數(shù)學(xué)問題千變?nèi)f化，要想既快又準(zhǔn)的解決，必須尋求簡捷的方法.有時所遇見的數(shù)學(xué)問題看似很難，但只要我們“腦筋急轉(zhuǎn)彎”，就能巧奪天工.所謂由特殊到一般的思維策略，就是說在解決數(shù)學(xué)問題時，選取一個或幾個特殊值或利用特殊圖形進行分析，發(fā)現(xiàn)問題的一般規(guī)律，從而獲得解題途徑的方法.由特殊到一般是歸納思想在解題中的具體體現(xiàn).本文談?wù)勅绾芜\用由特殊到一般來快速探求解決問題的思路.

一、通過條件特殊化，直接求得結(jié)論

在處理填空題時，我們常常會遇到一些已知條件在一般情形下，探討結(jié)論確定的問題.如果從一般情形出發(fā)，運算量較大，有時候運算還較為繁瑣，對于這些問題我們可以將條件特殊化來求解.

例1在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c.若a、b、c成等差數(shù)列，則cosA+cosC1+cosAcosC=.

分析：由2b=a+c，取a=3，b=4，c=5，則△ABC為直角三角形，cosA=45，cosC=0，代入求得45.或取a=b=c，則△ABC為等邊三角形，cosA=cosC=12，求得45.

例2已知等差數(shù)列{an}的公差d≠0，a1，a3，a9成等比數(shù)列，則a1+a3+a9a2+a4+a10的值為.

分析：依據(jù)a1，a3，a9成等比數(shù)列，將數(shù)列特殊化，取數(shù)列1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，則a1+a3+a9a2+a4+a10=1+3+92+4+10=1316.

小結(jié)：題設(shè)中的條件，對于一般情況都能成立，而求解的結(jié)論是定值.我們可以對一般情形賦特殊值，通過特殊值，得到一般結(jié)論.當(dāng)已知條件中含有某些不確定的量，但填空題的結(jié)論唯一或題設(shè)條件中提供的信息暗示答案是一個定值時，可以將題中變化的不定量選取一些符合條件的恰當(dāng)特殊值（或特殊函數(shù)，特殊角，特殊數(shù)列，圖形特殊位置，特殊點，特殊方程，特殊模型等）進行處理，從而得出結(jié)論.

二、通過特殊函數(shù)值，縮小字母參數(shù)的范圍

在求解含有字母參數(shù)的函數(shù)問題時，我們往往需要對字母變量進行分類討論，有時候分類討論的次數(shù)較多，在求解時很容易面臨多解或漏解的情形.若采取特殊化方法，可以縮小參數(shù)范圍，減少分類討論的次數(shù)，增強學(xué)生的信心.

例3已知函數(shù)f（x）=ax3-3x+1（x∈R），若對任意x∈[-1，1]，都有f（x）≥0成立，則實數(shù)a的值為.

分析：根據(jù)題意，即求函數(shù)f（x）的最小值大于等于0，而求函數(shù)的最小值需要對參數(shù)a進行分類討論.事實上，由f（x）min≥0，一般情況下求得參數(shù)a是在某個范圍上，而結(jié)果是a的值.所以依據(jù)任意x∈[-1，1]，都有f（x）≥0成立，對x賦值，由f（-1）≥0，f（12）≥0，解得a≤4，a≥4，故a=4.

例4已知函數(shù)f（x）=（m-3）x3+9x在[1，2]上的最大值為4，求實數(shù)m的值.

分析：思路1：由f′（x）=3（m-3）x2+9，則當(dāng)m≥3時，f（x）在[1，2]上是增函數(shù)，所以f（x）max=f（2）=8（m-3）+18=4，解得m=54<3，不合題意，舍去.

當(dāng)m<3時，f′（x）=3（m-3）x2+9=0，

得x=±33-m.

所以f（x）的單調(diào)區(qū)間為：（-∞，-33-m）單調(diào)減，（-33-m，33-m）單調(diào)增，（33-m，+∞）單調(diào)減.

①當(dāng)33-m≥2，即94≤m<3時，[1，2]∈（-33-m，33-m），所以f（x）在區(qū)間[1，2]上單調(diào)增，f（x）max=f（2）=8（m-3）+18=4，m=54，不滿足題設(shè)要求.

