黃平英 胡春燕

“核心素養(yǎng)”是當(dāng)前教育聚焦的熱點(diǎn)。學(xué)生的核心素養(yǎng)強(qiáng)調(diào)的是滿足個(gè)人基本生活需要，能夠通過這些能力解決日常生活的基本問題。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)通過怎樣的方式培養(yǎng)和提升學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)呢？近日，筆者有幸聆聽了特級(jí)教師牛獻(xiàn)禮的“植樹問題”一課，頓時(shí)有種豁然開朗的感覺。

【片段一】自主學(xué)習(xí)中，獲取數(shù)學(xué)信息

（師出示題目：學(xué)校操場(chǎng)邊有9棵樹排成一行，為了美化校園環(huán)境，同學(xué)們又在每相鄰的兩棵樹之間擺一盆花，頭和尾都不放花，一共擺了多少盆花？）

師：從題目中，你獲取了什么信息？

（學(xué)生嘗試解決，全班交流。）

生1：一共有9棵樹，就有8個(gè)空，所以擺了8盆花。

師：這個(gè)空，數(shù)學(xué)上稱為間隔。用畫圖的方法很容易看出9棵樹之間有8個(gè)間隔，知道了間隔數(shù)，就知道了花的盆數(shù)。

師：假如有1000棵樹排成一行，還是每相鄰兩棵樹之間擺一盆花，頭和尾都不放花，一共擺了多少盆花呢？

（學(xué)生獨(dú)立思考，全班交流。）

生2：1000棵樹排成一行，就有999個(gè)間隔，所以能擺999盆花。

師：你怎么知道有999個(gè)間隔呢？

生3：9棵樹有8個(gè)間隔，所以1000棵樹就有999個(gè)間隔。

師：這是一種合理的猜想，有道理。還有別的方法嗎？

生4：你看，從頭開始，一棵樹一盆花，最后這棵樹很孤單，后面沒有了花盆，所以花盆數(shù)比樹的棵數(shù)少1，一共可以放999盆花。

師：聽懂他的意思了嗎？

生（齊）：聽懂了。

師：盡管數(shù)變大了，我們還可以用畫圖的方法來分析問題（出示圖）?？梢韵裆?那樣思考問題：從頭開始，一棵樹對(duì)應(yīng)一盆花，最后這棵樹很孤單，沒有花盆和它對(duì)應(yīng)，所以花盆數(shù)比樹的棵數(shù)少1，一共可以放999盆花。這種方法好不好？

生：好。

師：數(shù)學(xué)上把這種方法稱為“一一對(duì)應(yīng)”。我們借助于畫圖和“一一對(duì)應(yīng)”的方法，就容易找到樹的棵數(shù)與花盆數(shù)之間的關(guān)系。

【賞析】當(dāng)今社會(huì)是一個(gè)信息社會(huì)，我們應(yīng)學(xué)會(huì)對(duì)信息進(jìn)行分析與綜合并將綜合的信息通過語言或文字表現(xiàn)出來。在上述教學(xué)片段中，牛老師精心設(shè)計(jì)了“在兩棵樹之間擺花盆”的情境，并讓學(xué)生用自己的話對(duì)所提供的信息進(jìn)行復(fù)述，從9棵樹到1000棵樹，由少到多，由看到算，從直觀圖示中能直接看到間隔個(gè)數(shù)到必須按“一一對(duì)應(yīng)”的方法去計(jì)算，不只是量的增多，更是質(zhì)的提高。通過對(duì)數(shù)學(xué)信息的有效處理，學(xué)生不知不覺地體會(huì)到了“一一對(duì)應(yīng)”思想的妙處，不管花盆數(shù)和樹的棵數(shù)是多還是少，棵數(shù)與花盆數(shù)的個(gè)數(shù)始終相差1。牛老師引導(dǎo)學(xué)生感悟情境背后蘊(yùn)含的基本思想方法，幫助學(xué)生盡快學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)思維。

【片段二】本真對(duì)話中，形成數(shù)學(xué)思想方法

師：假如還是這1000棵樹，每相鄰兩棵樹之間放一盆花，頭和尾都放花，一共可以放多少盆花呢？

（學(xué)生合作交流。）

師：放了多少盆花？

生（齊）：1001盆。

師：說說你是怎么想的。

生1：剛才“頭和尾都不放花”時(shí)，可以放999盆，現(xiàn)在頭和尾多了2盆花，999+2=1001，所以放了1001盆花。

師：他聯(lián)系了上題的結(jié)果，比較兩題放法的不同，得出1001盆，是個(gè)很好的辦法。還有別的想法嗎？

生2：我是這樣想的，開頭是花盆，結(jié)尾也是花盆，一個(gè)花盆對(duì)應(yīng)一棵樹，依次類推，最后剩下一盆花，花盆比樹多1，所以1000+1=1001。

（師借助圖示用“一一對(duì)應(yīng)”的方法說明：間隔數(shù)比樹的棵數(shù)多1。）

師：還是這1000棵樹，如果開頭放花，而末尾不放花，一共要放多少花呢？

（學(xué)生獨(dú)立思考，師生交流。）

生3：開頭放花，一盆花對(duì)應(yīng)一棵樹，這樣一組一組地對(duì)應(yīng)下來，沒有剩下的，所以花盆數(shù)與樹的棵數(shù)一樣多，放了1000盆花。

