文　武

(四川文理學院教務處，四川達州635000)

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一些特殊類型的變系數(shù)二階線性微分方程解法的研究

文武

(四川文理學院教務處，四川達州635000)

[摘要]運用變量變換的方法將一些特殊類型的變系數(shù)二階線性微分方程化為常系數(shù)二階線性微分方程，或已知齊次方程的一個解來求出齊次方程的另一個線性無關解，從而達到按照常系數(shù)二階線性微分方程的特殊方法和利用常數(shù)變易法來求方程的通解的目的，同時糾正了文獻[3]的結(jié)論和例子2的錯誤.

[關鍵詞]變系數(shù)二階線性微分方程； 特殊類型； 變量變換； 常數(shù)變易法； 通解

1引言

在大量的實際問題中，變系數(shù)二階線性微分方程，一般說來都是不容易求解的.但是有些特殊類型的變系數(shù)二階線性微分方程，則可以通過變量變換的方法將一些特殊類型的變系數(shù)二階線性微分方程化為常系數(shù)二階線性微分方程或者可求出另一個線性無關解的齊次線性方程.筆者認為不同的方程類型應該采取不同的方法來處理，有些特殊的方程可以采用專門的方法來求解就比較容易.在此，對一些特殊類型的變系數(shù)二階線性微分方程解法的進行研究.

2研究結(jié)論

定義任何一個二階線性微分方程

y″+P(x)y′+Q(x)y=f(x)，

(1)

總可以通過變換y=u(x)v(x)使原方程變?yōu)椴缓浑A導數(shù)項的方程

則稱r(x)為常微分方程的不變式.

定理1變系數(shù)二階線性微分方程y″+P(x)y′+Q(x)y=f(x)，經(jīng)過線性變換y=u(x)v(x)可化為可解類型的方程

證作線性變換

y=u(x)v(x)，

(2)

這里u(x)，v(x)分別是待定和未知的函數(shù)(u是待定函數(shù)，v是未知函數(shù))，作變換的目的是將函數(shù)y用函數(shù)v來代替). 為此，將(2)代入(1)，得

u(x)v″+[2u′(x)+P(x)u(x)]v′+[u″(x)+P(x)u′(x)+Q(x)u(x)]v=f(x)，

(3)

由此可見，方程(1)可經(jīng)過線性齊次變換

(4)

化為關于v的不含一階導數(shù)項的線性方程

(5)

因方程(1)在形如(4)的變換下，欲使方程(3)的對應齊次方程化為分離變量的可解類型方程，特別地，令v′的系數(shù)為0，即有2u′(x)+P(x)u(x)=0，得

將其代入(3)整理，得

(6)

從而函數(shù)r(x)的確定形式不會改變，即r(x)為方程(1)的不變式，且r(x)為可積函數(shù)時，方程(1)可經(jīng)變換(4)化為可解類型的方程.

推論1當

為常數(shù)時，方程方(1)可化為常系數(shù)二階線性微分方程.

推論3當

定理2變系數(shù)二階線性微分方程y″+P(x)y′+Q(x)y=f(x)，經(jīng)過線性變換

可化為常系數(shù)二階線性微分方程

的充分條件是P(x)-Q(x)≡k1，且

其中k1，k2為常數(shù).

證明過程類似于定理1，從略.

的充分條件是Q′(x)+2P(x)Q(x)=0.

將它們代入方程(1)得

當且僅當Q′(x)+2P(x)Q(x)=0時，就有

即結(jié)論得證.

定理4[3]變系數(shù)二階線性齊次方程方y(tǒng)″+P(x)y′+Q(x)y=f(x)，經(jīng)過變量變換

y=e∫F(x)dxu(x)，t=∫G(x)dx，

可化為常系數(shù)二階線性微分方程的充分條件是P(x)，Q(x)滿足下面方程組所給出的形式，

(7)

其中f(x)，F(xiàn)(x)，G(x)都是x的已知連續(xù)函數(shù)，且G(x)可微，G(x)≠0，k為實常數(shù).

證作變量變換

y=e∫F(x)dxu(x)，t=∫G(x)dx，

(8)

將函數(shù)y換成u，并將自變量x換成t，則有

(10)

(11)

通過變換t=∫G(x)dx可以求出x是t的函數(shù)，從而方程(11)的右端也是t的函數(shù)，于是可以求出方程(11)的解u(t)，把t換成∫G(x)dx，變得u(x)，從而方程(7)的解為

注通過對本文定理4的推導，指出了文獻 [3]中推導的結(jié)論

應該是

(12)

利用定理2作變換

(13)

將(13)代入(12)得二階常系數(shù)線性方程

(14)

注(14)式右端將t=∫G(x)dx代入轉(zhuǎn)化為t的函數(shù).

