舒新文　王竹平（安徽師范大學(xué)物理與電子信息學(xué)院，安徽蕪湖241000）

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平方反比有心力場(chǎng)中粒子運(yùn)動(dòng)軌道的相對(duì)論修正*

舒新文王竹平
（安徽師范大學(xué)物理與電子信息學(xué)院，安徽蕪湖241000）

摘要：從相對(duì)論性粒子的拉格朗日函數(shù)出發(fā)，推導(dǎo)出相對(duì)性粒子在平方反比引力場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌道微分方程。該方程在低速運(yùn)動(dòng)情況下可過(guò)渡到經(jīng)典力學(xué)的軌道方程，具有普遍意義，對(duì)于解決有心力和軌道關(guān)系的力學(xué)問(wèn)題有一定的參考價(jià)值。

關(guān)鍵詞：相對(duì)論；有心力；軌道方程

Abstract:Starting from the Lagrange function of relativistic particles，the paper deduces the orbital differential equation while the relativistic particles move in the inverse and square gravitational field.The equation can be transformed into the orbit equation of classical mechanics under the condition of low speed movement，which has significant reference valuefor solving the mechanics problem related tothere lationship between central force and orbit.

Keywords:theory of relativity；central force；orbital equation

在有心力場(chǎng)中，低速運(yùn)動(dòng)粒子的軌道微分方程可由畢耐公式描述。該公式在研究質(zhì)點(diǎn)有心力作用下的運(yùn)動(dòng)軌道有重要地位和應(yīng)用，如行星繞太陽(yáng)的運(yùn)動(dòng)、微觀粒子散射實(shí)驗(yàn)等。在平方反比力場(chǎng)中，由畢耐公式可以導(dǎo)出粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡為圓錐曲線（橢圓、拋物線和雙曲線），其具體形式由軌道方程的偏心率（或總能量）決定［1］。在高速運(yùn)動(dòng)情況下，粒子具有相對(duì)論性。目前對(duì)相對(duì)論性粒子在有心力場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的研究較少［2，3］。文章從構(gòu)建相對(duì)論情況下的拉格朗日函數(shù)出發(fā)，利用拉格朗日方程建立了受平方反比有心力作用的相對(duì)論性粒子的運(yùn)動(dòng)軌道方程，得到了粒子的開普勒運(yùn)動(dòng)軌道的相對(duì)論修正。研究結(jié)果對(duì)解決有心力和運(yùn)動(dòng)軌道的普遍關(guān)系這一力學(xué)問(wèn)題有一定的參考價(jià)值。

設(shè)相對(duì)論性粒子的慣性質(zhì)量為m，現(xiàn)考慮粒子在質(zhì)量為M所產(chǎn)生的引力場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，具有勢(shì)能其中k=為相對(duì)性運(yùn)動(dòng)粒子到M的距離。此粒子的拉格朗日函數(shù)為［4］

其中qi為系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)，可?。鹮i｝=｛γ，θ｝。將（1）式代入（2）式，并利用極坐標(biāo)下的速度表達(dá)式，可得粒子關(guān)于｛qi｝=｛γ，θ｝的運(yùn)動(dòng)微分方程分別為：

式（3）類似于低速情況下的運(yùn)動(dòng)初積分，動(dòng)量矩守恒。因此，定義常數(shù)，可得

將（5）式和（6）式代入方程（4），得到粒子運(yùn)動(dòng)的軌道微分方程

（8）式即為相對(duì)論性粒子在平方反比有心力場(chǎng)中的軌道微分方程。式中為粒子開普勒運(yùn)動(dòng)軌道的相對(duì)論改正項(xiàng)，其值與運(yùn)動(dòng)速度有關(guān)。當(dāng)v<

在實(shí)際物理問(wèn)題中，由于λ是隨運(yùn)動(dòng)速度（也即θ）變化而變化的物理量，（8）式為非線性二階微分方程。一般來(lái)說(shuō)，數(shù)學(xué)上不易直接求其通解，但可以通過(guò)數(shù)值計(jì)算的方法，進(jìn)一步研究相對(duì)論粒子具體的運(yùn)動(dòng)軌跡特征，以及考察由于相對(duì)論性運(yùn)動(dòng)引起的軌道實(shí)際變化。這對(duì)處理相關(guān)力學(xué)問(wèn)題具有一定的參考價(jià)值。

參考文獻(xiàn)

［1］周衍柏.理論力學(xué)教［M］.北京：高等教育出版社（第三版），2009：65-74.

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［3］于洛平，官文櫟.相對(duì)論性平面諧振子的軌道［J］.山東師范大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），1994，9（1）：31-35.

［4］徐永興，朱珉仁.狹義相對(duì)論中自由質(zhì)點(diǎn)拉格朗日函數(shù)的一種推導(dǎo)方法［J］.大學(xué)物理，1989，11（1）：49-50.

中圖分類號(hào)：O41

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào)：2096-000X（2016）12-0250-02

*基金項(xiàng)目：安徽省自然科學(xué)基金（編號(hào)：1608085QA06）資助。

作者簡(jiǎn)介：舒新文（1982-），男，安徽懷寧人，安徽師范大學(xué)副教授，博士，主要從事大學(xué)物理教學(xué)和天體物理研究工作。