陳　影,蘇永美

(北京科技大學(xué) 數(shù)理學(xué)院，北京 100083)

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溶瘤療法動(dòng)力學(xué)模型的改進(jìn)與分析

陳影,蘇永美

(北京科技大學(xué) 數(shù)理學(xué)院，北京 100083)

摘要：研究了一個(gè)改進(jìn)的溶瘤療法動(dòng)力學(xué)模型。通過分析該模型，得到了解的有界性和非負(fù)性。利用微分方程理論分析了零平衡點(diǎn)的不穩(wěn)定性、邊界平衡點(diǎn)的全局穩(wěn)定性及正平衡點(diǎn)的局部穩(wěn)定性。最后，通過數(shù)值模擬來驗(yàn)證邊界平衡點(diǎn)和正平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性。

關(guān)鍵詞：腫瘤；溶瘤療法；穩(wěn)定性；數(shù)值模擬

0引言

腫瘤是嚴(yán)重威脅人類健康的疾病，傳統(tǒng)的放療和化療在殺死腫瘤細(xì)胞的同時(shí)，對人體正常細(xì)胞也會造成傷害[1]。溶瘤病毒是一類具有復(fù)制能力的腫瘤殺傷型病毒，無法在正常的機(jī)體細(xì)胞內(nèi)復(fù)制，因此，對于正常的細(xì)胞無殺傷作用[2]。

許多學(xué)者對溶瘤療法做了深入研究[3-5]，而且溶瘤療法也被廣泛地應(yīng)用到臨床治療[6-8]方面。近年來，為了更好地研究腫瘤病毒療法的動(dòng)力學(xué)模型，并且找到更好的治療策略，一些相關(guān)的數(shù)學(xué)模型被提出[9-15]。文獻(xiàn)[2]提出了一般模型，這個(gè)模型中不包含病毒這個(gè)變量。第一個(gè)關(guān)于溶瘤療法的微分方程數(shù)學(xué)模型是由文獻(xiàn)[11]提出的。事實(shí)上，病毒數(shù)量的變化對溶瘤療法的動(dòng)力學(xué)研究也非常重要。文獻(xiàn)[16]建立了同時(shí)包含腫瘤細(xì)胞和溶瘤病毒兩個(gè)變量的數(shù)學(xué)模型，并對腫瘤病毒用到了Logistic增長。文獻(xiàn)[9]在數(shù)學(xué)模型中加入了病毒釋放率b，即一個(gè)感染的腫瘤細(xì)胞在裂解時(shí)所產(chǎn)生的病毒數(shù)量。文獻(xiàn)[9]提出的病毒療法一般模型為：

(1)

(2)

模型(2)的初始條件滿足如下形式：

x(0)>0,y(0)>0,v(0)>0。

(3)

1解的有界性和非負(fù)性

性質(zhì)1模型(2)滿足初始條件(3)的解，對所有的t>0都是最終有界的，并且是正的。

下面證明模型(2)滿足初始條件(3)的解都是最終有界的。

由上面分析可得出:滿足條件(3)的模型(2)的解，對所有的t>0是正的,并且是最終有界的。

2穩(wěn)定性分析

μ1=-λ；

對于一切非負(fù)參數(shù)，μ1和μ2都是負(fù)的。

特征方程為:

p(μ)=μ3+Aμ2+Bμ+C，

(4)

其中：A=-a11-a22-a33；B=a11a22+a22a33+a11a33-a12a21-a13a31-a23a32；C=a11a23a32+a12a21a33+a13a22a31-a11a22a33-a12a23a31-a13a21a31。

(5)

由Routh-Hurwitz原理，當(dāng)式(5)滿足時(shí)，方程(4)的所有根都有負(fù)實(shí)部。

定理3 當(dāng)條件(5)滿足時(shí)，平衡點(diǎn)E*是局部漸進(jìn)穩(wěn)定的。

3數(shù)值模擬

用MATLAB模擬平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性，選取參數(shù)：λ=0.5,K=9×106,β=0.2,γ=0.6,δ=0.8，b=2，ε=0.009，此時(shí)定理1的條件滿足，平衡點(diǎn)E1的穩(wěn)定性模擬結(jié)果如圖1所示。選取b=5，其他參數(shù)不變，此時(shí)定理3的條件滿足，且平衡點(diǎn)E*存在，其穩(wěn)定性模擬結(jié)果如圖2所示。

圖1b=2時(shí)，E1的穩(wěn)定性模擬 圖2b=5時(shí)，E*的穩(wěn)定性模擬

4結(jié)論

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基金項(xiàng)目：國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(61074192，11101028)；國家中醫(yī)臨床研究基地業(yè)務(wù)建設(shè)科研基金項(xiàng)目(JDZX2015299)

作者簡介：陳影(1990-),女,河南駐馬店人,碩士生;蘇永美(1971-),女,山東臨沂人,副教授,博士,碩士生導(dǎo)師,主要從事常微分定性和穩(wěn)定性分析、生物數(shù)學(xué)模型及微分方程模型的最優(yōu)控制等方面的研究.

收稿日期：2015-12-23

文章編號：1672-6871(2016)04-0092-05

DOI:10.15926/j.cnki.issn1672-6871.2016.04.019

中圖分類號：O175.13

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A