②當(dāng)1<33-m<2，即0

③當(dāng)33-m≤1，即m≤0時，則[1，2][33-m，+∞），所以f（x）在區(qū)間[1，2]上單調(diào)減，f（x）max=f（1）=m+6=4，m=-2.綜上所述：m=-2.

思路2：由已知可得f（1）≤4，f（2）≤4，則m+6≤4，8（m-3）+18≤4，解得m≤-2.

又f′（x）=3（m-3）x2+9，當(dāng)m≤-2時，f′（x）≤0在[1，2]上恒成立，所以f（x）在區(qū)間[1，2]上單調(diào)減，f（x）max=f（1）=m+6=4，m=-2.綜上所述：m=-2.

小結(jié)：在處理含有參數(shù)的相關(guān)問題時，要善于挖掘題設(shè)中的隱含條件，通過特殊化的方法縮小參數(shù)的范圍，從而減少分類討論的次數(shù)或者避免分類討論.

變題已知函數(shù)f（x）=lnx-mx（m∈R）在[1，e]上的最小值為4，則實數(shù)m的值為.

分析：根據(jù)題意知f（1）≥4，即m≤-4，又f′（x）=1x+mx2=m+xx2，則f′（x）<0在[1，e]上恒成立，函數(shù)f（x）在[1，e]上單調(diào)遞減，根據(jù)題意有f（e）=4，得m=-3e.

三、通過圖形位置特殊化，猜想運算結(jié)果

在立體幾何、解析幾何、向量等問題中，我們會經(jīng)常遇到與圖形有關(guān)的探究性問題，對于這些圖形類問題，我們要探求一般結(jié)論，要善于多途設(shè)計，尋求最優(yōu)的解題思路.在這個探求過程中，要確定解題的方向.

例5如果三棱柱ABCA1B1C1中，E、F分別是AB，AC的中點，平面EB1C1F將三棱柱分為體積為V1、V2的兩部分，那么V1∶V2=.

分析：本題是研究的任意三棱錐，二結(jié)論是一個確定的值，也即結(jié)論與三棱柱具體形狀無關(guān)，構(gòu)造一個特殊的正三棱柱其底面積為4，高為1，則V=4，V1=13×1×（1+1×4+4）=73，V2=V-V1=4-73=53，∴V1∶V2=7∶5.

例6設(shè)三棱柱ABCA1B1C1的體積為V，P、Q分別是側(cè)棱AA1、CC1上的點，且PA=QC1，則四棱錐BAPQC的體積為.

分析：如果我們動態(tài)地思考這個問題，讓點P無限逼近點A，則點Q必?zé)o限逼近于點C1，此時四棱錐BAPQC質(zhì)變成了三棱錐BACC1，VBACC1=VC1ABC，所以四棱錐BAPQC的體積為13V.

例7如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0）的右焦點為F（1，0），離心率為22.分別過O，F(xiàn)的兩條弦AB，CD相交于點E（異于A，C，兩點），且OE=EF.

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)直線AC，BD的斜率分別為k1，k2，求k1+k2.

分析：思路一：（1）由已知可得c=1，e=ca=22，則a=2，b=1，故橢圓方程為x22+y2=1.

（2）設(shè)直線OE：y=kx，則由OE=EF可知直線

CD與OE斜率一定存在且互為相反數(shù)，設(shè)直線CD：y=-k（x-1），

設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），則x2=-x1，

聯(lián)立y=kxx22+y2=1，

得（1+2k2）x2=2，x21=21+2k2，

聯(lián)立y=-k（x-1）x22+y2=1，得（1+2k2）x2-4k2x+2k2-2=0，x3，4=2k2±2（k2+1）1+2k2，

故k1+k2=kx1+k（x3-1）x1-x3+kx2+k（x4-1）x2-x4

=kx1+k（x3-1）x1-x3+-kx1+k（x4-1）-x1-x4

=k[x1+（x3-1）]（x1+x4）+k[x1-（x4-1）]（x1-x3）（x1-x3）（x1+x4）

=k（2x21+2x3x4-x3-x4）（x1-x3）（x1+x4）

=k（42k2+1+4k2-42k2+1-4k22k2+1）（x1-x3）（x1+x4）

=0.

思路二：觀察圖形，可知A，B關(guān)于原點對稱，且直線AB和直線CD的傾斜角互補，將直線AB進行旋轉(zhuǎn)可發(fā)現(xiàn)AC和BD的傾斜角也互補.

思路三：取特殊位置.當(dāng)直線AB傾斜角為π4時，求得k1+k2=0，再進行一般的檢驗.

