鄧思平

摘 要：力的空間積累效應(yīng)和力的時(shí)間積累效應(yīng)是問(wèn)題的兩個(gè)方面。此題中由合力的功較小得到終點(diǎn)速率大并不意味著合沖量一定較小，時(shí)間較短。本文采用類(lèi)比法，通過(guò)分析簡(jiǎn)單的斜直軌道得到結(jié)論后合理外推到弧形軌道。

關(guān)鍵詞：福建；理綜；17題；類(lèi)比法

中圖分類(lèi)號(hào)：G633.7 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1003-6148（2016）5-0045-3

原題 如圖1，在豎直平面內(nèi)，滑道ABC關(guān)于B點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，且A、B、C三點(diǎn)在同一水平線(xiàn)上。若小滑塊第一次由A滑到C，所用的時(shí)間為t1，第二次由C滑到A，所用時(shí)間為t2，小滑塊兩次的初速度大小相同且運(yùn)動(dòng)過(guò)程始終沿著滑道滑行，小滑塊與滑道的動(dòng)摩擦因數(shù)恒定，則（ ）

A.t1

C.t1>t2 D.無(wú)法比較t1、t2的大小

解析 在A(yíng)B段，根據(jù)牛頓第二定律mg-FN=m，速度越大，滑塊受支持力越小，摩擦力就越小。在BC段，根據(jù)牛頓第二定律FN-mg=m，速度越大，滑塊受支持力越大，摩擦力就越大。由題意知從A運(yùn)動(dòng)到C相比從C運(yùn)動(dòng)到A，在A(yíng)B段速度較大，在BC段速度較小。所以，從A到C運(yùn)動(dòng)過(guò)程受摩擦力較小，到達(dá)終點(diǎn)的速率較大，用時(shí)短。所以，A選項(xiàng)正確。

該解析應(yīng)用牛頓第二定律分析比較摩擦力大小，應(yīng)用動(dòng)能定理比較終點(diǎn)速率。在路程和初速度大小相同的條件下，可推知終點(diǎn)速率較大的A到C運(yùn)動(dòng)過(guò)程用時(shí)較短。粗略看來(lái)，似乎沒(méi)有什么問(wèn)題。從網(wǎng)絡(luò)回饋的信息來(lái)看，此解析也得到了普遍認(rèn)同。果真如此嗎？筆者細(xì)究之下，發(fā)現(xiàn)此解析存在一個(gè)問(wèn)題。該解析錯(cuò)誤地把力的空間積累效應(yīng)和力的時(shí)間積累效應(yīng)等同起來(lái)，力的空間積累效應(yīng)（即做功）和力的時(shí)間積累效應(yīng)（即沖量）是問(wèn)題的兩個(gè)方面，由合力的功較小得到終點(diǎn)速率大并不意味著合沖量一定較小，時(shí)間較短。而且，分析發(fā)現(xiàn)滑塊的兩個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程并不一定是單調(diào)的減速運(yùn)動(dòng)，在下坡段，可能加速也可能減速，中間過(guò)程相當(dāng)復(fù)雜，不能簡(jiǎn)單地通過(guò)比較終點(diǎn)速率來(lái)比較運(yùn)動(dòng)時(shí)間。

正確方法應(yīng)該是比較兩個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中滑塊經(jīng)過(guò)滑道上每一個(gè)相同位置的瞬時(shí)速率，即比較上行速率和下行速率的大小。比如，滑道光滑，動(dòng)摩擦因數(shù)為零的理想情形，依據(jù)能量守恒可推知滑塊經(jīng)過(guò)每一個(gè)位置的上行速率總等于下行速率，那么A到C過(guò)程和C到A過(guò)程用時(shí)相同。

