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圓形磁場(chǎng)周期性過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題的拓展探究

2016-06-14 21:05鄭行軍
物理教學(xué)探討 2016年5期
關(guān)鍵詞:對(duì)角對(duì)稱性圓心

鄭行軍

摘 要:磁場(chǎng)的周期性過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題在題干設(shè)置時(shí)常常會(huì)綜合帶電粒子運(yùn)動(dòng)的周期性問(wèn)題和隱含性問(wèn)題,學(xué)生在處理這類問(wèn)題時(shí)往往感覺(jué)思路模糊,無(wú)法解題。由于實(shí)現(xiàn)周期性過(guò)定點(diǎn)的粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡具有一定的對(duì)稱性,故從軌跡的角度出發(fā)歸納可能構(gòu)建的題型,并結(jié)合物理規(guī)律和數(shù)學(xué)方法,實(shí)現(xiàn)對(duì)該題型的處理,希望能為學(xué)生提供解決此類問(wèn)題的有效思路。

關(guān)鍵詞:圓形磁場(chǎng);對(duì)稱性;磁場(chǎng)邊界;圓心;對(duì)角

中圖分類號(hào):G633.7 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A 文章編號(hào):1003-6148(2016)5-0015-4

圓形磁場(chǎng)的周期性過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題(即粒子在邊界為圓形的磁場(chǎng)中做周期性運(yùn)動(dòng)后會(huì)經(jīng)過(guò)某一特定位置的問(wèn)題)是高中磁場(chǎng)類題目中的一個(gè)難點(diǎn),這類題目要求學(xué)生根據(jù)題目的限制性條件畫(huà)出粒子在磁場(chǎng)可能的運(yùn)動(dòng)軌跡,找出其幾何關(guān)系。在題目分析過(guò)程中常常會(huì)涉及帶電粒子運(yùn)動(dòng)的對(duì)稱性和周期性,解題時(shí)需要將物理規(guī)律和數(shù)學(xué)方法相結(jié)合,歸納出圓周運(yùn)動(dòng)的半徑、時(shí)間的通式,考查考生運(yùn)用數(shù)學(xué)工具的能力和綜合分析的能力[1]。本文從近幾年的命題趨勢(shì)中就其可能構(gòu)建的題型進(jìn)行歸納和整理,尋找其題目特征并提供相應(yīng)的解題策略。

1 沿徑向入射或出射型的模型解讀

假設(shè)圓形區(qū)域內(nèi)存在垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng),磁感應(yīng)強(qiáng)度為B,區(qū)域半徑為R,如圖1所示?,F(xiàn)有一電荷量為q,質(zhì)量為m的正電荷從a點(diǎn)沿圓形區(qū)域的半徑入射,經(jīng)偏轉(zhuǎn)后運(yùn)動(dòng)至b點(diǎn),圓O實(shí)線部分為粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡,由軌跡特點(diǎn)分析得到其出射方向也必沿半徑方向[2]。

若粒子經(jīng)過(guò)圓形區(qū)域內(nèi)多次偏轉(zhuǎn)后回至a點(diǎn),則角度關(guān)系必滿足nα=2kπ(k=1,2,3…)(n為粒子在磁場(chǎng)中偏轉(zhuǎn)的次數(shù),k為粒子在圓形區(qū)域內(nèi)轉(zhuǎn)過(guò)的圈數(shù))。由幾何關(guān)系知:θ+α=π,由于徑向入射(出射)α<π[3],故需滿足n>2k。聯(lián)立qvB=mr,t=T或t=T,即可求得粒子實(shí)現(xiàn)周期性過(guò)定點(diǎn)的時(shí)間的可能取值;連接OO1,聯(lián)立qvB=m和tan=,即可求得軌跡半徑的可能取值。

例1 如圖3所示,3個(gè)同心圓是磁場(chǎng)的理想邊界,圓1半徑R1=R,圓2半徑R2=3R,圓3半徑R3(R3>R2)大小未定。圓1內(nèi)部區(qū)域的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B,圓1與圓2之間的環(huán)形區(qū)域是無(wú)場(chǎng)區(qū),圓2與圓3之間的環(huán)形區(qū)域的磁感應(yīng)強(qiáng)度也為B,兩個(gè)區(qū)域的磁場(chǎng)方向均垂直于紙面向里。t=0時(shí)一個(gè)質(zhì)量為m,帶電量為+q(q>0)的離子(不計(jì)重力),從圓1上的A點(diǎn)沿半徑方向以速度v=飛進(jìn)圓1內(nèi)部磁場(chǎng)。問(wèn):

(1)若離子飛不出環(huán)形磁場(chǎng)圓3的邊界,則圓3的半徑R3至少為多大?