此題運算過程中同學(xué)們的難點一是刻畫兩條動弦AB，CD的時候選擇的量特別多，無法消元，做不下去；二是運算過程中忙中出亂，無法堅持.若養(yǎng)成求解中善于挖掘題中的隱含條件：一是OE=EF隱含了直線AB，CD斜率一定存在且互為相反數(shù)；二是從圖形和表達式的結(jié)構(gòu)特征猜想隱含了k1，k2的和為定值，通過直覺或者特殊位置可以猜想該定值為0.這樣運算的目標(biāo)明確，也就不容易出錯了.

小結(jié)：在處理圖形類問題時，我們可以通過點或圖形在特殊位置，先猜想一般結(jié)論，再對一般情形進行論證，尤其是針對定點、定值類問題，由特殊情況求得結(jié)論，再由特殊情況去猜想結(jié)論.

四、通過取特殊項，探求一般規(guī)律

對于一些數(shù)列類問題，我們要善于從特殊項入手，探求猜想一般規(guī)律，再進行檢驗論證.在探求中要善于觀察、歸納、猜想.由于共性寓于事物的個性之中，所以對于有些較復(fù)雜的問題只要把特殊情況討論清楚了，一般情況就容易化歸為特殊情況.

例8已知等差數(shù)列{an}中，公差d>0，前n項和為Sn，a2·a3=45，a1+a5=18.

（1）求數(shù)列{an}的通項公式；

（2）令bn=Snn+c（n∈N），是否存在一個非零常數(shù)c，使得數(shù)列{bn}也是等差數(shù)列？若存在，求出c的值，若不存在，說明理由.

分析：（1）知an=4n-3；（2）由（1）可得Sn=2n2-n，則bn=2n2-nn+c.

思路一：若存在一個非零常數(shù)c，使得數(shù)列{bn}也是等差數(shù)列，則可設(shè)bn=an+b，則an+b=2n2-nn+c對任意n∈N恒成立，展開后利用恒成立的條件求解.

思路二：特殊化.若存在一個非零常數(shù)c，使得數(shù)列{bn}也是等差數(shù)列，則b1，b2，b3成等差數(shù)列，故2b2=b1+b3，解得c=-12，再代入bn=2n2-nn+c，得bn=2n，所以數(shù)列{bn}是等差數(shù)列.

例9設(shè){an}是首項為a，公差為d的等差數(shù)列（d≠0），Sn是其前n項和.記bn=nSnn2+c，n∈N*，其中c為實數(shù).

（1）若c=0，且b1，b2，b4成等比數(shù)列，證明：Snk=n2Sk（k，n∈N*）；

（2）若{bn}是等差數(shù)列，證明：c=0.

分析：（1）an=a+（n-1）d（d≠0），Sn=na+n2-n2d，當(dāng)c=0時，bn=Snn，

則b1=S11=a，b2=S22=a+d2，b4=S44=a+3d2，由b1，b2，b4成等比數(shù)列，則b1b4=b22，

代入得a·（a+3d2）=（a+d2）2，化簡得d2=2ad，又d≠0，故d=2a，Sn=n2a，Snk=n2k2a，n2Sk=n2k2a，則Snk=n2Sk.

（2）由已知bn=nSnn2+c=2n2a+n3d-n2d2n2+2c是等差數(shù)列，故可設(shè)bn=kn+b（k，b為常數(shù)）則有（2k-d）n3+（2b+d-2a）n2+2ckn+2bc=0對任意n∈N+恒成立.在此式中分別取n=1，2，3，4，則由d≠0，k≠0，得c=0，此時k=d2，b=2a-d2.再代入原式知c=0時，原等式恒成立.

小結(jié)：在解決數(shù)列類問題時，我們可以通過前面幾項發(fā)現(xiàn)規(guī)律，再針對一般情況進行驗證.

由特殊到一般的思維策略的多方面運用，不僅說明它在解決數(shù)學(xué)問題時的廣泛性和重要性，更主要的是說明它應(yīng)該是同學(xué)們必須掌握的一種數(shù)學(xué)思維方法.利用特值、特形解題，增強同學(xué)們的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識，在眾多的信息面前，注重培養(yǎng)挖掘一批有用或關(guān)鍵信息的那種數(shù)學(xué)素養(yǎng).

（作者：王小青，江蘇省如皋中學(xué)）