（師借助圖示用“一一對(duì)應(yīng)”的方法說明：間隔數(shù)和樹的棵數(shù)一樣多。）

師：假如有51棵樹排成一行，每相鄰的兩棵樹之間放4盆花，頭和尾都不放花，一共要準(zhǔn)備多少盆花？

[學(xué)生獨(dú)立思考，嘗試解答，個(gè)別板演：（51-1）×4=200（棵）。]

師：這里的“51-1”求的是什么呀？

生4：樹的棵數(shù)。

生5：不對(duì)，不是樹的棵數(shù)，是間隔數(shù)。

師：對(duì)，題目中已經(jīng)告訴我們了，樹的棵數(shù)是51棵。“50”是間隔數(shù)嗎？求間隔數(shù)為什么要用51-1呢？

生6：因?yàn)椤邦^和尾都不放花”，開頭的是樹，結(jié)尾也是樹，一棵樹對(duì)應(yīng)一盆花，最后剩下一棵樹，所以樹比花多1，就是51-1=50。

【賞析】美國心理學(xué)家布魯納認(rèn)為，“不論我們選教什么學(xué)科，務(wù)必使學(xué)生理解該學(xué)科的基本結(jié)構(gòu)?！彼^基本結(jié)構(gòu)，就是指“基本的、統(tǒng)一的觀點(diǎn)，或者是一般的、基本的原理”。作為數(shù)學(xué)學(xué)科一般原理的重要組成部分，數(shù)學(xué)思想與方法能夠幫助學(xué)生更好地理解和掌握數(shù)學(xué)內(nèi)容。在本教學(xué)片段中，牛老師圍繞“樹的棵數(shù)”和“花盆數(shù)”之間的關(guān)系，不斷地進(jìn)行變式練習(xí)，通過學(xué)生之間、學(xué)生與老師之間的本真對(duì)話，得出“一一對(duì)應(yīng)”數(shù)學(xué)思想方法。事實(shí)上，“植樹問題”的本質(zhì)就是對(duì)應(yīng)問題，只要明確了“間隔”與“樹”這兩者之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，突出“一一對(duì)應(yīng)”的思想，再以此為基礎(chǔ)并通過適當(dāng)變化就可以應(yīng)對(duì)各種變化。對(duì)于“兩端都種”“只種一端”與“兩端都不種”這三種情況的區(qū)分沒有過分強(qiáng)調(diào)，更沒有將相應(yīng)的計(jì)算法則看成是重要的規(guī)律要求學(xué)生牢牢地去記。而是靈活地運(yùn)用這一思想方法，在不斷的運(yùn)用中，“一一對(duì)應(yīng)”這一數(shù)學(xué)思想方法逐步深入人心，最終內(nèi)化為學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

【片段三】概括延伸中，提升數(shù)學(xué)思維水平

師：想一想，生活中還有什么事情跟擺花盆這樣的問題類似，可以用“一一對(duì)應(yīng)”的方法來解決？

（師生交流，逐步出示：植樹問題、路燈問題、鋸木問題、排隊(duì)問題、爬樓問題等。）

師：想一想，在這些問題中誰和誰是“一一對(duì)應(yīng)”的？同桌互相說一說。

（學(xué)生小組討論，然后全班交流，師借助圖示幫助學(xué)生理解。）

生1：我們討論的是路燈問題，路燈數(shù)和間隔數(shù)一一對(duì)應(yīng)。

生2：在鋸木問題里，鋸的次數(shù)和鋸的段數(shù)一一對(duì)應(yīng)。

師：鋸的段數(shù)也就是間隔數(shù)，鋸的次數(shù)也和間隔數(shù)一一對(duì)應(yīng)。

生3：在排隊(duì)問題里，人數(shù)和間隔數(shù)一一對(duì)應(yīng)。

生4：在植樹問題里，樹的棵數(shù)和間隔數(shù)一一對(duì)應(yīng)。

生5：在爬樓問題里，爬的樓梯數(shù)和樓層數(shù)一一對(duì)應(yīng)。

師：在爬樓問題里，兩層之間的樓梯數(shù)也就是兩個(gè)樓層的間隔，樓層數(shù)與間隔數(shù)——

生：一一對(duì)應(yīng)。

師：大家想一想，這些問題有什么共同特點(diǎn)？

生：它們都與“間隔”有關(guān)。

師：對(duì)，不管是樹的棵數(shù)、路燈數(shù)、排隊(duì)的人數(shù)、樓層數(shù)，還是鋸的次數(shù)，它們都與“間隔數(shù)”一一對(duì)應(yīng)，屬于同一類數(shù)學(xué)問題。在數(shù)學(xué)上，這些問題統(tǒng)稱為“分隔問題”。

（板書：分隔問題。）

師：你認(rèn)為要解決分隔問題，關(guān)鍵是找到什么？

生：找到間隔數(shù)。

師：對(duì)，找到了間隔數(shù)，再按照一一對(duì)應(yīng)的方法，就能找到跟它對(duì)應(yīng)的數(shù)量了。

【賞析】數(shù)學(xué)模型的構(gòu)建是為了解決實(shí)際問題，而構(gòu)建