杜曉明

(華南理工大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院， 廣州510640)

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Stieltjes積分在微積分教學(xué)中的應(yīng)用

杜曉明

(華南理工大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院， 廣州510640)

[摘要]初學(xué)者在學(xué)習(xí)微積分時(shí)，容易對(duì)分部積分法、Abel判別法、Dirichlet判別法、積分第二中值定理等形式相近的內(nèi)容產(chǎn)生混淆疑惑.Stieltjes積分能對(duì)這些內(nèi)容作統(tǒng)一的處理，并給出十分直觀的幾何解釋.

[關(guān)鍵詞]Stieltjes積分； 分部積分； Abel判別法； Dirichlet判別法； 積分第二中值定理

1引言

2Stieltjes 積分

設(shè)f(t),G(t)為[a,b]上的函數(shù).對(duì)于分劃a=x0

若在max|xi-xi-1|→0時(shí)S的極限存在，且值為I，則它為 Stieltjes 積分, 可記為

若還有條件G(t)可導(dǎo)并且導(dǎo)數(shù)它的導(dǎo)數(shù)是g(t)，則以上積分還可改寫成

幾何意義：在一些特殊的情形之下，Stieltjes積分有明顯的幾何意義.當(dāng)t在[a,b]之間變化時(shí)，坐標(biāo)為(G(t),f(t))的點(diǎn)在坐標(biāo)平面上給出一條曲線.

(a) 如果f(t)和G(t)都是連續(xù)單調(diào)遞增的函數(shù)，則G(t)有反函數(shù)，曲線可以看作是f與G的反函數(shù)的復(fù)合函數(shù)的圖像，I就是曲線下方與x軸所圍住區(qū)域的面積(圖1.1).

(b) 如果f(t)單調(diào)遞增但G(t)不單調(diào)遞增，則橫坐標(biāo)不再單調(diào)遞增，曲線如圖1.2.I同樣是曲線右下方與x軸所圍住區(qū)域的面積，只是這時(shí)縱坐標(biāo)沒法寫成橫坐標(biāo)的函數(shù).

(c) 如果f(t)和G(t)都不單調(diào)，則曲線可能發(fā)生自交，從而在中間形成一段閉曲線圍住平面上某區(qū)域.這時(shí)曲線段圍住區(qū)域的面積也要計(jì)入，正負(fù)號(hào)與曲線轉(zhuǎn)圈的方向有關(guān)(圖1.3，1.4).若圍住區(qū)域的邊界曲線是順時(shí)針走一圈，則該部分的面積要重復(fù)計(jì)算，如圖1.3，I=S1+2S2.若邊界曲線是逆時(shí)針走一圈，則該部分的面積要被減去，如圖1.4，I=S1-S2.

3分部積分法

幾何意義：

記上面等式左方兩項(xiàng)分別為I1，I2.則無論v(t)與u(t)是否單調(diào)，I1，I2均為Stieltjes型積分，分別對(duì)應(yīng)著點(diǎn)(v(t),u(t))在t從a到b變化時(shí)畫出的曲線右下方的面積和左上方的面積.這塊面積等于兩個(gè)矩形的面積之差(如圖2.1).當(dāng)曲線自交時(shí)，同樣會(huì)在中間形成一段閉曲線圍住平面上一塊區(qū)域.這塊區(qū)域的面積，在計(jì)算I1及I2時(shí)，在一邊要重復(fù)計(jì)算，另一邊要被減去(如圖2.2).

于是兩塊面積的和I1+I2仍然為兩個(gè)矩形面積之差.這兩個(gè)矩形的面積分別為u(b)v(b)，u(a)v(a).

4廣義積分收斂性的Abel判別法和Dirichlet判別法

幾何意義：

5積分第二中值定理

g(t)在[a,b]上可積，f(t)在[a,b]上單調(diào).則存在

ξ∈[a,b]，使得

幾何意義：

[參考文獻(xiàn)]

[1]菲爾金哥爾茨.微積分學(xué)教程(第三卷)[M]. 8版. 北京：高等教育出版社，2006:65-74.

The Application of Stieltjes Integral in the Teaching of Calculus

DUXiao-ming

(South China University of China, Guangzhou 510640, China)

Abstract:When learning calculus, many beginners confuse with the integration by parts, Abel's test, Dirichlet's test and the second mean value theorem for definite integrals. Stieltjes integral can handle these contents universally and give very intuitive graphical interpretations.

Key words:Stieltjes integral; integration by parts; Abel’s test; Dirichlet’s test; second mean value theorem

[收稿日期]2015-11-02；[修改日期] 2016-03-04

[基金項(xiàng)目]國家自然科學(xué)基金(11401219)

[作者簡介]杜曉明(1980-),男，博士，講師，從事低維拓?fù)溲芯?Email:scxmdu@scut.edu.cn

[中圖分類號(hào)]O172.2

[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]C

[文章編號(hào)]1672-1454(2016)02-0114-04