由定理2的特別情況下可知二階Euler方程

x2y″+a1xy′+a2y=f(x)

注運用定理2來求出方程(1)的解，問題的關鍵在于如何找到函數(shù)F(x)，G(x)及實常數(shù)k.在通常情況下，先把一般的方程變成標準的方程(1)的形式，然后通過觀察比較、湊微分、分項組合相結(jié)合滿足(7)的要求.一般而言，先確定常數(shù)k和G(x)，從而就可以確定出F(x)并加以驗證.

定理5設y1為變系數(shù)二階線性齊次方程方y(tǒng)″+P(x)y′+Q(x)y=0的一個非零解，則它的另一個線性無關解為

從而它的通解為

這里c1，c2為任意常數(shù).

證令y=y1u，則

y′=y′1u+y1u′，y″=y″1u+2y′1u′+y1u″

代入y″+P(x)y′+Q(x)y=0，得

y1u″+[2y′1+P(x)y1]u′+[y″1+P(x)y′1+Q(x)y1]u=0，

即y1u″+[2y′1+p(x)y1]u′=0，引入新的未知函數(shù)z=u′，方程變形為

是一階線性方程，解之得

則

這里c1，c2為任意常數(shù).取

y1與y2之比不等于常數(shù)，故y1，y2線性無關，因而原方程的通解為

這里c1，c2為任意常數(shù).

亦可這樣證明：令

則有y1y′-y′1y=e-∫P(x)dx,從而有

即有

故

于是可取

顯然y1與y2線性無關，因而原方程的通解為

這里c1，c2為任意常數(shù).

3舉例

故令

將原方程化為常系數(shù)方程：v″+v=0，得上式通解為

v=c1cosx+c2sinx，

這里c1，c2為任意常數(shù).故原方程的通解為

這里c1，c2為任意常數(shù).

例2解方程x2y″-xy′+y=x.

解方程變形為

(15)

(16)

這里c1，c2為任意常數(shù).故原方程的通解為

這里c1，c2為任意常數(shù).

解原方程變形為

(17)

令

(18)

于是由(11)得原方程化為二階常系數(shù)方程

即

u=c1e-t+c2et，

這里c1，c2為任意常數(shù).

非齊次方程

有一個特解u*=-2t，從而方程

的通解為

u=c1e-t+c2et-2t

故原方程的通解為

這里c1，c2為任意常數(shù).

注文獻 [3]中的例2求方程

的通解. 文獻 [3]求出的通解為

而此解不是原方程的通解，應該是本文例3 方程

的通解.

例4求方程xy″-xy′+y=0的通解.

解方程有特解y1(x)=x，原方程變形為

故原方程的通解為

這里c1，c2為任意常數(shù).

4結(jié)束語

一般的變系數(shù)二階線性微分方程是是不容易求解的，除了常微分方程教材中介紹了極少的特殊方程的求解方法外，本文又給出一些特殊類型的變系數(shù)二階線性微分方程的解法，尤其是介紹了二階Euler方程的另一種解法，掌握這些類型的解法還是有重要實際意義的.

[參考文獻]

[1]王高雄,等. 常微分方程[M].北京：高等教育出版社，1978.

[2]東北師范大學數(shù)學系微分方程教研室.常微分方程[M].北京：高等教育出版社，1982.

[3]張學元.變系數(shù)二階線性常微分方程的一個新的可解類型[J]. 大學數(shù)學，2003，19(1)：96-98.

[4]李高，常秀芳.關于二階變系數(shù)線性常微分方程求解法的研究[J]. 大學數(shù)學，2010，26(6)：12-14.

Some Methods for Solving Second Order Linear Differential Equations with Variable Coefficients

WENWu

(Teaching Affairs Office of Sichuan University of Arts and Science, Dazhou Sichuan 635000, China)

Abstract:The variable transformation method , which is used for solving some special types of the second order linear differential equations with variable coefficients, and for calculating the another linearly independent solution through a known solution for the second order linear differential equations with constant coefficients，is discussed in this paper . Also, for the second order linear differential equations with constant coefficients, the method in this paper associated with variation of constants formula can be used for finding the general solution. In addition, some mistakes in literature [3] are corrected.

Key words:the variable coefficient; the second order linear differential equation; variable transformation； variation of constants formula； general solution

[收稿日期]2014-11-16；[修改日期] 2016-03-11

[基金項目]四川省高等學校人文社會科學重點研究基地項目 (NYJ20150604)

[作者簡介]文武 (1967-)，男，碩士，副教授，從事運籌學與控制論. Email:104078213@qq.com

[中圖分類號]O175.1

[文獻標識碼]C

[文章編號]1672-1454(2016)02-0106-08