(2)在滿足了(1)小題的條件后,離子自A點(diǎn)射出后會(huì)在兩個(gè)磁場(chǎng)不斷地飛進(jìn)飛出,從t=0開(kāi)始到離子第二次回到A點(diǎn),離子運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間為多少?

(3)在同樣滿足了(1)小題的條件后,若環(huán)形磁場(chǎng)方向?yàn)榇怪庇诩埫嫦蛲?,其他條件不變,從t=0開(kāi)始到離子第一次回到A點(diǎn),離子運(yùn)動(dòng)的路徑總長(zhǎng)為多少?

2 偏離徑向入射或出射型模型解讀

假設(shè)圓形區(qū)域內(nèi)存在垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng),磁感應(yīng)強(qiáng)度為B,區(qū)域半徑為R,如圖6所示。現(xiàn)有一電荷量為q,質(zhì)量為m的正電荷從a點(diǎn)射入磁場(chǎng),入射方向與半徑夾角為β,經(jīng)偏轉(zhuǎn)后運(yùn)動(dòng)至b點(diǎn),圓O實(shí)線部分為粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡。

例2 如圖7所示,半徑為R的絕緣圓筒中有沿軸線方向的勻強(qiáng)磁場(chǎng),磁場(chǎng)方向垂直紙面向里,勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B,筒形場(chǎng)區(qū)的邊界由彈性材料構(gòu)成。一個(gè)質(zhì)量為m、電荷量為q的正離子(不計(jì)重力)以某一速度從筒壁上的小孔M進(jìn)入筒中,速度方向與半徑成β=30 °夾角,并垂直于磁場(chǎng)方向。離子和筒壁的碰撞無(wú)能量和電荷量的損失。若選擇合適的進(jìn)入速度,離子可以從M孔射出。問(wèn):

(1)如果離子與筒壁發(fā)生兩次碰撞后從M孔射出,離子的速率是多大?從進(jìn)入圓筒到返回M孔經(jīng)歷的時(shí)間是多少?

(2)如果離子與筒壁發(fā)生n次碰撞在圓筒中轉(zhuǎn)過(guò)一圈后從M孔射出,離子的速率又是多大?

(2)設(shè)碰撞n次后返回M孔時(shí),如圖9所示,每相鄰兩次碰撞點(diǎn)對(duì)應(yīng)的場(chǎng)區(qū)的對(duì)角為α,則必須滿足(n+1)α=2π。

由上述例題分析可知,磁場(chǎng)的周期性過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題中的粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡往往具有一定的對(duì)稱性,故在設(shè)置限制性條件時(shí)具有以下隱含性特點(diǎn):①若粒子沿圓形磁場(chǎng)的半徑方向入射或出射,則粒子每次到達(dá)磁場(chǎng)邊界時(shí)速度方向也必沿半徑方向;若粒子偏離半徑方向以一定的角度(偏射角)入射或出射,則粒子每次到達(dá)磁場(chǎng)邊界時(shí)速度方向與半徑的夾角必相同,皆等于初始位置的偏射角。②粒子在實(shí)現(xiàn)周期性過(guò)定點(diǎn)時(shí),軌跡的圓心角與對(duì)角、偏射角之間存在一定的隱含關(guān)系。故如果從對(duì)稱性的角度[4]和角關(guān)聯(lián)角度分析和解決此類問(wèn)題,找出粒子在磁場(chǎng)中可能的運(yùn)動(dòng)軌跡,并結(jié)合周期性規(guī)律和數(shù)學(xué)方法歸納出半徑、時(shí)間的通式,則此類問(wèn)題都可以迎刃而解。

參考文獻(xiàn):

[1]王雷.帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的邊界問(wèn)題[J].物理教學(xué)探討,2008,26(11):3—4.

[2]范福生.帶電粒子穿越有圓形邊界勻強(qiáng)磁場(chǎng)的“對(duì)稱性”分析[J].中學(xué)物理教學(xué)參考,2013,39(6):41—42.

[3]楊玉良. 例析一類物理問(wèn)題幾何關(guān)系的簡(jiǎn)便求法[J].物理教學(xué)探討,2015,33(9):48—50.

[4]朱欣.帶電粒子在電磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的對(duì)稱美賞析[J].中學(xué)物理教學(xué)參考,2003,29(8):38—41.

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