本題中，A到B過(guò)程相比B到A過(guò)程，摩擦力做負(fù)功較少。依據(jù)動(dòng)能定理可確定，經(jīng)過(guò)B點(diǎn)的下行速率大于上行速率。在拱形段的某個(gè)位置（如圖2中的M點(diǎn)），A到M過(guò)程相比C到M過(guò)程，摩擦力做負(fù)功較少，經(jīng)過(guò)M點(diǎn)的下行速率大于上行速率。還可推知 A到B過(guò)程和B到A過(guò)程的每一個(gè)相同位置，均是A到B過(guò)程經(jīng)過(guò)的速率較大，則可得到A到B用時(shí)較短的結(jié)論。但是，在分析凹形段時(shí)卻遇到困難，比如對(duì)于圖2中的N點(diǎn)。A到N過(guò)程相比C到N過(guò)程，無(wú)法明確比較摩擦力做負(fù)功的多少，也就不知該位置的上行速率和下行速率的大小，因此不能比較B到C過(guò)程和C到B過(guò)程的用時(shí)。

為了解決這個(gè)問(wèn)題，我們可以換用另一種思維方法：類(lèi)比法。首先，把滑道簡(jiǎn)化成圖3所示的斜直軌道ADBEC，B是軌道的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，D、E處處理成一段小圓弧，保證滑塊始終在滑道上運(yùn)動(dòng)且不會(huì)發(fā)生撞擊現(xiàn)象。應(yīng)用動(dòng)能定理和運(yùn)動(dòng)學(xué)知識(shí)求解出兩個(gè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間進(jìn)行比較，然后將兩種軌道進(jìn)行類(lèi)比推理，得到相關(guān)結(jié)論。

設(shè)軌道高為h，AD、CE段的水平投影為l1，DE段的水平投影為l2，動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，滑塊的初速度大小為v0。為了方便作出v-t圖像，除終點(diǎn)速率外，還需要求出D、E兩個(gè)位置的速率以及滑塊達(dá)到這些速率經(jīng)過(guò)的時(shí)間。

同理可得，C到A過(guò)程的速率和到達(dá)時(shí)間分別是：

為了直觀(guān)比較t1、t2的大小，筆者將軌道的參數(shù)h、l1、l2、μ、v0賦以合適的數(shù)值并導(dǎo)入到Excel表格中，然后運(yùn)用Excel的公式和函數(shù)得到計(jì)算結(jié)果，再運(yùn)用圖表功能作出v-t圖像得到最直觀(guān)的結(jié)果。其中一次的計(jì)算結(jié)果如表1，表中數(shù)據(jù)全部采用國(guó)際單位。

由圖4可見(jiàn)t1

由圖5可見(jiàn)，隨著μ的減小，t1

通過(guò)對(duì)滑塊在斜直軌道ADBEC上運(yùn)動(dòng)情況的分析，可以得到如下結(jié)論：①滑塊的運(yùn)動(dòng)比較復(fù)雜，下坡時(shí)可能加速也可能減速；② 兩次過(guò)程中滑塊在同一位置受到的摩擦力相同，終點(diǎn)速率也相同，但總用時(shí)并不同，總滿(mǎn)足t1t2的情況。

對(duì)比兩種軌道會(huì)發(fā)現(xiàn)，兩種軌道的聯(lián)系點(diǎn)有：① μ=0的理想情況，才有t1=t2；②弧形滑道相當(dāng)于由在最高點(diǎn)和最低點(diǎn)附近改成弧形的斜直軌道；③滑塊在弧形軌道最高點(diǎn)和最低點(diǎn)附近滑行時(shí)摩擦力的變化與μ增大引起摩擦力增大的斜直軌道相當(dāng)；④斜直軌道上兩次運(yùn)動(dòng)過(guò)程的終點(diǎn)速率相同，C到A過(guò)程用時(shí)較長(zhǎng)。而弧形軌道C到A過(guò)程的終點(diǎn)速率較小，用時(shí)應(yīng)該比斜直軌道還要長(zhǎng)。據(jù)此，我們可以推測(cè)，滑塊在斜直軌道上兩次運(yùn)動(dòng)過(guò)程用時(shí)的大小關(guān)系也適用于弧形軌道，即原題答案為