnology，2008(12)：124-125.

[16]郭磊，廖啟征，魏世明,等.獨輪車機器人的動力學(xué)建模與非線性控制[J].系統(tǒng)仿真學(xué)報,2009,21(9):2730-2733.

GuoLei,LiaoQizheng,WeiShiming,etal.DynamicalModelingandNonlinearControlofUnicycleRobot[J].JournalofSystemSimulation,2009,21(9):2730-2733.

[17]LeeJH,ShinHJ,LeeSJ,etal.NovelAirBlowingControlforBalancingaUnicycleRobot[J].IntelligentRobotsandSystems,2010,2529-2530.

[18]朱曉慶,阮曉鋼,魏若巖.基于慣性飛輪的獨輪自平衡機器人側(cè)向動力學(xué)分析[J].應(yīng)用力學(xué)學(xué)報,2013,30(3):395-400.

ZhuXiaoqing,RuanXiaogang,WeiRuoyan.LateralDynamicAnalysisofSelf-balanceSingleWheelRobotBasedonFlywheel[J].JournalofAppliedMechanics,2013,30(3):395-400.

[19]阮曉鋼,胡敬敏, 王啟源,等.一種獨輪車機器人的滑?？刂芠J]. 控制工程, 2011,18(1):128-132.

RuanXiaogang,HuJingmin,WangQiyuan,etal.Sliding-modeControlofaUnicycleRobot[J].ControlEngineering,2011,18(1):128-132.

[20]朱曉慶, 阮曉鋼,魏若巖, 等. 獨輪機器人側(cè)向通道建模與控制[J].北京工業(yè)大學(xué)學(xué)報,2013,39(10):1474-1480.

ZhuXiaoqing,RuanXiaogang,WeiRuoyan,etal.LateralDynamicModelingandControlofaSingleWheelRobot[J].JournalofBeijingUniversityofTechnology,2013,39(10): 1474-1480.

[21]王啟源,阮曉鋼.獨輪自平衡機器人雙閉環(huán)非線性PID控制[J].控制與決策,2013,27(4):593-597.

WangQiyuan,RuanXiaogang.DualLoopNonlinearPIDControlofSingle-wheeledRobot[J].ControlandDecisionMaking,2013,27(4):593-597.

[22]白占欣.六自由度獨輪機器人本體研制及動力學(xué)控制方法研究[D].哈爾濱:哈爾濱工業(yè)大學(xué),2011.

(編輯王艷麗)

DynamicsModelandBalancedPitchingControlofaUnicycleRobot

ZhuangWeiLiuChengjuJiangHanHeShutongGuilinUniversityofElectronicTechnology,Guilin,Guangxi,541004

Abstract:Dynamics of a three driven joints’ unicycle robot and controller to achieve the robot’s balanced pitching motion were disscused herein.Firstly,considering the coholonomic constrain between the running wheel and the ground,a dynamics model for the unicycle robot was established by using Chaplygin equation.The model reveals there are 6 generalized velocities and 3 underactuated freedoms in the robot system. Secondly,focusing on the dynamics subsystem of the robot's balanced pitching motion, and a controller for this kind of motion was developed. The controller was based on the partial feedback linearization method, which linearized the underactuated pitching angle,and took the pitching angle and the rotating angle of the running wheel as outputs.The numerical simulation and prototype experiments were performed to testify the validilities of the proposed controller.

Key words:unicycle robot;dynamics model;balanced pitching motion;partial feedback linearization

收稿日期：2015-03-03

基金項目：國家自然科學(xué)基金資助項目(51305087);國家級大學(xué)生創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)訓(xùn)練計劃資助項目(201510595034)；桂林電子科技大學(xué)研究生教育創(chuàng)新計劃資助項目(YJCXS201511,YJCXS201512)

中圖分類號：TP24

DOI：10.3969/j.issn.1004-132X.2016.04.008

作者簡介：莊未，女，1977年生。桂林電子科技大學(xué)機電工程學(xué)院副教授。主要研究方向為機器人動力學(xué)及控制技術(shù)。劉成舉，男，1991年生。桂林電子科技大學(xué)機電工程學(xué)院碩士研究生。江漢,男,1990年生。桂林電子科技大學(xué)機電工程學(xué)院碩士研究生。何淑通,男,1990年生。桂林電子科技大學(xué)機電工程學(xué)院碩士研究生。